Бағдарламасының(syllabus) титулдық парағы Нысан ф со пгу 18. 4/19 Казақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

Анықтама   

А және В оқиғаларының көбейтіндісі (қилысуы)

деп А және В оқиғаларының ортақ   пайда болуынан тұратын

оқиғаны айтады да былай белгілейді:   AB=C немесе A∩B=C

Бірнеше   оқиғаның   көбейтіндісі   сол   оқиғалардың     барлығының   ортақ

пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады да былай белгілейді  

i

n

i

n















1

2

1

...

,

немесе 

i

n

i







1

.

2  Ықтималдықтарды қосу теоремасы 

Теорема. А мен В оқиғалары бірікпейтін ( үйлесімсіз) болса 

0









  олардың

қосындысының   ықтималдығы   қосылғыштардың   ықтималдықтарының

қосындысына тең    P(A+B)=P(A)+P(B).

Ескерту.  Кез   келген   А   және   В   оқиғалары   үшін   ықтималдықтарды   қосу

теоремасы былай жазылады  P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

СалдарҚос-қостан   бірікпейтін   бірнеше   оқиғалардың     біреуінің   пайда   болу

(қосындысының)   ықтималдығы   әр   оқиғаның   ықтималдықтарының

қосындысына тең 

).

(

...

)

(

)

(

)

...

(

2

1

2

1

n

n



































Мысал.  Жәшікте   10   шар   бар.   5-   қызыл,   3   -көк,   2-   ақ.  Жәшіктен   бір   шар

алынып, оның қызыл немесе көк түсті болу ықтималдығын табу керек:

Шешуі А-қызыл, В- көк , A+B- қызыл немесе көк шар пайда болуы.

           

8

,

0

10

8

10

3

10

5

)

(

)

(

)

(





























       

Бірікпейтін оқиғалардың толық тобы. Қарама-қарсы оқиғалар.

Анықтама

1



немесе 

2



,...  немесе 

n



 оқиғаларының пайда болуы ақиқат 

оқиға болса онда ,

n







,...,

,

2

1

 оқиғалары толық топ құрады деп атайды, яғни.

1

)

...

(

2

1

















n

Анықтама. Бірікпейтін,толық топ құратын екі оқиғаны қарама-қарсы оқиға деп

атайды.  Мысал:  Мылтық   атқанда   нысанаға   тигізу     А   және   тигізбеу    



оқиғалары, тиын лақтырғанда герб пайда болуы А және цифр пайда болуы. 



оқиғалары   қарама-қарсы   оқиғалар.   Қарама-қарсы   оқиғалардың

ықтималдықтарының қосындысы бірге тең 





 

 

1























Егер  P(A)=ρ, P(Ā)=q деп белгілесек онда ρ+q=1,q=1-ρ шығады.

          3 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы

Анықтама. Біреуінің пайда болу ықтималдығы екіншісінің пайда болу немесе

пайда болмауына байланыссыз болатын екі оқиғаны тәуелсіз оқиғалар дейді.

Анықтама.  А оқиғасының В оқиғасы пайда болғаннан кеиінгі ықтималдығын

А оқиғасының В оқиғасы пайда болғандағы шартты ықтималдығы деп айтады

да былай белгілейді   

 







.

Мысал:  Жәшікте  4 қара және 6 ақ шар болсын.Бұл  жәшіктен  екі адам бір-

бірден шар алады. А-бірінші адам жәшіктен ақ шар алуВ-екінші адам жәшіктен

ақ шар алу болса А оқиғасының ықтималдығы 

 

10

6







 болса, онда шартты ықтималдық 

 





3

1

9

5















Теорема. 





   

   





























.

Ескерту: Егер А мен В тәуелсіз болса, онда    

 

 













.

Мысал: Жәшікте 15 бірдей бұйым бар. Жәшіктен екі сапалы бұйым алудың 

ықтималдығы 



15

4

ке тең.Жәшікте қанша сапалы бұйым бар еді?

Шешуі: Белгілеу енгізейік.А-жәшіктен бірінші рет алғанда сапалы бұйым

алынды,В-жәшіктен екінші рет алғанда сапалы бұйым алынды. Бұл екі оқиға

тәуелді. Сондықтан, егер k-сапалы  бұйымдар саны десек,  онда

 

 

14

1

,

15

















k

k

Есептің шарты бойынша





 

 





15

4

14

15

1



























k

k

Осыдан 

8.

k

 ,

0

56

2









k

k

Сонымен , жәшікте 8 сапалы бұйым болды.

           Толық ықтималдық формуласы

Мысал.  Топта   21   студент   бар.   Олардың   5-і   үздік,   10   жақсы,   6   нашар

оқиды.   Емтиханда   үздік   оқитын   студенттер   тек   үздік   баға   алады.   Жақсы

оқитындар   үздік   не   жақсы   баға   алады,ал   нашар   оқитындар   жақсы,орташа

немесе  нашар бағалар алуы ықтимал. Емтиханға шақырылған бір студенттің

жақсы немесе үздік баға алу ықтималдығын тап. Жақсы немесе үздік баға алу

оқиғасын А-деп белгілейміз.

Жоруларды былай белгілейік 





1

үздік студент,  



21

5

1











2

жақсы студент,  



20

10

2











3

нашар студент  



21

6

3







Ал студенттердің жақсы немесе үздік баға алу ықтималдығы

 

.

3

1

,

1

,

1

3

2

1





















Толық ықтималдық жалпы формула бойынша былай табылады:

 





 





 





 

23

17

3

1

21

6

21

10

1

21

5

2

3

2

1

3

2

1





















































  Байес формуласы   

 





 

 

 

   













































n

i

i

i

1









                    

формуланы Байес формуласы дейді.

  Тәжірибені қайталау.  Бернулли формуласы

               





 

K

n

K

K

n

n

K

q

C

K















 Лапластың локальдық теоремасы

 

 

,

q

1

x

n

k

n











 мұндағы 

 

,

2

1

2

2

x

x













ал    

.

q

n

n









k

x

 

 

x



-функцияның мәндері арнайы кестеде келтірілген. 

 

x



-

функциясы жұп болғандықтан 

 





.

x

x









Мысал .Тәуелсіз 600 сынақтарда тұрақты 

4

,

0





ықтималдықпен пайда

болатын   оқиғаның   тура   228   рет   пайда   болуының   ықтималдығын   табу   к









.

0201

,

0

242

,

0

12

1

228

242

,

0

1

1

12

12

6

,

0

4

,

0

600

0,4

600

-

228

X

0,6

q

0,4,

 ,

600

600







































n

 Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы

Мұндағы 

 

x



 функциясы тақ функция, яғни

 





x

x











.

 

x



  функциясын   Лаплас   функциясы   дейді.   Оның   мәндері   арнайы   кестеде

келтірілген. Аргумент х тің мәні бестен үлкен болғанда, 

 

5

,

0



x



алынады.

Мысал.  А   оқиғасының   әрбір   тәжірибе   жүргізгендегі   ықтималдығы

.

8

,

0





Осы оқиғаның 100 тәжірибе жүргізгенде 75 ден кем емес ,90-нан артық

емес рет пайда болу ықтималдығын тап.

Муавр-Лапластың интегралдық теоремасын қолданамыз.

Шешуі. 





 

 





















.

25

,

1

5

,

2

25

,

1

5

,

2

90

,

75

25

,

1

4

5

4

80

75

,

5

,

2

4

10

2

,

0

8

,

0

100

8

,

0

100

90

90

,

75

90

,

75

k

 

100,

n

2

.

0

8

.

0

1

1

,

8

,

0

100

1

2

1

2

100

2

1















































































x

x

x

x

k

q

Есептер шығару:

1)   кітаптың   300   беті   бар.   Ашқан   беттің   реттік   нөмірінің   беске   бөліну

ықтималдығы қандай?

Шешуі. 

Жалпы жағдай     









60

,

300

5

;

300

k

k

n

қолайлы жағдай. Іздеп отырған

ықтималдық

 

2

,

0

5

1

300

60













n

k





 

 

 

























2

2

1

,

,

,

,

0

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

x

n

x

q

n

n

k

x

q

n

np

k

x

x

x

k

k

















 





-   ашқан   беттің   реттік   нөмірі   беске   бөлінетін   жағдайдың

ықтималдығы

2)   екі   таңбалы   сандардан   алынған.   Санның   цифрлары   бірдей   болу

ықтималдығы қандай?

Шешуі. 

10 нан 99;     n=90-жалпы жағдай 

K=11,22,33,44,55,66,77,88,99;     m=9

11k=99   →     k=9. Керекті ықтималдық      

1

,

0

10

1

90

9











.

      3) дифференциал сөзінен бір әріп алынған. Осы әріптің дауысты, дауыссыз

немесе ж әріпі болу ықтималдығын тап.

Шешуі.   А-дауысты әріптер  

,

5

k

1



  В-дауыссыз әріптер  

7

2



k

  С-ж әріпі

жоқ  

0

3



k

. Барлық әріптер саны n=12         

 

 

 

.

0

12

0

,

12

7

,

12

5



















C

Анықтама.  Берілген әртүрлі n элементтен m элемент бойынша  орналастыру

деп,   әрқайсысы   бір-бірінен   не   құрамы   бойынша,   не   орналасу   реті   бойынша

ажыратылатын комбинацияларды айтады.

Орналастырулардың жалпы саны мына формуламен анықталады

                     





 







.

!

!

1

...

2

1

m

n

n

m

n

n

n

n

m

n

















                     

Анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен n элемент бойынша алмастырулар  

деп, әрқайсысы бір-бірінен тек орналасу реті бойынша ғана ажыратылатын 

комбинацияларды айтады. Алмастырулардың жалпы саны 

     





 



!

1

...

2

1

n

n

n

n

n

n

n















                              (2)

Сондай-ақ алмастыруларды орналастырулардың жеке түрі ретінде қарастыруға

болады, яғни





!

!

0

!

!

n

-

n

!

n

n

n

n

n

n













Анықтама.  Берілген   әртүрлі   n   элементтен   m   элемент   бойынша   терулер

деп,әрқайсысы   бір-бірінен   тек   құрамы   бойынша   ажыратылатын

комбинацияларды   айтады.   Терулердің   жалпы   саны   мына   формуламен

есептеледі.

                                           





m

m

n

m

n

m

n

m

m

n

m

n

C

C

m

n

m

n

C

























m

n

m

1

;

!

!

!

                 (3)

Комбинаторика   формулаларын   пайдаланғанда   мынадай   екі   ережені   жиі

пайдаланамыз.

Қосу ережесі.  Егер әртүрлі А және В элементтерді сәйкес n және m рет

жолмен таңдап алатын болсақ,онда осы екі элементтің біреуін (А-ны,болмаса В-

ны) m+n рет жолмен таңдап алуға болады.

Көбейту   ережесі.  Егер   бір   группада   m   элемент,ал   екінші   группада   n

элемент   болса,онда   әрбір   группадан   бір   элементтен   алып   құрылған

қосақтардың саны 

n

m  көбейтіндісімен анықталады.

Расында   бірінші   группаның   бір   элементі   екінші   группаның   әрбір

элементімен     қосақталынады   және   керісінше,сондықтан   қосақтардың   жалпы

саны 

n

m  көбейтіндісіне тең болады.

Есептің жалпы түрі.

Жәшікте N шар бар, оның M-көк, (N-M) қызыл. Алынған n шардың m-ы

көк болу ықтималдығы қандай? Ол мына формуламен есептелінеді:

 

;

n

N

m

n

M

N

m

M

C

С

C













Мысал.  Жәшікте 15 шар бар, оның 5 көк,10 қызыл; Қалай болса солай

алты шар алынды. Осы шарлардың 2-і көк болу ықтималдығын тап.

Шешуі. Жалпы жағдай 

.

5005

6

5

4

3

2

1

10

11

12

13

14

15

6

15

6

15



























С

C

Қолайлы жағдай 

2100

4

3

2

1

7

8

9

10

2

1

1

5

4

10

2

5

























С

С

Екі көк шар алу ықтималдығы 

4196

,

0

5005

2100







Ескерту.  Жоғарыда  қарастырған  элементтеріміз  бір-бірінен ерекше деп

алыпты,яғни   әр   элемент   бір   реттен   тәжірибемізге   қатысты.   Егер   тәжірибеге

қатысқан   элементтердің   кейбірі   бірнеше   рет   қайталанса   онда   алмастырулар,

орналастырулар,терулер басқаша формулалармен есептеледі.

Мысалы, егер n  элементтің n

1

-бір түрлі, n

2

-екінші түрлі, т.с.с…n

k

,-k түрлі

қайталанса онда қайталамалы алмастырулар мына формуламен есептелінеді:





,

!

!...

!

!

,...,

,

2

1

2

1

k

k

n

n

n

n

n

n

n

n





мұндағы 

.

...

2

1

n

n

n

n

k









Егер   n   элементтен   k-дан   жасалған   орналастырулар   саны  

,

k

n



ал

қайталамалы орналастырулар саны үшін 

k

n



~

белгілеулерін еңгізсек, онда 



 







!

!

1

....

1

k

n

n

k

n

n

n

k

n















ал 

k

k

n

n





~

 формулаларымен есептелінеді.

12  Кездейсоқ шамалар және олардың сипаттамалары

X   кездейсоқ   шамасының   х

1,

х

2

,…х

n

  мүмкін   мәндерінің   әйтеуір   бірін

қабылдайтындығынан х

1

,х

2

,…х

n 

бірікпейтін толық топ құрады.

Анықтама.Егер   Х   кездейсоқ   шамалы   0,1,2…,n   мәндерін   қабылдау

ықтималдығы





k

n

k

k

n

p

q

С

к

х











тендігімен   анықталса   (мұндағы   k=0,1,2,…n,   ал  

n

С

k

n



  элементтен   k-дан

жасалған теру саны болса) онда х-ті бином (Бернулли) заңы бойынша үлескен

деп атайды.

Анықтама. Егер х кездейсоқ шамасы 0,1,2,…,n мәндерін қабылдаса n мейлінше

үлкен болғанда, p тым аз болғанда p

n

(x=k). Ықтималдығын жұықтап есептеуге

мына формуланы қолданады





,

!

k















k

к

х

n

   мұндағы   

.

n







Бұл үлестірімді Пуассон заңы дейді. 

13   Дискретті   кездейсоқ   шамалардың   математиқалық   үміті   және   оның

қасиеттері

Егер   х   кездейсоқ   шамасы   х

1

,х

2

,…,х

n

  мәндерін   p

1

,p

2

,…p

n

  ықтималдықтарымен

қабылдаса, онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті деп

 









n

k

k

k

х

х

1



қосындысын айтады да M(x) арқылы белгінеледі. Егер i=1,2,…,n,… болса онда

дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті

 

.

1











i

i

i

x

х



Мысал.  Пуассон   заңы   бойынша   үлестірілген   кездейсоқ   шаманың

математиқалық үмітін табу. Анықтама бойынша





 









,

!

1

!

1

!

...

2

,

1

,

0

,

0

,

!

0

0

1

1

1

















































































































i

i

i

i

i

i

i

i

к

к

i

i

i

i

i

х

к

к

к

х

мұндағы     

























1

1

2

!

1

...

!

2

1

n

n

n











Сонымен,  Пуассон   бойынша   үлестірілген   кездейсоқ   шаманың

математиқалық үміті осы үлестірімдегі 



параметріне тең.

Кездейсоқ шаманың математиқалық үмітінің жуық мәні оның мәндерінің

арифметиқалық ортасына тең болады, яғни

 

0

2

1

...

х

n

х

х

х

х

n











Математикалық   үмітті   механика   тілінде   үлестірімнің   ортасы(центр

распределения) дейді, яғни ауырлық нүктесі.

Расында х

1

,х

2

,…,х

n

 нүктелерінің массалары p

1

,p

2

,…p

n

 болса, онда берілген

жүйенің ауырлық нүктесі



















n

i

i

i

i

i

i

i

с

х

1

1

1

1

,

1

,









    сондықтан       

 

х

с







Пуассон Симон Дени (1781-1840) француз-математигі; физигі және механигі.

Математиқалық үміттің қасиеттері:

1. Тұрақты шаманың математиқалық үміті сол шаманың өзіне тең.  M(C)=C, 

C=const.

2.   Тұрақты   көбейткішті   математиқалық   үміт   таңбаcының   алдына   шығаруға

болады.  M(CX)=CM(x), C=const.

Анықтама бойынша 

 





 























n

k

k

k

k

n

k

k

х

С

X

С

Сх

Сх

1

1

3.   Екі   кездейсоқ   шамалардың   қосындысының   (айырымының)   математикалық

үміті сол шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына (айырымына)

тең, яғни     





 

 

y

х

y

х













4.   Екі   кездейсоқ   шамалар   тәуелсіз   болса   олардың   көбейтіндісінің

математикалық   үміті   көбейткіштердің   математикалық   үміттерінің

көбейтіндісінде тең:   M(xy)=M(x)M(y)

Үшінші,төртінші қасиеттерді n кездейсоқ шамалар үшін жалпылауға болады

3

0

. M(x

1

+x

2

+…x

n

)=M(x

1

)+M(x

2

)+…+M(x

n

)

4

0

. 





  







,

...

...

2

1

2

1

n

n





























мұндағы X

1

,X

2

,…,X

n

-тәуелсіз кездейсоқ шамалар.

14 Дискретті кездейсоқ шамалардың дисперсиясы және оның қасиеттері

Кездейсоқ   шаманың   мәндері   оның   математикалық   үмітінен   ауытқитындығы

белгілі. Міне,осы ауытқуды бағалау үшін дисперсия ұғымы енгізіледі.

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(Х) таңбасымен белгілейді.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп сол кездейсоқ шаманың

математикалық   үмітінен   ауытқыуының   квадратының   математикалық   үмітін

айтады  

 

 





,

2















Д

  

(1)

Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып (1) формуланы түрлендірейік:

 

 





 

 





 

 

 

 

 

 







































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

Д

осыдан дисперсияны есептеуге қолайлы формула шығады

 

 

 















2

2

Д

                                (2)

формула былай оқылады

Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың квадратының математикалық үміті мен

сол   кездейсоқ   шаманың   математикалық   үмітінің   квадратының   айырымы.

Дисперсия дегеніміз кездейсоқ  шаманың математикалық  үмітіне қарағандағы

таралымы (шашырауы), бытырауы. Механикалық ұғымда дисперсия кездейсоқ

шаманың инерциялық моменті (массаның таралымының) егер математикалық

үмітті массаның центрі деп алсақ.

Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратымен өлшемдес. Таралымның кездейсоқ

шамамен өлшемдес болу үшін жаңа ұғым кездейсоқ шаманың орташа квадрат

ауыткуы енгізіледі. Ол 

 

 

 

,







Д



 сигма X деп оқылады.

1.Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең    Д(С)=0. 

Расында, егер С=const болса онда (2) формула бойынша 

Д(С)=М(С

2

)-М

2

(С)=С

2

-С

2

=0

2.Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға 

болады.  Шынында (2) формула бойынша 

      













 

 

 

 





 





 

.

,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



















































Д

С

С

Д

Д

С

С

С

С

С

С

С

Д

3. Егер x пен y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса онда

              Д(x+y)=Д(x)+Д(y)

                       





 

 

y

Д

х

Д

y

x

Д







Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырымының дисперсиясы сол шамалардың

дисперсиясының қосындысына тең.

 Теориялық момент 

Кездейсоқ   шаманың   К-ретті   бастапқы   моменті   дегеніміз   мына   формуламен

анықталады:

тер

 









,







-ню

Бірінші   ретті   (алғашқы)   бастапқы   момент  

 







1



  математикалық   үмітті

анықтайды:

Кездейсоқ  шаманың k ретті  орталық  моменті дегеніміз    келесі    формуламен

анықталады:

 













,













-мю

Бірінші ретті орталық момент нөлге тең

 





 

 





 

 

0

1











































Ал екінші ретті орталық момент

 





 

















Д

2

2



 дисперсияны береді.

 Енді орталық моменттерді бастапқы моменттер арқылы өрнектейік:

 

 

 

 





 

 

 





 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

.

3

6

4

,

3

6

4

4

6

4

4

6

4

2

3

,

2

3

3

3

3

3

;

4

1

2

2

1

3

1

4

4

4

1

2

2

1

3

1

4

4

3

2

2

3

4

4

3

2

2

3

4

4

4

3

1

2

1

3

3

3

1

2

1

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

3

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2























































































































































































































































































Д

  Үлестірім фукциясы

Анықтама.    Х   кездейсоқ   шамасының   үлестірім   функциясы   F(x)   деп    

x

теңсіздігі орындалу ықтималдығын айтады. 

   

х



хF

Дискретті Х кездейсоқ шамасы үшін  

  

,









i

i

хх

F

Мұндағы х

1

,х

2

,…,х

n

- кездейсок Х  шамасының қабылдайтын мәндері, p

1

,p

2

,…,p

n

–сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары,ал қосынды  





i

  теңсіздігіне сәйкес

барлық  

i



. сандары бойынша алынады. Үлестірім функциясы дискретті және

үздіксіз кездейсоқ шамаларға да  қатысты болады.

Айталық Х дискретті кездейсоқ шама үлестірім кестесі арқылы берілген болсын

Х-тің үлестірім функциясын табыңыз.

 



































3,5

 х

егер

 1,

3,5

х

3 

егер

 

0,7,

3х

1 

егер

 

0,5,

1х 

0 

егер

 

0.1,

0 x

,0егер

хF

Табылған үлестірім функциясын интегралдық үлестірім функциясы дейді, ол

дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларға қатысты болады. 

Енді интегралдық үлестірім функциясының қасиеттерін көрсетейік:

1.үлестірім функциясы F(x) функциясы оң, шектелген

2.функция  

 

,

1

0







F

себебі ол ықтималдықты көрсетеді 

Оның графигі (сүлбесі) y=0, y=1 түзулерінің арасында орналасқан;

3.үлестірім   функциясы   кемімейтін   функция,   яғни  

2

1





болғанда  

 

 

2

1







F

F

болады.  

     

   









FF









теңдігін аламыз. Ал бұл теңдікті (Х

1

,Х

2

) аралығына қолдансақ.

     

1

2

2

1













F

F

бұл теңдіктің сол жағы оң сан 

 

,0

2

1







 демек 





 

 





2

1

1

2

,

0















F

F

ягни

F

F

1   Егер   Х   кездейсоқ   шамасының   қабылдайтын   мәндері   тек   (a,b)   аралығында

болса  

а

мәндерінде   F(x)=0   және  

b





  мәндерінде   F(x)=1   болады.     Жалпы

жағдайда  









1

,

0













F

F

  болады   деп   есептелінеді.   Дискретті   кездейсок

шаманың   үлестірім   функциясының   сүлбесі   сатылы   баспалдақты   (1-сүлбе)

болса, үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының сүлбесінің жалпы

түрі   2-сүлбеде   көрсетілген.     Үлестірім   функциясы   сол   жағынан   үздіксіз

функция.

F(x

       0     y=F(x)                                                   

2-сүлбе

2-сүлбе   үздіксіз   кездейсоқ   шаманың   интегралдық   үлестірім

функциясының қисығын бейнелейді

  Үлестірім тығыздығы

Егер Х-үздіксіз кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы F(x) болса,

онда   

    

хFх

хFх

хх 





  тендігін аламыз.

Анықтама.  Х   кездейсоқ   шамасының   үлестірім   тығыздағы   f(x)   деп

үлестірім F(x) функциясының туындысын айтады.

  

,

1

00

limlim

хfхF

х

xFххF

х

ххх

















яғни   үлестірім   тығыздығы   интегралдық   үлестірім   функциясының

туындысына тең 

 

 

х

F

х

f





Үлестірім тығыздығының мынандай қасиеттері бар:

1) үлестірім тығыздығы  теріс емес  функция, себебі  ол кемімейтін  F(x)

функциясының туындысына тең 

 

 

;

0

1





х

F

х

f

    2) үлестірім функциясы үлестірім тығыздығы арқылы былай өрнектеледі

 

 











х

d

х

f

х

F

Үлестірім тығыздығын кездейсоқ шаманың дифференциалдық функциясы

деп те атайды 

Себебі,   

 

.

1

х

F

х

f



Кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса онда

           

   











b

a

dx

хf

b

a

. Үлестірім тығыздығы үшін 

 











,

1

dx

х

f

яғни OX өсімен және үлестірім тығыздығы y=f(x) қисығымен шектелген

фигураның ауданы бірге тең болады.

19   Үздіксіз   кездейсоқ   шамалардың   математикалық   үміті   мен

дисперсиясы

       Егер 











,

аралығынан мән қабылдайтын Х үздіксіз кездейсоқ шаманың

үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда бұл кездейсоқ шаманың математикалық

үміті деп  

 

 

dx

х

f

х

х













абсолютті жинақты меншіксіз интегралын айтады.Ал

Х   кездейсоқ   шамасы   



b

a,

  интервал   мәндерін   ғана   қабылдайтын   болса

математикалық   үміт    

 

 







b

a

dx

х

хf

х

  интегралымен   анықтылады.Үздіксіз   Х

кездейсоқ шамасының дисперсиясы анықтама бойынша 

 

 





2

х

х

х

Д









формуласымен анықталатын болғандықтан, 













;

х

мәндері үшін

 

 





 













dx

х

f

х

х

х

Д

2

      меншіксіз   интегралы   арқылы   есептеледі.   Орташа

квадраттың ауытқуы  

 

 

х

Д

х 



 формуласымен табылады.

Ал   Х   кездейсоқ   шамасы   (a,b)   интервал   мәндерін   қабылдаса   дисперсия

 

 





 









b

а

dx

х

f

х

х

х

Д

2

      интегралымен есептеледі.

Көп   жағдайда   дисперсия   мына   формула   арқылы   анықталады:

 

 

 





.

2

2









b

а

х

dx

x

f

х

х

Д

          Қолданылған әдебиет тізімі:

1) Дүйсек А.Қ., Қасымбеков С.Қ. Жоғары математика (оқу құралы) – Алматы, 

ҚБТУ, 2004.

2) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 4 (оқу құралы)

– Павлодар, 2010.

3) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 2 (оқу құралы)

– Павлодар, 2010.

4) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 3 (оқу құралы)

– Павлодар, 2010.

    

9. СОӨЖ кеңестер графигі (СОӨЖ СӨЖ-дің 25% құрайды)

№ Сабақтар

түрлері

дүйсенб

і

сейсенб

і

сәрсенб

і

бейсенбі жұма

сенбі

1

Дәріс

сабақтары

бойынша

кеңес

18.00

18.50

2

Тәжірибелік

сабақтар

бойынша

кеңес

14.45-

15.35

3

СӨЖ

бойынша

кеңес

15.50-

16.45.

          10. Студенттердің білімін тексеру кестесі

 

Пән бойынша тапсырмаларды орындау және тапсыру графигі

№

Жұмыс

түрлері

Тақырып

Әдебиет Орында

у 

уақыты

Бақылау

түрі

Тап

сыру

мер

зімі

1

2

3

4

5

6

7

1

Жазбаша

жұмыс

1-ші және 2-ші ретті 

дифференцалдық 

теңдеулерді шешу

3  апта

4-ші

апта

2

Жазбаша

жұмыс

Векторлық анализ 

Екі

апта

6-ші

апта

3

Жазбаша

жұмыс

Қатарлар

Екі

апта

7-ші

апта

4

Межелік

бақылау

тест

8-ші

апта

5

Реферат 

Екінші ретті қисықтар 

және беттер

Бір

апта

10-

ші

апта

6

Жазбаша

жұмыс

Кешен сандар

Екі

апта

12-

ші

апта

7

Реферат

Арифметикалық n-

өлшемді векторлық 

кеңістік

Екі

апта

14-

ші

апта

8

Межелік

бақылау

тест

15-

ші

апта

11. Студенттердің білімін бағалау критерийлері

Пән   бойынша   емтихан   тест   түрінде   өткізіледі.   Емтиханға   жұмыс

бағдарламасының барлық талаптарын орындаған студенттер жіберіледі.

Әр тапсырма 0-100 баллмен бағаланады.

Жіберу   рейтингі   ағымдағы   сабақтардағы   (дәрістерге   қатысу,   үй

тапсырмалары, СӨЖ бойынша тапсырмалар, тәжірибе тапсырмалары, межелік

бақылау)   барлық   орындалған   тапсырмалардың   арифметикалық   орташасынан

қорытылады.

Пән   бойынша   қорытынды   бақылауға   (ҚБ)   жұмыс   бағдарламасының

барлық   талаптарын   (жұмыстарды   және   СӨЖ   бойынша   тапсырмаларды

орындау   және   тапсыру)   орындаған   және  кіру   рұқсатының   рейтингі   50

баллдан кем емес студенттер жіберіледі.

Студенттің әр пән бойынша (пәннің қорытынды бақылау түрі мемлекеттік

емтихан   болса   да)   оқу   жетістіктерінің   деңгейі   қорытынды   бағамен   (Қ)

анықталады. Қорытынды баға ЖР және ҚБ (емтихан, дифференциалды сынақ

немесе курстық жұмыс (жоба))салмақтық үлестер негізінде есептеледі (СҮжр

және СҮқб).

Қ = ЖР*0,6 + ҚБ*0,4

Пән бойынша қорытынды баға жіберу рейтингі де, емтихан бағасы да оң

бағаланған жағдайда ғана есептеледі. Дәлелсіз себеппен қорытынды бақылауға

келмеген жағдайда «қанағаттаннарлықсыз» деген бағаға теңестіріледі.

Қорытынды   бағаның   есептелуі   дұрыс   болу   үшін   межелік   бақылау

(рейтинг) және қорытынды емтихан 0 ден 100%-ға дейін пайызбен бағаланады.

Межелік   бақылау   бағасы   ағымдағы   және   межелік   бақылаудың

бағаларының қосындысы болады.

Бақылаудың   барлық   түрінде   де   оқудағы   жетістіктер   балды-рейтингті

жүйесі бойынша бағаланады:

Әріп

 

жүйесі

бойынша баға

Балдың

цифрлық

баламасы

Пайыздық

мазмұны

Дәстүрлі   жүйедегі

баға

A

4,0

95-100

Өте жақсы

A-

3,67

90-94

B+

3,33

85-89

Жақсы

B

3,0

80-84

B-

2,67

75-79

C+

2,33

70-74

Қанағаттанарлық

C

2,0

65-69

C-

1,67

60-64

D+

1,33

55-59

D

1,0

50-54

F

0

0-49

Қанағаттанарлықсыз

12. Оқытушының талаптары, курс саясаты

Студенттер   міндетті   түрде   сабақтарға   қатысу   керек.   Сабақты   босатқан

жағдайда деканаттың орнатқан тәртібі бойынша босатқан сабағын тапсырады.

Сабаққа екі рет кешігіп келу бір сабақты босатумен теңеледі. Екі сабақтан көп

босатқан   жағдайда   оқытушы   студентті   сабаққа   кіргізбеуге   құқылы.   Берілген

курстың   студенттерінің   контингенті   болмайтын   бөгде   адамдардың   дәрісте

отыруына тыйым салынады.

Тапсырмаларды   көрсетілген   мерзімде   тапсыру   қажет.   Барлық

тапсырмаларды тапсырудың соңғы мерзімі – емтихан сессиясының басталуына

3 күн қалғанға дейін.

Барлық тапсырмаларды тапсырмаған студенттер емтиханға жіберілмейді.

Студенттер   әр  оқу  сабағы   бойынша  тақырыпты  қайталауға   және  өткен

тапсырмаларды   орындап   тапсыруға   міндетті.   Оқу   материалдарын   меңгеру

деңгейі   тест   немесе   жазбаша   жұмыстар   арқылы   тексеріледі.   Студенттерді

тестілеу алдын ала ескертусіз өткізілуі мүмкін.

Студенттің   оқытушымен   өздік   жұмысын   (СОӨЖ)   орындау   барысында

келесі төрт негізгі функцияларды ескеру керек:

Бірінші   –   оқу   пәні   бойынша   сабақтар   барысында   оқытушы   студентке

берген ақпараттың белсенді қабылдануын болжамдайды.

Екінші   –   студенттер   өздігінен   оқытушының   нұсқауларын   негізге   алып,

оқу-әдістемелік   құралдарды,   әдебиеттерді   меңгеруді,   үй   тапсырмаларын,

бақылау   және   курстық   жұмыстарды   орындауды   болжамдайды.   Осы   кезеңде

студенттерден   жұмыс   әдістерін   білуді,   өздік   ұйымдастырушылықты   және

тәртіпті талап етеді.

Үшінші – студенттің өзінің қиындық туғыздыратын жағдайларын талдау

және   жүйелеу,   оқу   материалын   түсіну   және   меңгеру   кезіндегі

қиыншылықтардың   себептерін   анықтау,   басқа   оқу   амалдарын   орындау.

Студенттер   шешілмейтін   қиындықтарын   оқытушы   үшін   сұрақтар   жүйесіне

аударады (реттейді, құрастырады), сол сұрақтарға өз жауаптарын қосады.

Студенттердің   төртінші   функциясы   оқытушыдан   сәйкес   түсініктеме,

кеңес алудан тұрады.

13. Әдебиеттер тізімі

Негізгі:

Қолданылған әдебиет тізімі:

1) Дүйсек А.Қ., Қасымбеков С.Қ. Жоғары математика (оқу құралы) – Алматы, 

ҚБТУ, 2004.

2) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 4 (оқу құралы)

– Павлодар, 2010.

3) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 2 (оқу құралы)

– Павлодар, 2010.

4) Ғ.М.Мұқанов. Жоғары математикаға арналған есептер жинағы 3 (оқу құралы)

– Павлодар, 2010.