ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
А.Т.Таупык – магистрант, Б.Ж.Жақашбаев – к.ф.-м.н., доцент
(г.Алматы, КазгосженПУ)
Аннотация
: Получено достаточное условия задачи Коши существования
единственности решения дифференциальные уравнение в частных производных.
Ключевые слова:
Дифференциальные уравнение в частных производных.
Рассмотрим задачу Коши
(1)
Будем предпологать, что все выполняемые ниже действия законы, и в этом
предположении выведем формулу для решения задачи Коши (1). Обе части уравнения (1)
подвергнем преобразованию Фурье по
х
(2)
Интегрирование по
у
и дифференцирование по
t
независимы, поэтому вынесем в первом
слагаемом дифференцирование по
t
за знак интеграла:
,
78 Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013
здесь
означает преобразование Фурье функции
Каждый интеграл во втором слагаемом в (2) возьмем по частям
(3)
Уравнение (2) принимает вид
(4)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с независимой
переменной
t
;
координаты
играют роль параметров. Интегрируя уравнение
(4) получаем
Пологая здесь
t=0
, найдем
. Таким
образом, функция
есть преобразование Фурье начального значения функции
. Но
следовательно,
и
,
Воспользуемся формулой обращения интеграла Фурье
Заменим здесь
его выражением и изменим порядок интегрирования:
(5)
Вычислим внутренний интеграл в формуле (5):
(6)
В интеграле справа
у
– вещественная переменная, которая меняется в пределах
Выделим
𝓀
- й множитель в произведении (6). Обозначим для
краткости
Дело сводится к вычислению интеграла
Рассмотрим плоскость комплексной переменной
Для определенности
примем, что
По теореме Коши
или, в более подробной записи,
Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
79
Пусть теперь
N
При этом второй и четвертый интегралы стремятся к нулю.
Действительно,
Отсюда следует, что
Легко видеть, что случай
приводит к тому же результату. Замена
дает, далее
Теперь
и интеграл (6) оказывается равным величине
,
Подставив этот результат в формулу (5), получим формулу Пуассона:
(7)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Б.П.Демидович Лекции по математической теории устойчивости. Наука, М., 1967
2.
А.Л.Скубачевский Неклассические краевые задачи. М., РЗДН –2009.
3.
В.С.Владимиров Уравнения математической физики – Новосибирск.
Наука, 1988
4.
А.Н.Тихонов, А.А.Самарский Уравнения математической физики.Учебник для
университетов – М., Издательство, Московский университет, Наука 2004 – 798с.
ТҮЙІНДЕМЕ
Бұл мақалада Коши есебінің жеткілікті шарты қарастырылған және есептің
шешімінің бар болуы кӛрсетілген.
SUMMARY
The article deals with a sufficient condition for the Cauchy problem and having problem
solution.
80 Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013
УДК 51 Т 133
Достарыңызбен бөлісу: |