Рис.6     в) Случай равного сопротивления (n = k)

(17) 
Так как общее и частное решения совершаются с разными частотами, то 
вынужденные колебания не будут гармоническими. Но, как нам уже известно, 
общее решение определяет свободные колебания, которые с течением времени 
довольно  быстро  затухают.  Поэтому  интерес  представляют  только 
установившиеся колебания: 
 
Отсюда  следует,  что  установившиеся  вынужденные  колебания  будут 
гармоническими с частотой р, равной частоте возмущающей силы и, что они не 
зависят от начальных условий. 
И,  самое  интересное,  –  амплитуда  колебаний  А  зависит  от  частоты  р 
возмущающей силы. График этой зависимости дан на рис.7. 
 
Рис.7 
 
Первое, что надо отметить, при p = k (частота возмущающей силы равна 
частоте свободных колебаний) амплитуда увеличивается до бесконечности. 
Это явление называется резонансом. 
Как  известно  из  курса  высшей  математики,  при  p  =  k  решение  (17)  не 
будет удовлетворять уравнению (15). Частное  решение  надо искать  в  другом   
виде:   
 
Подставив его в уравнение (15), получим: 
 
 
Отсюда 
 
и  частное  решение,  определяющее  вынужденные 
колебания при резонансе, получится таким  
 
Видим,  что  амплитуда  колебаний  беспредельно  равномерно 
увеличивается (рис.8). Амплитуда не сразу становится бесконечно большой. И 
даже малая возмущающая сила может раскачать систему до больших амплитуд 
и вызвать разрушение конструкции. 
158 
 

 
Рис.8 
 
Интересен еще один случай, при котором частота р возмущающей силы 
близка к частоте свободных колебаний, 
,  но не  равна  ей. 
Воспользуемся    решением  (17),    положив  для  простоты 
.  Пусть  в 
начале движения координата и скорость  равнялись нулю (при t = 0  q = 0  и 
). Подставим эти начальные условия в уравнения  
 
 
Получим  два  уравнения:  0=C
1
 
и  0=C
2
k+Ap
,  из  которых  находим  C
1
=0, 
C
2
=-Ap/k
. Тогда уравнение колебаний 
  
Так как 
 
и 
 
то, по (16),  
 
Кроме  того 
 
Уравнение 
движения получится таким 
(20) 
Рассматривая функцию, стоящую перед cospt, как амплитуду колебаний, 
замечаем, что она изменяется по гармоническому закону с периодом 
 
от 
нуля до максимального значения 
 
(рис.9). 
Сами колебания совершаются с частотой р и периодом  
  
 
Рис.9 
  
159 
 

Чем  ближе  частота  возмущающей  силы  р  к  частоте  k,  т.е.  чем  ближе  к 
резонансу, тем больше будет период амплитуды T
A
 
и больше амплитуда A
max
. И 
тем больше будет похож график на рис.9 на график на рис.8,  изображающий 
колебания  при  резонансе.  Эти  колебания  с  периодически  изменяющейся 
амплитудой называются биениями. Такое явление часто встречается, например, 
в радиотехнике.  
Мы  исследовали  вынужденные  колебания  под  действием  возмущающей 
силы,  изменяющейся  по гармоническому  закону.  Но  нередко  она оказывается 
более  сложной.  Приходится  использовать  специальные  математические 
методы, чтобы получить более-менее точный результат. 
Если  возмущающая  сила  периодическая  и  ее  можно  разложить  в  ряд 
Фурье, то решение может оказаться не очень сложным. 
Пусть  возмущающая  сила  описывается  периодической  функцией    Q  = 
Q(t
)  с  периодом 
,  
р  –  частота  изменения  этой  функции.    И  пусть 
конструкция ее позволяет разложить функцию в ряд Фурье:  
 
где  Q
j
 
и    -  коэффициенты  Фурье,  определяемые  по  специальным 
формулам. 
Частное  решение  дифференциального  уравнения  (15)  получится  в  виде 
ряда:  
 
 
 
Количество s членов этого ряда стараются иметь не очень большим, если 
ряд хорошо сходится. 
Решение  получается  как  сумма  нескольких  синусоид  («гармоник»)  с 
кратными частотами. Наименьшая частота р – называется основной частотой. 
Интересно, что в полученном решении возможно несколько резонансов, 
столько, сколько гармоник: при p = k, p=k/2, p=k/3  и т.д. 

жүктеу/скачать 4,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: