Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики

68 

 

12.

 

Левицкий,  Ю.  В.  Интеграция  образования,  науки  и  производства  в 

информационном обществе [Текст] / Ю. В. Левицкий. -  Новосибирск: Наука, 

2002. – 164 с. 

13.

 

Метельский,  Н.  В.  Пути  совершенствования  обучения  математике: 

Проблемы  современной  методики  математики  [Текст]  /  Н. В. Метельский.  - 

Минск: Университетское, 1989.-160 с. 

14.

 

Методика  преподавания  математики:  Общая  методика  [Текст]  / 

Составители: Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. – 236 с. 

15.

 

Петрова,  Е.С.  Теория  и  методика  обучения  математике:  Учеб.-метод. 

пособие  для  студ.  мат.  спец.:  В  3  ч.  Ч.  1.  Общая  методика  [Текст]  / 

Е. С. Петрова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с. 

16.

 

Погорелов,  А.  В.  Геометрия.  10-11  классы:  учеб.  для  общеобразоват. 

организаций:  базовый  и  профил.  уровни  [Текст]  /  А.  В.  Погорелов.  - 

М.: Просвещение, 2014. – 176 с. 

17.

 

Потоскуев, Е. В. Геометрия 11 кл. Задачник для общеобразовательных 

учреждений  с  углуб.  И  профильным  изучением  математики  [Текст]  /  Е.  В. 

Потоскуев, Л. И. Звавич. – М.: Дрофа, 2010. – 240 с. 

18.

 

Сборник  задач  по  математике  с  решениями.  8-11  кл.  [Текст]  / 

В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кродемский; под общ. ред. М. И. Сканави. – 

М.: ООО «Издательство Оникс», 2012. – 624 с. 

19.

 

Селевко,  Г.  К.  Современные  образовательные  технологии  [Текст]  / 

Г. К. Селевко.- М.: Народное образование, 2005.-255с. 

20.

 

Сулейменов,  Е.  З.,  Васильева,  Н.  В.  Интеграция  образования  и  науки 

[Текст] / Е. З. Сулейманов, Н. В. Васильева. – Алматы: Национальный центр 

научно-технической информации РК, 2006. – с 15-19. 

21.

 

Фёдорец,  Г.Ф.  Проблемы  интеграции  в  теории  и  практике  обучения. 

[Текст] / Г. Ф. Федорец. Л.: ЛГПИ им. А.И.Герцена, 2011.-93 с

.

 

22.

 

Чошанов,  М.  A.  Гибкая  технология  проблемно-модульного  обучения: 

Методическое пособие [Текст] / М. А. Чошанов. - М.: Народное образование, 

1996. - 160 с. 

69 

 

23.

 

Чошанов,  М.  А.  Инженерия  обучающих  технологий  [Текст]  /  М.  А. 

Чошанов. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 240 с. 

24.

 

http://mourat.utep.edu/vis_math. 

25.

 

http://www.edu.ru. 

 

 

 

69 

 

Приложение 1 

Анализ учебников геометрии по теме «Объемы тел» 

 

Геометрия. 10-11 классы. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. 

Объемы 

многогранников 

Объемы многогранников рассматриваются как частные случаи объемов тел вращения 

Объемы тел 

вращения 

Доказывается теорема об объеме прямого цилиндра,затем вводится теорема о зависимости 

объема от площади сечения, далее, на основе этой теоремы рассматриваются теоремы об объемах 

цилиндра, конуса и шара. 

Геометрия. 10-11 классы Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. 

Объемы 

многогранников 

В  доказательстве  формулы  объема  прямоугольного  параллелепипеда  рассматриваются  два 

случая: все измерения параллелепипеда представляют собой конечные десятичные дроби и хотя 

бы  одно  из  измерений  представляет  собой  бесконечную  десятичную  дробь.  Формула  объема 

прямой 

?????? - угольной призмы доказывается путем разбиения ее на прямые призмы, основаниями 

которых  является  прямоугольный  треугольник.  При  вычислении  объемов  наклонных  призмы, 

пирамиды используется способ вычисления объемов тел, основанный на понятии определенного 

интеграла, который известен ученикам из курса алгебры и начала анализа. 

Объемы тел 

вращения 

Формула объема цилиндра доказывается путем вписывания в него и описывания вокруг него 

прямой 

??????  -  угольной  призмы.  При неограниченном  увеличении  ??????,  то  есть  ?????? → ∞,  объемы  этих 

70 

 

призм  будут  стремиться  к  объему  цилиндра,  следовательно,  объем  прямого  цилиндра  равен 

произведению площади основания на высоту. При вычислении объемов наклонных цилиндра и 

конуса,  шара  используется  способ  вычисления  объемов  тел,  основанный  на  понятии 

определенного интеграла, который известен ученикам из курса алгебры и начала анализа.  

Геометрия. 10-11 классы Погорелов А.В. 

Объемы 

многогранников 

В доказательстве формулы объема прямоугольного параллелепипеда рассматриваются два 

случая: все измерения параллелепипеда представляют собой конечные десятичные дроби и хотя 

бы одно из измерений представляет собой бесконечную десятичную дробь. Теорема об объеме 

параллелепипеда доказывается путем перестраивания наклонного параллелепипеда в прямой. 

Теоремы об объеме призмы и пирамиды доказываются на основе перестраивания фигур. Объема 

одной фигуры выражается через объем другой фигуры, объем которой уже известен. 

Объемы тел 

вращения 

Формула объема цилиндра доказывается путем вписывания в него и описывания вокруг него 

прямой 

??????  -  угольной  призмы.  При неограниченном  увеличении  ??????,  то  есть  ?????? → ∞,  объемы  этих 

призм  будут  стремиться  к  объему  цилиндра,  следовательно,  объем  прямого  цилиндра  равен 

произведению площади основания на высоту. При вычислении объемов наклонных цилиндра и 

конуса  используется  способ  вычисления  объемов  тел,  основанный  на  понятии  определенного 

интеграла,  который  известен  ученикам  из  курса  алгебры  и  начала  анализа.  Для  доказательства 

теоремы  об  объеме  шара  используется  разбиение  шара  на  слои.  Затем  эти  слои  описывают 

цилиндрами, находят объем этих цилиндров и суммируют их.  

71 

 

Геометрия. 10-11 классы Шарыгин И.Ф. 

Объемы 

многогранников 

В  доказательстве  формулы  объема  прямоугольного  параллелепипеда  рассматриваются  два 

случая: все измерения параллелепипеда представляют собой конечные десятичные дроби и хотя 

бы  одно  из  измерений  представляет  собой  бесконечную  десятичную  дробь.  Формула  для 

нахождения объема произвольной призмы доказывается с помощью ее специального разбиения 

(обозначают  середины  ребер,  соединяют  их,  разрезают)  на  две  равные  пирамиды  и  две  равные 

треугольные  призмы.  Если  искомый  объем  равен 

??????,  то  объемы  малых  пирамид  равны  (по 

принципу подобия) 

1

8

??????. Затем, используя формулы для нахождения объема призмы, вычисляют 

объемы  треугольных  призм,  которые  равны 

1

8

??????ℎ.  Суммированием  получившихся  объемов 

получают искомый объем пирамиды. Если данная формула верна для треугольной пирамиды, то 

она верна и для многоугольной пирамиды. 

Объемы тел 

вращения 

Формулы для нахождения объемов конуса, цилиндра и шара доказываются на основе теоремы о 

зависимости объема фигуры от площади ее сечения. 

 

 

75 

 

Приложение 2 

Различия между традиционным и интерактивным обучением  

теме «Объемы многогранников» 

 

Традиционное обучение 

Интерактивное обучение 

Х

ар

акте

рн

ы

е 

чер

ты

 

1.

 

Доказательство теорем 

происходит 

независимым 

друг от друга способом; 

2.

 

Практически весь урок 

проходит  в  форме  монолога 

учителя; 

 

 

3.

 

Теоремы  об  объемах 

многогранников 

(за 

исключением  теоремы  об 

объеме 

прямоугольного 

параллелепипеда) 

доказываются  на  наглядно-

интуитивной основе; 

4.

 

При 

доказательстве 

используются 

двумерные 

чертежи; 

 

 

5.

 

Учитель  доминирует 

над 

учениками 

на 

протяжении всего урока. 

 

1.

 

Постоянное  поддержание  внимания 

учащихся; 

 

2.

 

Благодаря  непрерывному  диалогу 

при  доказательстве  теорем,  учащиеся 

прочно 

усваивают 

алгоритм 

доказательства  каждой  теоремы  об 

объеме многогранника; 

3.

 

Доказав 

одну 

из 

формул 

нахождения  объемов  многогранников, 

учащиеся  по  аналогии  смогут  доказать 

формулы для других многогранников; 

 

 

 

4.

 

Применение 

динамических 

чертежей, 

выполненных 

в 

среде 

GeoGebra,  также  являются  средством 

повышения  познавательных  интересов 

учащихся; 

5.

 

У учеников возникает ощущение их 

доминантного, а не рецессивного участия 

в  процессе  обручения,  тем  самым 

снимается 

страх 

перед 

уроками 

геометрии. 

 

 

76 

 

Приложение 3 

План-конспект урока по геометрии в 11 классе 

на тему «Объем призмы» по учебнику Александрова А.Д. 

«Геометрия 10-11 классы» 

Цели урока: 



 

Воспитательные:  воспитание  познавательной  активности, 

самостоятельности; 



 

Развивающие: 

развитие 

логического 

мышления, 

пространственного  воображения,  умений  действовать  по  алгоритму  и 

самостоятельно составлять алгоритмы действий; 



 

Образовательные:  ввести  теорему  о  зависимости  объема  от 

площади сечения, доказать с помощью этой теоремы формулу объема 

призмы, и научить учащихся применять формулу при решении задач. 

Тип урока: изучение нового материала. 

Оборудование:  карточки  с  практической  работой,  мультимедийная 

презентация, динамические чертежи «Призма», «Куб». 

План урока: 

1.

 

Организационный этап. (2 мин) 

2.

 

Актуализация знаний. (5 мин) 

3.

 

Изучение нового материала.(17 мин) 

4.

 

Закрепление изученного материала.(7 мин) 

5.

 

Рефлексия. (15 мин) 

6.

 

Домашнее задание.(2 мин) 

Ход урока: 

1.

 

Организационный этап. 

Здравствуйте, садитесь. Я вижу, вы готовы к уроку, молодцы. 

2.

 

Актуализация знаний. 

Вспомним пройденный материал. 

Какими основными свойствами обладает объем фигуры? 

Что принято за единицу объема? 

77 

 

Как вычислить объем прямого цилиндра? 

Несмотря на то, что сегодня урок геометрии, вам необходимо выполнить 

следующее  задание:  найдите  по  определение  производную  функции 

??????(??????) =

??????

2

. Озвучьте определение производной непрерывной функции. 

3.

 

 Изучение нового материала. 

Вы уже успели заметить, что сегодня необычный урок геометрии. Я вижу 

недоумение в ваших глазах. 

Как  вы  предполагаете,  чем  мы  будем  заниматься  сегодня  на  уроке?  Что 

изучать? 

Темой  сегодняшнего  урока  является  «Формула  объема  призмы».  Но 

выводить эту формулу мы будем необычным способом.  

Как  вы  думаете,  каким?  (высказывают  свои  предположения)  Верно, 

используя  производную.  Ведь  мы  не  напрасно  вспоминали  определение 

производной в начале урока. 

Мы  узнаем:  насколько  использование  элементов  алгебры,  в  частности 

использование производной, облегчает доказательство некоторых теорем. 

Для этого докажем важную теорему. 

Рассмотрим некоторое  тело 

??????, лежащее межу параллельными опорными 

плоскостями 

??????  и  ??????,  и  пусть  ?????? (??????)  –  плоскость,  лежащая  между  ними  и 

удаленная от нее на расстояние 

??????. (Рис. 1) Расстояние между плоскостями ?????? 

и 

?????? полагаем равным ??????. 

Для 

?????? из промежутка [0, ??????] обозначим 

через 

??????(??????)  площадь  сечения  тела  ?????? 

плоскостью 

?????? (??????)  (Рис.  1),  а  объем  части 

тела 

??????,  лежащей  между  плоскостями  ??????  и 

?????? (??????),  обозначим  через  ??????(??????).  Полагаем, 

что 

??????(0) = 0.  Функцию  ??????(??????)  считаем 

дифференцируемой  на  промежутке 

[0, ??????]. 

Ясно, что 

??????(??????) – объем всего тела ??????. 

Теорема (об объеме тела). 

Рисунок 1 

78 

 

Производная  функции 

??????(??????)  равна  площади  сечения  ??????(??????),  то  есть  для 

любого 

?????? из промежутка [0, ??????] имеет место равенство 

 

 

??????

′

(??????) = ??????(??????).  

 

 

 

 

 

(1) 

Доказательство.  Фиксируем  значение 

??????  из  интервала  (0, ??????),  выберем 

∆ ?????? > 0 и рассмотрим слой ∆?????? тела ?????? между плоскостями ?????? (??????) и ?????? (?????? + ∆ ??????) 

(Рис.  2).  Если 

∆ ??????  достаточно  мало,  то  слой  ∆??????  можно  рассматривать 

приближенно  как  прямой  цилиндр  с 

высотой 

∆ ??????.  

Тогда  чему  равен  объем  слоя 

∆??????? 

Объем слоя 

∆?????? равен    

 

 

  ∆ ?????? = ??????(?????? + ∆??????) − ??????(??????) ≈ ??????(??????)∆??????, 

Отсюда чему равно значение 

??????(??????)? 

∆??????

∆??????

≈ ??????(??????).    

 

(2) 

Устремив к нулю 

∆ ??????, получаем равенство ??????

′

(??????) = ??????(??????). 

Теорема доказана. 

Есть вопросы по доказательству теоремы? 

Итак,  мы  доказали  что,  производная  функции 

??????(??????)  равна  площади 

сечения 

??????(??????). 

Повторим,  чем  является 

??????(??????)  и  ??????(??????)?  (??????(??????)  -  площадь  сечения  тела  ?????? 

плоскостью 

?????? (??????), ??????(??????) − объем части тела ??????, лежащей между плоскостями ?????? 

и 

?????? (??????)).  Верно,  теперь  на  основании  этой  теоремы  рассмотрим 

доказательство теоремы об объеме призмы. 

 

 

Теорема (об объеме призмы) 

Объем произвольной призмы равен произведению площади основания и 

высоты: 

?????? = ????????????. 

 

Рисунок 2 

79 

 

 

Доказательство. 

На  экране  вы  видите  произвольную 

призму 

с 

сечениями, 

проведенными 

параллельно 

основанию. 

(Учитель 

демонстрирует  возможности  интерактивного 

чертежа  и  задает  вопрос)  Что  вы  можете 

сказать об этих сечениях? (Эти сечения равны). 

 

Мы  выбрали  эти  сечения  произвольным  образом.  Какой  вывод  отсюда 

следует?  (Все  сечения  призмы,  параллельными  плоскостями  его  основания, 

равны). Верно. 

Поэтому все их площади 

?????? (??????) равны площади основания ??????. 

Тогда какой вид имеет уравнение (1) для призмы? 

Уравнение 

(1) для призмы имеет вид: ??????

′

(??????) = ??????.  

Производная  функции 

??????(??????)  является  постоянным  числом,  какой  вывод 

можно сделать о функции 

??????(??????)? 

Функция 

??????(??????),  производная  которой  постоянна  и  равна  ??????,  является 

линейной функцией и имеет вид: 

??????(??????) = ???????????? + ??????. 

Воспользовавшись тем, что 

??????(0) = 0, что мы получим? 

0 = ?????? ∙ 0 + ??????, т.е. ?????? = 0. 

Итак, 

??????(??????) = ????????????, следовательно чему равен объем произвольной призмы? 

?????? = ??????(??????) = ????????????. 

Теорема доказана. 

Есть  вопросы  по  доказательству  теоремы?  Для  доказательства  этой 

теоремы было предложено интерактивные наглядный чертеж. Что вы видите 

на данном чертеже? (учащиеся должны заметить, что площади оснований и 

сечения равны, это указано в окне программы, слева от чертежа) 

Рисунок 3 

80 

 

При  использовании  этого  чертежа  существует  возможность  рассмотреть 

его с разных ракурсов, убедиться в том, что площади оснований и площади 

сечения действительно равны. 

4.

 

Закрепление изученного материала. 

Мы  доказали  теорему  о  нахождении  объема  призмы.  Скажите,  куб 

является призмой? Обоснуйте свой ответ. 

Используя  полученные  на  уроке  знания,  докажите,  что  объем  куба 

??????, 

равен 

?????? = ??????

3

. 

5.

 

Рефлексия. 

Что мы изучили сегодня на уроке? 

Каким способом доказали формулу объема призмы? 

Ускоряет  ли  данный  способ  процесс  доказательства?  Является  ли  он 

наиболее понятным? 

Проверочная работа 

3.

 

На  ребре  наклонной  призмы  дана  точка.  Через  эту  точку  параллельно 

основанию  проходит  сечение,  площадь  которого 

?????? = ??????

2

.  Расстояние  между 

плоскостями оснований –

??????. Докажите, что объем призмы ?????? = ??????

2

??????. 

4.

 

В наклонной треугольной призме площадь сечения, проходящего через 

середины  боковых  ребер,  равна 

??????.  Боковое  ребро  имеет  длину  ??????  см  и 

составляет  с  плоскостью  основания  угол  в 

30

??????

.  Докажите,  что  объем  части 

призмы, ограниченной сечением равен 

?????? = ?????? ∙

??????

4

. 

6.

 

Домашнее задание. 

Пункт 27.1. № 27.1 (б, в), №27.2 (в), № 27.4. 

Спасибо за урок, до свидания. 

 

 

 

81 

 

Приложение 4 

План-конспект урока по геометрии в 11 классе 

на тему «Объем пирамиды» по учебнику Александрова А.Д. 

«Геометрия 10-11 классы» 

Цели урока: 



 

Воспитательные:  воспитание  познавательной  активности, 

самостоятельности; 



 

Развивающие: 

развитие 

логического 

мышления, 

пространственного  воображения,  умений  действовать  по  алгоритму  и 

самостоятельно составлять алгоритмы действий; 



 

Образовательные:  доказать  с  помощью  теоремы  о  зависимости 

объема  от  площади  сечения  формулу  объема  пирамиды,  и  научить 

учащихся применять формулу при решении задач. 

Тип урока: изучение нового материала. 

Оборудование:  карточки  с  практической  работой,  мультимедийная 

презентация, динамические чертежи «Пирамида». 

План урока: 

2.

 

Организационный этап. (2 мин) 

3.

 

Актуализация знаний. (5 мин) 

4.

 

Изучение нового материала.(12 мин) 

5.

 

Закрепление изученного материала.(12 мин) 

6.

 

Рефлексия. (15 мин) 

7.

 

Домашнее задание.(2 мин) 

Ход урока: 

1.

 

Организационный этап. 

Здравствуйте, садитесь. Я вижу, вы готовы к уроку, молодцы. 

2.

 

Актуализация знаний. 

Чем  мы  занимались  на  прошлых  уроках?  (Мы  изучили  объем  призмы  и 

решали  задачи  на  нахождение  объема  призмы).  Какие  нужны  входные 

данные  для  того,  чтобы  найти  объем  призмы?  (Нужно  знать  высоту  и 

82 

 

площадь основания призмы, либо высоту и площадь сечения, параллельного 

плоскости основания призмы). 

Озвучьте теорему о зависимости объема фигуры от площади ее сечения. 

(Производная функции 

??????(??????) равна площади сечения ??????(??????), то есть для любого 

?????? из промежутка [0, ??????] имеет место равенство ??????

′

(??????) = ??????(??????).) 

Сегодня  мы  будем  доказывать  теорему  об  объеме  пирамиды.  Как  вы 

думаете,  будет  ли  нам  полезна  теорема  о  зависимости  объема  от  площади 

сечения? 

Действительно,  сегодня  мы  также  будем  использовать  эту  теорему  для 

нахождения объема пирамиды. 

3.

 

Изучение нового материала. 

Кратко  изложите  алгоритм,  по  которому  мы  доказывали  теорему  об 

объеме  призмы.  ( Мы  доказали,  что  площадь  любого  сечения,  проходящего 

параллельно  плоскости  основания,  равна  площади  основания.  То  есть 

??????

′

(??????) = ??????,  затем,  зная  чему  равна  производная  функции,  нашли  функцию 

??????(??????) = ???????????? и объем призмы ?????? = ??????(??????) = ????????????). 

Все верно, молодцы. 

Введем теорему об объеме пирамиды: 

Теорема (об объеме пирамиды): 

Объем  произвольной  пирамиды  равен 

?????? =

1

3

????????????,  ??????  –  площадь  основания 

пирамиды, 

?????? – высота пирамиды. 

На  экране  представлен  динамический  чертеж,  на  котором  изображена 

пирамида.  Выскажите  ваши  предположения  о  том,  как  можно  доказать 

теорему об объеме пирамиды. (Высказывают свои предположения) 

Действительно,  мы  вспомнили  алгоритм  доказательства  теоремы  об 

объеме  призмы  неслучайно.  Алгоритм  доказательства  аналогичен,  но  есть 

отличие.  В  чем  оно  заключается?  (Площадь  любого  сечения  и  площадь 

основания не равны, а подобны). Верно. Докажем теорему. 

жүктеу/скачать 0,88 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: