Олимпиада по математике им. Ш. Смагулова Заключительный этап. 6 класс

Олимпиада по математике им. Ш. Смагулова
Заключительный этап. 6 класс
ќ1. (5 баллов) В школе учатся меньше 150 школьников. Известно, что 56%
девочек этой школы и 74% мальчиков ходят на кружок логики, а 65% всех
школьников ходят на кружок математики. Сколько всего детей учатся в этой
школе?
ќ2. (6 баллов) На доске написано 9 натуральных чисел, каждое из которых
имеет 20 цифр, но ни одно из них не содержит цифру 0. Если взять набор
цифр в разряде единиц этих чисел (то есть набор последних цифр), то в
этом наборе не окажется двух равных цифр. То же самое выполнено для всех
наборов остальных разрядов, то есть для набора десяток, соток и т.д. Пусть
S
 сумма всех этих 9 натуральных чисел. Найдите сумму цифр числа S.
ќ3. (7 баллов) Существуют ли шесть последовательных натуральных чисел
таких, что наименьшее общее кратное (НОК) трех из них на 2021 больше
наименьшего общего кратного трјх оставшихся?
ќ4. (8 баллов) Можно ли в клетки таблицы 5 Ч 5 вписать числа 1, 2, 3
(в каждую клетку  одно число) так, чтобы произведения чисел во всех
квадратах 2 Ч 2 были различны?
ќ5. (9 баллов) Есть 50 карточек, на них написано число от 1 до 50, каждая
по одному разу. Костя и Виталик по очереди берут по одной карточке, пока
все карточки не будут разобраны. Костя берет первым и хочет добиться того,
чтобы сумма чисел на его карточках делилась на 25. Виталик хочет помешать
этому. Сможет ли Костя добиться своей цели?
Математикадан Ш.СмаЎґлов атындаЎы олимпиада.
‰орытынды кезе­. 6 сынып
ќ1. (5 ґпай) Мектептегi о©ушылар саны 150-ден аз. Логика ійiрмесiне ©ы-
здарды­ 56%-ы жєне ґлдарды­ 74%-ы, ал математика ійiрмесiне барлы©
о©ушыларды­ 65%-ы баратыны белгiлi. Бґл мектепте о©итын о©ушыларды­
жалпы саны ©анша?
ќ2. (6 ґпай) Та©тада єр©айсысы 20 та­балы 9 натурал сан жазылЎан, жєне
бґларды­ жазылуында 0 цифры мілде ©олданылмаЎан. Егер бiрлiк разряд-
таЎы цифрлар жиынын ©арастырса© (яЎни со­Ўы цифрларды), бґл жиын-
даЎы цифрларды­ барлыЎы єр тірлi цифрлар. Егер єр ©алЎан разрядтаЎы
цифрларды­ жиындарын ©арастырса© (онды© разряд, жіздiк разряд, т.с.с),
олар ішiн де дєл осы ©асиет орындалады. S саны  осы 9 натурал сандарды­
©осындысы болсын. S саныны­ цифрларыны­ ©осындысын табы­ыз.
ќ3. (7 ґпай) Сандарды­ ішеуiнi­ е­ кiшi орта© еселiгi (ЕКОЕ), ©алЎан іше-
уiнi­ е­ кiшi орта© еселiгiнен 2021-ге арты© болатындай, тiзбектес натурал
алты сан табылады ма?
ќ4. (8 ґпай) 5 Ч 5 кестесiнi­ торк°здерiне єрбiр 2 Ч 2 шаршысындаЎы сан-
дарды­ к°бейтiндiсi єртірлi болатындай етiп, 1, 2, 3 сандарын (єр торк°зге
дєл бiр саннан Ўана) орналастыруЎа бола ма?
ќ5. (9 ґпай) 50 картаны­ єр©айсысына 1 ден 50-ге дейiнгi сандар жазы-
лЎан (єр сан тек бiр рет Ўана жазылЎан). Барлы© карта таусылЎанша, Костя
мен Виталик бiр-бiр картадан кезектесiп алып отырды. Костя бiрiншi болып
алады жєне ол °зiнi­ 25 картасын алып бiткен со­, алЎан карталарындаЎы
сандарды­ ©осындысы 25-ке б°лiнетiндей ©ылЎысы келедi. Ал Виталик оЎан
кедергi жасама©. Костя ма©сатына жете алады ма?

Олимпиада по математике им. Ш. Смагулова
Заключительный этап. 6 класс. Решения задач
ќ1. (5 баллов) В школе учатся меньше 150 школьников. Известно, что 56% девочек
этой школы и 74% мальчиков ходят на кружок логики, а 65% всех школьников
ходят на кружок математики. Сколько всего детей учатся в этой школе?
Ответ. 100.
Решение. Обозначим через M и D количества мальчиков и девочек соответствен-
но. Так как 56% от D, т.е. 56
100
D = 14
25
D
, является целым числом, то D делится
на 25 и, значит, имеет некий вид D = 25d, где d  натуральное число. Аналогично,
так как 74% от M, т.е. 37
50
M
, целое число, то M делится на 50 и, значит, M =
= 50m
, для некоторого натурального m. Кроме того, по условию, 65% от M + D,
т.е. 65
100
(M + D) = 13
20
(M + D)
, тоже является целым.
Поэтому M + D делится на 20, т.е. 25d + 50m = 25(d + 2m) делится на 20, откуда
d+2m
делится на 4. При этом, согласно условию, 25(d+2m) = D+M < 150, так что
d + 2m < 6
. Единственным натуральным числом, которое меньше 6 и делится на
4, является число 4. Поэтому d + 2m = 4. Следовательно, число учеников в школе
D + M = 25(d + 2m) = 25 · 4 = 100
.
ќ2. (6 баллов) На доске написано 9 натуральных чисел, каждое из которых имеет
20 цифр, но ни одно из них не содержит цифру 0. Если взять набор цифр в разряде
единиц этих чисел (то есть набор последних цифр), то в этом наборе не окажется
двух равных цифр. То же самое выполнено для всех наборов остальных разрядов,
то есть для набора десяток, соток и т.д. Пусть S  сумма всех этих 9 натуральных
чисел. Найдите сумму цифр числа S.
Ответ. 180.
Решение. Мысленно выпишем числа друг под другом и найдем их сумму S с по-
мощью сложения в ѕстолбикї. В разряде единиц по одному разу выписаны цифры
1, 2, . . ., 9. Их сумма равна 45. Поэтому последняя цифра числа S равна 5, и при
продолжении вычислений в следующий разряд переносится 4 единицы. В разряде
десятков также по одному разу выписаны цифры 1, . . ., 9 с суммой 45, то есть
предпоследняя цифра числа S равна 9. Далее, такими рассуждениями легко по-
нять, что число S имеет 21 цифру, в котором первая цифра равна 4, последняя 5, а
остальные равны 9. Следовательно, сумма цифр числа S равна 4 + 19 · 9 + 5 = 180.
ќ3. (7 баллов) Существуют ли шесть последовательных натуральных чисел таких,
что наименьшее общее кратное (НОК) трех из них на 2021 больше наименьшего
общего кратного трјх оставшихся?
Ответ. Нет, не существуют.
Решение. Предположим, что такие шесть чисел найдутся. Среди шести последо-
вательных чисел ровно три четных. Если и в первой тройке, и во второй есть четное
число, то оба НОК будут четными числами, то есть их разность не может равнять-
ся нечетному числу 2021. Поэтому в одной тройке содержатся все четные числа,
а в другой  все нечетные. Но и среди трех последовательных нечетных чисел, и
среди последовательных четных чисел есть число, делящиеся на 3. Следовательно,
оба НОК делятся на 3, поэтому и разность этих НОК делятся на 3. Но число 2021
на 3 не делится. Противоречие.
ќ4. (8 баллов) Можно ли в клетки таблицы 5 Ч 5 вписать числа 1, 2, 3 (в каждую
клетку  одно число) так, чтобы произведения чисел во всех квадратах 2 Ч 2 были
различны?
Ответ. Нет, нельзя.
Решение. Прежде всего отметим, что число квадратов 2 Ч 2 в таблице 5 Ч 5 равно
16. Выясним, какие значения могут иметь произведения чисел в квадратах 2 Ч 2.
Каждое произведение состоит из четырех множителей и может быть представлено
в виде 2
n
3
m
(число 1 можно не считать), где 0 ? n+m ? 4. Различных произведений
такого вида существует ровно 15, это
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 54, 81.
А поскольку квадратов 2 Ч 2, как уже отмечалось, больше 15, то как бы не были
вписаны числа 1, 2, 3, в каких-то квадратах произведения совпадут.
ќ5. (9 баллов) Есть 50 карточек, на них написано число от 1 до 50, каждая по
одному разу. Костя и Виталик по очереди берут по одной карточке, пока все кар-
точки не будут разобраны. Костя берет первым и хочет добиться того, чтобы сумма
чисел на его карточках делилась на 25. Виталик хочет помешать этому. Сможет ли
Костя добиться своей цели?
Ответ. Костя сможет добиться своей цели.
Решение. В этой задаче неважно, как расположены карточки. Пусть карточки
расположены в виде таблицы 2Ч25: в первой строке выложены карточки с числами
от 1 до 25 по возрастанию, а под ними во второй строке  карточки с числами от
26 до 50 тоже по возрастанию.
1
2
3
. . .
24
25
26
27
28
. . .
49
50
Наблюдая за игрой, будем говорить, что столбец в этой таблице неполный, если из
него взята одна карточка, и полный  если обе карточки еще не взяты. Заметим,
что числа, стоящие в одном столбце, отличаются на 25 и поэтому дают одинаковые
остатки при делении на 25.
Выигрышная стратегия Кости состоит в том, чтобы взять из каждого столбца
ровно одну карточку. Тогда сумма чисел на Костиных карточках будет иметь такой
же остаток при делении на 25, как и сумма 1 + 2 + 3 + . . . + 24 + 0 = 300, т. е. будет
делиться на 25. Значит, Костя выиграет.
Следовать этой стратегии совсем нетрудно. Первым ходом Костя берет карточку
из любого столбца и запоминает, что больше из этого столбца он карточек брать не
будет. Таким образом, перед ходом Виталика на столе имеется ровно один неполный
столбец, причем карточку из него взял Костя. После того как Виталик сделает свой
ход, на столе будет не более двух неполных столбцов. Точнее говоря, не будет ни
одного неполного столбца, если Виталик возьмет карточку из неполного столбца,
либо будет ровно два неполных столбца, если Виталик возьмет карточку из какого-
то полного столбца. В первом случае Костя возьмет карточку из любого столбца, во
втором случае  из того, где только что взял карточку Виталик. В обоих случаях
после Костиного хода на столе остался ровно один неполный столбец, из которого
Костя уже брал карточку. Ситуация повторилась. Играя таким образом дальше,
Костя добьется своей цели.

Математикадан Ш.СмаЎґлов атындаЎы олимпиада.
‰орытынды кезе­. 6 сынып. Есептер шешiмi
ќ1. (5 ґпай) Мектептегi о©ушылар саны 150-ден аз. Логика ійiрмесiне ©ыздар-
ды­ 56%-ы жєне ґлдарды­ 74%-ы, ал математика ійiрмесiне барлы© о©ушыларды­
65%
-ы баратыны белгiлi. Бґл мектепте о©итын о©ушыларды­ жалпы саны ©анша?
Шешуi. 100.
Шешуi. U жєне Q деп сєйкесiнше ґлдар мен ©ыздары­ санын алайы©. Q-ды­
56%
-ы, яЎни 56
100
D = 14
25
D
бітiн сан болуы керек, сонды©тан Q саны 25-ке б°лiнедi.
Сол сия©ты U-ды­ 74%-ы, яЎни 37
50
U
саны бітiн сан, онда U саны 50-ге б°лiнедi,
онда ол 25-ке де б°лiнуi керек. Сонды©тан жалпы о©ушы саны U +Q 25-ке б°лiнедi.
U + Q
яЎни барлы© окушыларды­ 65%-ы бітiн сан болуы керек, яЎни 13
20
(U + Q)
бітiн сан, онда U + Q саны 20-Ўа б°лiнедi. Барлы© о©ушы саны 20-Ўа, 25-ке б°лiнуi
жєне 150-ден аз болуы керек, ондай сан тек 100 Ўана.
ќ2. (6 ґпай) Та©тада єр©айсысы 20 та­балы 9 натурал сан жазылЎан, жєне бґлар-
ды­ жазылуында 0 цифры мілде ©олданылмаЎан. Егер бiрлiк разрядтаЎы цифр-
лар жиынын ©арастырса© (яЎни со­Ўы цифрларды), бґл жиындаЎы цифрларды­
барлыЎы єр тірлi цифрлар. Егер єр ©алЎан разрядтаЎы цифрларды­ жиындарын
©арастырса© (онды© разряд, жіздiк разряд, т.с.с), олар ішiн де дєл осы ©асиет
орындалады. S саны  осы 9 натурал сандарды­ ©осындысы болсын. S саныны­
цифрларыны­ ©осындысын табы­ыз.
Жауабы. 180.
Шешуi. Ойша сандарды бiрiнi­ астына бiрiн жазып, баЎандап ©осайы©. Бiрлiк
орында 1, 2, . . ., 9 цифрлары жазылЎан. Оларды­ ©осындысы 45. Онда ©осынды-
ны­ со­Ўы цифры 5 болады, жєне 4 ойда. Бас©а разрядтарды да солай есептеймiз
оЎан ойдаЎы 4-тi ©осып отырамыз. Сонда 45 + 4 = 49, яЎни 9-ды жазамыз, 4 ойда.
Осындай талдаумен, S-тi­ 21 та­балы жєне бiрiншi цифры 4 екенiн тісiну ©иын
емес. S-тi­ бiрiншi цифры 4, со­Ўы цифры 5, ©алЎан цифрлары 9-Ўа те­, сол ішiн
цифрыны­ ©осындысы 4 + 19 · 9 + 5 = 180.
ќ3. (7 ґпай) Сандарды­ ішеуiнi­ е­ кiшi орта© еселiгi (ЕКОЕ), ©алЎан ішеуiнi­
е­ кiшi орта© еселiгiнен 2021-ге арты© болатындай, тiзбектес натурал алты сан
табылады ма?
Жауабы. Жо©, табылмайды.
Шешуi. Ондай алты сан бар деп ойлайы©. Тiзбектес алты санны­ дєл ішеуi жґп
сан болады. АлЎаш©ы іштiк те де, келесi іштiкте де жґп сан болса, екеуiнi­ де
ЕКОЕ-сi жґп болады, яЎни айырмасы та© 2021 саны бола алмайды. Сонды©тан
барлы© жґп сан бiр іштiкте, ал та© сандар келесi іштiкте болуы керек. Бiра©
тiзбектес іш жґп санны­ iшiнде бiреуi жєне тiзбектес іш так санны­ iшiнде бiреуi
3-ке б°лiнедi. Сонда екi ЕКОЕ-де 3-ке б°лiнедi, онда оларды­ айырмасы да 3-ке
б°лiнуi керек. Бiра© 2021 саны 3-ке б°лiнбейдi. ‰арама-©айшылы©.
ќ4. (8 ґпай) 5 Ч 5 кестесiнi­ торк°здерiне єрбiр 2 Ч 2 шаршысындаЎы сандарды­
к°бейтiндiсi єртірлi болатындай етiп, 1, 2, 3 сандарын (єр торк°зге дєл бiр саннан
Ўана) орналастыруЎа бола ма?
Жауабы. Болмайды.
Шешуi. 5Ч5 та©тасындаЎы 2Ч2 шаршыларды­ саны 16. 2Ч2 квадратындаЎы сан-
дарды­ к°бейтiндiсi ©андай мєндерге ие бола алатынын аны©тайы©. љр к°бейтiндi
т°рт к°бейткiштен ©ґралады жєне келесi тірге келтiруге болады 2
n
3
m
(1-лердi са-
намаса© та болады ), бґл жерде 0 ? n + m ? 4. Бґндай тірдегi дєл 15 єртірлi
к°бейтiндi бар, олар
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 54, 81.
2 Ч 2
шаршыларыны­ саны 15-тен к°п болЎанды©тан, 1, 2, 3 сандарын ©алай орна-
ластырса© та, к°бейтiндiлерiнi­ мєнi те­ квадраттар табылады.
ќ5. (9 ґпай) 50 картаны­ єр©айсысына 1 ден 50-ге дейiнгi сандар жазылЎан (єр сан
тек бiр рет Ўана жазылЎан). Барлы© карта таусылЎанша, Костя мен Виталик бiр-
бiр картадан кезектесiп алып отырды. Костя бiрiншi болып алады жєне ол °зiнi­
25 картасын алып бiткен со­, алЎан карталарындаЎы сандарды­ ©осындысы 25-ке
б°лiнетiндей ©ылЎысы келедi. Ал Виталик оЎан кедергi жасама©. Костя ма©сатына
жете алады ма?
Жауабы. Костя ма©сатына жете алады.
Шешуi. Есепте карталарды­ ©алай орналас©аны ма­ызды емес. Карталар 2 Ч 25
кестесi тірiнде орналас©ан деп ойлайы©, бiрiншi жолЎа 1, 2, . . ., 25 деген сандар,
оларды­ астында екiншi жолда 26, 27, . . ., 50 сандар орналас©ан болсын.
1
2
3
. . .
24
25
26
27
28
. . .
49
50
Ойын барысында, баЎандарды  егер ол баЎаннан бiр карта алынса оны толы©
емес баЎан деп, ал екi карта да орнында болса оны толы© баЎан деп айтайы©. љр
баЎанда тґрЎан сандарды­ айырмасы 25ке те­, сол ішiн олар 25-ке бiрдей ©алды-
©тар бередi.
Костяны­ ма©сатына жету стратегиясы, єр баЎаннан бiр картадан алып отыру.
Сонда Костяны­ алЎан карталарындаЎы сандарды­ ©осындысыны­ 25-ке ©алдыЎы,
1 + 2 + 3 + . . . + 24 + 0 = 25 · 12
санымен бiрдей болады, яЎни 25-ке б°лiнедi.
Бґл стратегияны жізеге асыру ©иын емес. Костя бiрiншi кез-келген баЎаннан
бiр карта алады, сосын осы баЎаннан ендi карта алмайды. Онда Виталик жірiс
жасарды­ алдында істелде дєл бiр Ўана толы© емес баЎан болады, жєне ондаЎы
екiншi картаны Костя алып кеткен. Онда Виталик не толы© емес баЎандаЎы кар-
таны алады, не жа­адан бiр толы© емес баЎан жасайды. Сєйкесiнше Костя бiрiншi
жаЎдайда жа­адан толы© емес баЎан жасайды, екiншi жаЎдайда Виталик жасаЎан
толы© емес баЎандаЎы картаны алады. Екi жаЎдайда да Костядан кейiн тек бiр
Ўана толы© емес баЎан ©алады, жєне ол баЎандаЎы екiншi картаны Костя алЎан.
Дєл осындай жаЎдайлар ©айталана бередi. Осындай жірiстер жасау ар©ылы Ко-
стя ма©сатына жетедi.