Рекомендации к выполнению задач

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
83 
y
( ) 
4 
 
 
Функция 
y 
= 
e
x
2 
x 
>0 при любых значениях 
x 
и имеет наименьшее 
значение при условии 
y
(
x
) 0 . Найдем решение данного уравнения (для 
проверки:
x 
=1); 
y
(1) = 
e
= 
p
. 
Пример 4. 
Найти все значения «р», при которых уравнение 
имеет одно решение. 
Ответ: 1 4. 
= 
x 
+ 
p 
В уравнении 
= 
x 
+ 
p 
необходимо убрать знак модуля при условии: 
a
)
x 
+ 
p 
0 
б
)
x 
+ 
p 
0
и решать уравнения 
a
) 
= 
x 
+ 
p б
) 
=
x 
p
. 
Если уравнение записать в виде 
x 
=
p
, 
то единственное решение 
проще найти графически, заменяя 
= 
t 
0 
и получая уравнение 
t 
2 
+ 
t 
=
p 
. 
Необходимо из двух уравнений выбрать одно. Левая часть уравнения представляет 
собой параболу с вершиной 
t 
= 
1 
, 
y
(
t
) = 
1
1 
. 
Условие 
1 
=
p 
определяет 
2 
2 
4 
4 
значение параметра:
1 
. 
4 
Пример 5.
Найти все значения «а», при которых наименьшее решение 
неравенства 
аx 
+ 4 
8
x 
равно –1. 
Ответ: 12. 
Преобразуем неравенство 
аx 
+ 4 
8
x 
 
к виду 
x
(
a 
8) + 4 
0 ,
x 
и будем его решать методом интервалов с нулевыми точками 
x 
= 0 
и x 
= 
8 
a 
. Значение 
4 
может быть как больше нуля, так и меньше. 
8
a 
Необходимо рассмотреть оба варианта и получить решение неравенства. По условию 
задачи, наименьшее решение должно быть равно (-1). В одном из вариантов (8- 
a 
0
) 
такого решения быть не может. 
Пример 6. 
При каких значениях «а» уравнение 2lg(
x 
+1) = lg
ax 
единственное решение? 
Ответ: 
(-
имеет 
Преобразуем 2lg(
x 
+1) = lg
ax 
к виду 
lg( 
x 
+ 1)
2 
= lg 
ax 
и перейдем к решению 
уравнения 
( 
x 
+ 1)
2 
= 
ax 
при условии, что 
a 
0, 
x 
ax 
0. 
Единственное решение возможно в двух случаях: 1) 
D 
= 0, 
2) 
D 
0 , но один 
из корней уравнения
x
1
или 
x
2
не удовлетворяют условию задачи. Для случая 
D 
= 0
получаем решение 
a 
= 4 
, при 
D 
0
a 
только в случае 
a 
решение будет единственным. 
Пример 7. 
При каких значениях «а» уравнение 
имеет единственное решение? 
Ответ: 
3
x 
lg 
x 
= 1 + 
a 
lg 
x 
Преобразуем 3
x 
lg 
x 
= 1 + 
a 
lg 
x 
к виду lg 
x
(3
x 
a
) = 1 lg 
x
= 
1 
3
x 
a 
.
x 
x 
x 
x 
x 
x 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
84 
24 
Решение уравнения необходимо выполнить графически, то есть построить 
известные функции 
y
1
= lg 
x
, 
y
2 
= 
1 
3
x a 
и подобрать значение 
a
так, чтобы точка 
пересечения графиков была единственной. 
Пример 8.
При каких значениях «а» функция 
определена при любых значениях «х»? 
y 
= log
x
2 
(cos 
x 
+
8 sin 
x 
a
) 
Область определения функции 
y 
= log
x
2 
(cos 
x 
+
8 sin 
x 
a
) находится при 
 
выполнении условий
25
x
2 
>0 
25
x
2 
1
(1) 
(2) 
cos 
x 
+ 8 sin 
x 
a 
>0 (3) 
Решение (1) и (2) определяет 
x 
за исключением значений 
x 
=
. 
Решение 
(3) 
удобнее 
находить 
в 
виде 
cos 
x 
+ 8 sin 
x 
> 
a 
, 
обозначая 
y
1
( 
x
) = cos 
x 
+ 8 sin 
x
, 
y
2 
( 
x
) = 
a 
. Тогда 
y
1
(
x
) > 
y
2 
(
x
) . Необходимо 
определить 
минимум 
функции 
y
1
(
x
) , 
используя 
равенство 
нулю ее производной: 
– sin 
x 
+ 8 cos 
x 
= 0 . 
Точкой 
минимума 
является 
точка 
с координатами 
x 
= 
 
+ 
arctg 
8, 
y 
= 
Выполнение условия 
y
1
(
x
) > 
y
2 
(
x
) 
достигается при значении 
a 
С 
учетом (1) и (2) решением задачи являются значения 
a 
24 )
Решение задач с параметром как один из способов развития творческих 
способностей учащихся на уроках математики 
Аннотация 
Задачи с параметрами как один из видов нестандартных задач играют важную роль 
в формировании творческих способностей, логического мышления и математической 
культуры, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что 
каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой 
из которых должно быть получено решение. Поэтому можно дать только одну, общую для 
всех задач, рекомендацию: необходимо хорошо знать теоретические основы темы, 
обозначенной в условиях задачи. 
Ключевые слова: 
задача с параметром, параметр, математическое мышление, 
творческие способности. 
Математика сабағында оқушылардың шығармашылық қабілеттілігін дамыту 
жолдарының бірі ретінде параметрі бар есептерді шешу 
Аңдатпа 
Стандартты емес есептер түрлерінің бірі ретінде параметрлері бар есептер 
шығармашылық қабілеттерді, логикалық ойлауды және математикалық мәдениетті 
қалыптастыруда маңызды рӛл атқарады, бірақ оларды шешу айтарлықтай қиындықтар 
туғызады. Бұл параметрлері бар әрбір есеп қарапайым есептердің тұтас класы болып 
табылатындығына байланысты, олардың әрқайсысы үшін шешімін алу керек. Сондықтан 
біз барлық тапсырмаларға ортақ бір ғана ұсыныс бере аламыз: тапсырма шарттарында 
кӛрсетілген тақырыптың теориялық негіздерін жақсы білу қажет. 
Кілт сӛздер: 
параметр, параметрі бар есеп, математикалық ойлау, шығармашылық 
дағдылар. 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: