Задача  кинематического  анализа

 
 
201
Решая систему (3) получим для проекции  l  на плоскости OXY  
 
                                             
(
)
[
]
δ
δ
cos
sin
L
L
L
d
d
−
×
Ω
=
 . 
 
                (6) 
Для вектора  r , определяющего точку контакта коромысла и кулачка можно записать 
 
                                
(
)
L
L
d
L
L
d
L
d
r
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
×
Ω
=
+
=
δ
δ
cos
1
sin
,   
 
    (7) 
Модуль вектора  r  можно определить по формуле 
 
                           
(
)
(
)
δ
ρ
ρ
cos
2
2
2
2
2
2
−
−
−
+
−
−
=
c
l
L
L
c
l
r
.  
 
    (8) 
Для упрощения дальнейших исследований введем единичный вектор 
l
d  
 
                                              
(
)
[
]
δ
δ
cos
sin
1
L
L
L
d
l
−
×
Ω
=
, 
 
               (9) 
Тогда 
 
                                               
,
l
d
d
d
⋅
=
  
L
d
d
r
l
+
⋅
=
, 
    
 
(10) 
Из очевидных векторных уравнений, полученных с помощью (4) 
 
                                                      
c
d
c
l
×
=
×
, 
 
                                                      
2
c
c
c
l
−
=
⋅
ρ
.   
 
 
 
  (11) 
Определим искомый вектор  l  как функцию угла 
θ
 
                                             
(
)
l
d
c
l
c
c
l
r
2
2
1
ρ
ρ
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
. 
   
 
(12) 
Составим следующие векторные и скалярные произведения векторов 
 
                                     
ϕ
cos
2
0
L
L
L
=
,     
ϕ
ω
sin
2
0
L
L
L
=
×
, 
 
                                      
θ
cos
0
0
rr
r
r
=
,     
θ
ω
sin
0
rr
r
r
=
×
,  
 
 
                                  
0
0
0
0
cos
μ
Lr
r
L
=
,  
0
0
0
0
sin
μ
Lr
r
L
Ω
=
×
, 
   
 
  (13) 
μ
cos
Lr
r
L
=
,       
μ
sin
Lr
r
L
Ω
=
×
. 
На основании равенств (13) нетрудно получить следующие выражения 
                                    
(
)
(
)
(
)
(
)
⎩
⎨
⎧
−
Ω
=
−
−
=
−
.
sin
sin
,
cos
cos
0
0
μ
μ
θ
ϕ
ω
μ
μ
θ
ϕ
r
 
    
 
              
(14) 
Откуда имеем связь между углами 
ϕ
 и 
θ
 
 
                                           
(
)
0
μ
μ
ω
θ
ϕ
−
Ω
⋅
+
=
, 
    
 
(15) 
где 
(
)
(
)
0
2
0
2
0
2
0
2
cos
arccos
,
cos
arccos
r
c
l
L
r
c
l
L
δ
ρ
μ
δ
ρ
μ
−
−
−
=
−
−
−
=
 
Искомый угол поворота коромысла 
,
arccos
l
c
−
=
ρ
λ
                   
 
              (16) 
Производные от угла поворота 
λ  по углу θ  равны 
[
]
δ
δ
σ
cos
sin
1
x
y
L
L
L
+
Ω
−
=
, 
 
                                      
(
)
2
2
ρ
σ
ρ
σ
ρ
λ
−
−
′
−
=
′
−
=
′
c
l
d
, 
    
 
(17) 

 
 
202
(
)
[
]
(
)
[
]
2
3
2
2
2
2
2
)
(
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
λ
−
−
′
−
−
′′
−
−
−
=
′′
c
l
c
c
l
. 
Нетрудно найти производные от вектора  l  по углу 
θ  
 
                                          
(
)
(
)
,
2
2
l
d
c
l
c
c
c
l
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
′
−
+
′
=
′
   
 
 
  (18)
 
                                
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
l
d
c
l
l
c
l
c
c
c
l
2
3
2
2
2
2
2
2
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
′
−
′′
−
−
−
+
′′
=
′′
,    
 
  (19) 
Найдем производные от  
μ
,
, r
d
 по углу 
θ  
(
)
ρ
ρ
′
−
=
′
d
c
d
,  
2
3
2
ρ
ρ
ρ
′
−
′′
−
=
′′
d
l
d
c
d
, 
ρ
δ
ρ
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
′
cos
1
d
L
r
c
r
,                                
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
−
′
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
′
+
′′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
′′
r
r
c
L
d
c
r
d
L
r
c
r
ρ
ρ
δ
ρ
ρ
δ
ρ
1
cos
cos
1
3
, 
(
)
d
r
L
dr
c
L
′
=
′
⋅
−
=
′
2
2
sin
sin
δ
ρ
δ
ρ
μ
, 
(
)
(
)
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
+
−
′′
−
=
′
′
−
′′
=
′′
2
2
2
2
2
2
2
cos
1
2
sin
2
sin
ρ
δ
ρ
ρ
ρ
δ
δ
μ
d
L
r
c
d
L
c
d
r
L
r
d
r
r
d
L
. 
Так как  
μ
ω
ϕ
′
Ω
+
=
′ 1
, 
μ
ω
ϕ
′′
Ω
=
′′
, 
то для аналогов скоростей и ускорений имеем 
 
                                    
ϕ
λ
ϕ
λ
′
′
=
d
d
,   
3
2
2
ϕ
λ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
λ
′
′
′′
−
′
′′
=
d
d
,                                            (20) 
(
)
l
d
c
c
c
d
d
l
d
ρ
λ
−
+
=
. 
Задача  кинематического  синтеза. 
Пусть  задан  закон  движения  коромысла 
( )
ϕ
λ
λ
=
.  Для  построения  профиля  кулачка  воспользуемся  методом  обращенного 
движения.  Зафиксируем  два  положения  (рисунок 1). За  начальное  положение  примем 
λ ,  соответствующее   
0
=
ϕ
.  Из  соотношения  (15) можно  найти  выражение  для 
полярного угла 
θ .  
                                            
)
(
0
μ
μ
ω
ϕ
θ
−
⋅
Ω
+
=
,                                                   (21) 
Полярные  координаты  теоретического  профиля  кулачка  можно  записать  в 
параметрическом виде: 
( )
( )
⎩
⎨
⎧
Ω
⋅
+
−
=
+
=
.
)
(
,
cos
0
ω
μ
μ
ϕ
ϕ
θ
λ
ϕ
ρ
l
c
                                                  (22) 
Перейдем  к  определению  радиуса  кривизны  нормального  сечения  и  углов 
давления.  
Будем  считать,  что  уравнение  контактной  линии  зависит  от  полярного  угла 
θ , 
т.е.   

 
 
203
λ
l
θ
0
r
r
c
0
ρ
ρ
z
y
x
R
                                              
⎩
⎨
⎧
=
=
).
(
),
(
θ
θ
ρ
ρ
r
r
                                                           (23) 
Тогда согласно рисунку 2 для векторного уравнения контактной линии можно записать  
                                       
,
sin
cos
k
j
r
i
r
R
ρ
θ
θ
+
+
=
                                                 (24) 
Уравнение  теоретической  профильной  поверхности  как  уравнение  линейчатой 
поверхности имеет вид: 
                                
,
sin
)
(
cos
)
(
k
j
r
i
r
B
ρ
θ
γ
θ
γ
+
+
+
+
=
                                       (25) 
Здесь 
γ
- параметр, изменяющийся вдоль единичного вектора образующей. Вычислим 
единичный вектор нормали к поверхности по формуле: 
                                           
γ
θ
γ
θ
B
B
B
B
m
×
×
−
=
,                                                               (26) 
 
 
 
                         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 2. Схема кулачка к синтезу механизма 
  
Для производных 
θ
B  и 
γ
B
 можно записать: 
                   
(
)
[
]
(
)
[
]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
′
+
+
+
′
+
+
−
′
=
.
sin
cos
,
cos
sin
sin
cos
j
i
B
k
j
r
r
i
r
r
B
θ
θ
ρ
θ
γ
θ
θ
γ
θ
γ
θ
                         (27) 
Подставив (5.27) в (5.26), получим: 
                                             
(
)
(
)
2
2
cos
sin
γ
ρ
γ
θ
ρ
θ
ρ
+
+
′
+
+
′
−
′
=
r
k
r
j
i
m
.                                           (28) 
Для точек контакта необходимо в формуле (28) положить 
0
=
γ
. Угол давления можно 
вычислить  с  помощью  скалярного  произведения 
m и  единичного  вектора  скорости 
звена 
l
. 
                                            
2
2
cos
sin
sin
arccos
r
r
+
′
′
−
=
ρ
λ
θ
ρ
λ
ν
.                                              (29) 
Радиус  нормальной  кривизны  кривой    в  точке  контакта  определим  по  следующей 
формуле: 
                                                                  
m
R
SS
к
1
=
ρ
.                                                          (30) 
Для второй производной по длине дуги S  от радиуса вектора кривой на поверхности 
можно получить 

 
 
204
                                 
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
ρ
ρ
ρ
ρ
θ
θθ
′
+
+
′
′′
+
′
+
′′
′
−
′
+
+
′
=
r
r
R
r
r
r
r
R
r
r
R
SS
,                                 (31) 
где 
                  
(
)
[
]
(
)
[
]
[
] [
]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
′
+
+
′
+
−
′
=
′′
+
′
+
−
′′
+
′
−
−
′′
=
.
cos
sin
sin
cos
,
cos
2
sin
sin
2
cos
k
j
r
r
i
r
r
R
k
j
r
r
r
i
r
r
r
R
ρ
θ
θ
θ
θ
ρ
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
                  (32) 
Подставив (5.32) в (5.31), а  затем  формулы (5.31) и (5.29) в (5.30), окончательно 
получим  
                                              
(
)
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
′
′
−
′′
+
′
′
+
+
′
=
r
r
r
r
r
к
2
2
2
2
2
2
.                                               (33) 
Если  радиус  точки  контакта r можно  принять  постоянным,  то  для  кривизны  можно 
записать 
                                                        
(
)
.
2
3
2
2
ρ
ρ
ρ
′′
′
+
=
r
r
к
                                                          (34) 
Формула (34) совпадает  с  радиусом  кривизны  плоской  кривой,  полученной  при 
развертке цилиндра радиуса r. 
 
Рисунок 3. Графики радиуса точки контакта (закон движения коромысло) и радиуса 
профиля кулачка 
 
 
Переходя в формулах (29) и (33) от 
θ  к переменному параметру 
ϕ
, получим: 
                                         
2
2
2
cos
sin
sin
arccos
θ
ρ
λ
θ
ρ
λ
θ
ν
r
r
+
−
=
&
&
&
,                                                (35) 
                                         
(
)
(
)
θ
ρ
θ
ρ
θ
ρ
θ
ρ
ρ
θ
ρ
&
&
&
&&
&
&
&&
&
&
&
&
&
r
r
r
r
r
k
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
+
+
+
=
.                                              (36) 
Здесь r, 
ρ
, 
θ  вычисляются по формуле (22), а производные по параметру 
ϕ
 равны: 

 
 
205
                           
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
′′
+
′
−
=
−
′′
−
′
=
′
−
=
′
−
′
−
=
′
+
=
.
sin
cos
,
2
cos
sin
sin
,
sin
,
cos
sin
1
,
cos
sin
,
cos
cos
2
2
2
2
2
λ
ϕ
λ
ϕ
ρ
μ
λ
ϕ
λ
ϕ
δ
θ
ϕ
λ
ρ
ϕ
λ
δ
ϕ
λ
δ
μ
ϕ
δ
μ
λ
l
r
r
r
ll
l
r
ll
r
ll
l
r
&&
&
&
&&
&
&
&
                                                   (37) 
ϕ
′ , 
ϕ
′′ - аналоги скорости и ускорения. 
В  качестве  примера  рассматривается  механизм  компенсатора  для  станка  СТБ, 
где  компенсирование  нити  осуществляется  с  двумя  водилками  (коромыслами)  от 
цилиндрического  кулачка[1].В  результате  решения  задачи  синтеза  цилиндрического 
кулачкового  механизма  станка  СТБ  в  системе Maple 11 построены  графики  радиуса 
точки контакта (движения водилок компенсатора) и радиуса профиля кулачка[3]. 
Задача  динамического  анализа 
кулачкового  механизма  проводится  согласно 
уравнениям 
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
+
−
=
Ι′
+
Ι
,
,
)
(
2
1
)
(
2
t
B
A
M
dt
dM
M
M
dt
d
d
d
c
d
П
П
ω
τ
ω
ϕ
ω
ϕ
                                              (38) 
с  начальными  условиями 
,
0
=
t
 
,
0
ϕ
ϕ
=
 
,
0
ω
ω
=
 
0
d
d
M
M
=
.  В  этих  формулах 
τ  -  
электрическая  постоянная    времени  электродвигателя,  А,  В-параметры  статической 
характеристики двигателя. Производные от 
λ  определяются по формуле (21). 
 Приведенный момент инерции и его производная имеют следующие 
зависимости: 
2
2
1
)
(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ι
+
Ι
=
Ι
ϕ
λ
ϕ
d
d
П
, 
2
2
2
)
(
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕ
d
d
d
d
П
⋅
=
′
Ι
.                                                       (39) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 4 – Графики приведенного момента инерции механизма и его производной 

 
 
206
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 6 -  Момент сил сопротивления механизма на коромысле 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 6. Графики углового положения и угловой скорости кулачка 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 7 - Момент движущих сил. 
 
В  качестве  примера  рассматривается  динамика  механизма  компенсатора  для 
станка СТБ. Динамический анализ механизма проводится в системе Maple 11. Графики 

 
 
207
приведенных  параметров  кулачкового  цилиндрического  механизма    с  учетом  выстоев 
коромысла  представленны  на  рисунке 4, где 
)
(
ϕ
П
Ι
-  приведенный  момент  инерции, 
)
(
ϕ
П
Ι′
-  производная  от  приведенного  момента  инерции.  При  этом  момент  сил 
сопротивления был задан в виде графика, представленного на рисунке 5. 
В  результате  на  рисунке 6 изображены  графики  угловой  скорости  кулачка 
)
(
),
(
t
t
ϕ
ϕ
ω
ω
=
=
,  полученные  путем  численного  решения  уравнений (38). Момент 
движущих сил из решения уравнений (38) имеет вид, как это изображен  на рисунке 7. 
Анализ этих графиков показывает, что кулачковый механизм реализовывает заданный 
закон  движения  коромысла,  а  динамические  параметры  соответствуют  параметрам 
установившемуся рабочему режиму механизма компенсатора нити станка СТБ[1].  
 
 
1.  Уалиев  Г.У.,  Джомартов  А.А.  Динамика  механизмов  ткацских  станков  СТБ: 
монография - Алматы: «Тауар». 2003. – 377 с.  
2.  Садыкова  А.Р.,  Ибкенова  А.К.,  Дракунов  Ю.М.  Проектирование  и  исследование 
кулачкового  механизма  с  коромыслом//  Тезисы  докладов 12-го  Межвузовской 
конф. по математике, механике и информатике, 2008, Алматы, С.128. 
3.  Уалиев Г.У., Дракунов Ю.М., Тулешов Е.А. Синтез цилиндрического кулачкового 
механизма  Механизма  уточного  компенсатора  ткацкого  станка  СТБ//  Материалы 
научно-практической 
конференции 
«Инновационные 
технологии 
товаров 
народного потребления, их качество и безопасность», Алматы, 2010. С.15-19. 
 
 
 
 
УДК 524.7 

жүктеу/скачать 5,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: