Мєуiт Ырысбек, Нарбаев Бадєурен, ‰айсаґлы љрiн, ђрлеу Наржол

Мєуiт Ырысбек, Нарбаев Ба©дєурен,
‰айсаґлы љрiн, ђрлеу Наржол
Жалпы бiлiм беретiн пєндер бойынша
республикалы© олимпиаданы­
МАТЕМАТИКА
пєнiнен ауданды© кезе­iнi­
тапсырмалар жинаЎы
АСТАНА
2018

љОЖ 373.167.1
КБЖ 22.1я72
M 37
ѕДарынї республикалы© Ўылыми-практикалы© орталыЎы
о©у-єдiстемелiк ке­есiнi­ 2018 жыЎы 2 ©азандаЎы ќ16
хаттамасымен бекiтiлген.
Бас редактор:
‰ирабаева Ш.А.  Дарын РЃПО директоры,
пед.Ў.к.
‰ґрастырЎан: Мєуiт Ырысбек, Нарбаев Ба©дєурен, ‰айсаґлы
љрiн, ђрлеу Наржол
М 37 Жалпы бiлiм беретiн пєндер бойынша респуб-
ликалы© олимпиаданы­ математика пєнiнен ауданды©
кезе­iнi­ тапсырмалар жинаЎы, Астана: ѕБиКАї баспа-
полиграфиялы© кешенi, 2018. 166 бет.
ISBN 978-601-275-859-7
Жина©та 8-11 сынып о©ушыларыны­ жалпы бiлiм беретiн пєндер
бойынша республикалы© олимпиаданы­ математика пєнiнен аудан-
ды© (II) кезе­iнi­ 2006-2018 жылдардаЎы тапсырмалары толы© ше-
шiмдерiмен ґсынылып отыр.
Математикалы© бiлiм мен сауаттылы©ты ©ажет ететiн тірлi са-
йыс пен конкурстар, Ўылыми жоба, олимпиадаларды­ ма©саты о©у-
шы шыЎармашылыЎын дамыту, дарынды, талантты балаларды ай-
©ындау, оларды­ болаша©та Ўылым жолына тісуiне ілес ©осу, мє-
селеге Ўылыми тґрЎыдан талдау жасауЎа баулу, баланы­ тап©ыр-
лыЎын, зеректiгiн, ойлауЎа икемдiлiгiн, дербестiгiн дамыту, iзденiсiн
©алыптастыру болып табылады.
Жина© іздiк педагогикалы© тєжiрибемен, бiлiм мен Ўылым мєсе-
лелерiмен айналысатын мектеп мґЎалiмдерiне жєне пєн олимпиада-
сына арнайы дайындалып жірген о©ушылар ішiн таптырмас ©ґрал.
љОЖ 373.167.1
КБЖ 22.1я72
ISBN 978-601-275-859-7
© Мєуiт Ы., Нарбаев Б.,
‰айсаґлы љ, ђрлеу Н., 2018
©ѕБиКАї БПК, 2018

АлЎы с°з
АлЎы с°з
‰ґрметтi о©ырман! Сiзге бґл жина©та математика пєнi бойынша рес-
публикалы© олимпиаданы­ (II) ауданды© кезе­iнi­ 2006-2018 о©у жылда-
рындаЎы есептерi толы© шешiмдерiмен ґсынылЎан. К°п айлы© е­бек бо-
лып табылатын бґл жина©  олимпиадалы© математикамен айналысатын
о©ушыларЎа жєне оларды­ ґстаздарына таптырмас ©ґрал.
Негiзi, олимпиадалы© математика ©арапайым мектеп баЎдарлама-
сы аясындаЎы математикадан ілкен дєрежеде ерекшеленедi. Ѓылымдар
патшасыны­ бґл саласы ©иялды­ ґш©ырлыЎын, ойды­ тере­дiгiн жєне
математикалы© сауаттылы©ты талап етедi. Осындай талаптарды­ сан-
алуандылыЎымен бґл жина©ты­ ©ґндылыЎы аны©талады.
Бiрiншiден, жина©таЎы олимпиадалы© есептер жатталынды iс-
єрекеттердi ©ажет етпейдi. Сонды©тан осындай есептердi шыЎару істiн-
де отырЎан адам оЎан дейiн °зi кездестiрмеген жа­а тєсiлдерге, Ўажайып
тґжырымдарЎа келедi. љрине, есептердi­ бєрi дана єрi дара емес, олар-
ды­ iшiнде ґ©састары да кездеседi. Осы ґ©састы©тар жиi ©олданылатын
тєсiлдердi ай©ындайды. Ал бґл тєсiлдермен осы жина© ар©ылы танысуЎа
болады.
Екiншiден, жина©таЎы есептердi шыЎару ар©ылы жєне ґсынылЎан ше-
шiмдердi ой елегiнен °ткiзу ар©ылы математикалы© ойлауды­ дєрежесi
дамиды. Бґл ©асиет °зге Ўылым салаларында да °те баЎалы. Бай©аса­ыз,
жа­а технологиялар заманында дамыЎан єрi дамушы елдерде, соны­ iшiн-
де ‰аза©станда ой-©иялы °ткiр мамандар тапшы. Осы орайда мектеп ©а-
бырЎасынан бастап, ерекше дарыны бар балалар iрiктелiнiп, оларЎа тере­-
детiлген баЎдарламамен саба© °тiледi. Бґл жина© дєл сондай баЎдарлама
аясындаЎы та­даулы есептерден ©ґралЎан.
“шiншiден, олимпиадалы© математика бейне бiр спорт тірi секiлдi.
Спортта да, мґнда да айры©ша е­бек©орлы©, ерiк-жiгер мен ©ойЎан ма©-
сат©а табандылы© ©ґнды саналады. Осыншама керемет ©асиеттердi к°зге
©арапайым болып к°рiнетiн есептердi шыЎару ар©ылы тєрбиелеуге болады.
Ендi ауданды© олимпиадар жайлы с°з ©озЎаса©. Бґл олимпиада - ©ам-
ту аумаЎы бойынша республикалы© олимпиаданы­ е­ ілкен кезе­i. ђз-
дерi­iз бiлесiздер, мектеп iшiлiк кезе­ есептерiн дайындау жауапкершiлiгi
жєне олар бойынша о©ушыларды iрiктеу мiндетi тек мектеп єкiмшiлiгi
мен оны­ математика кафедрасыны­ мойнында. Ал ауданды© кезе­ есеп-
терi бікiл РеспубликаЎа орта© жєне олимпиаданы­ °зi барлы© аудандарда
бiр уа©ытта °тедi.
Ауданды© кезе­ екi турдан °тедi. љрбiр турда іш есептен берiледi (2007
о©у жылында Ўана єрбiр турда т°рт есептен болды). Барлы© есептер 7
ґпайдан баЎаланады. Олимпиадалы© есептердi­ баЎалануыны­ ерекшелiгi
осыда. Кез келген есептi­ шешуi бiрнеше б°лiктен (мысалы, тґжырымдар-
дан, жаЎдайлардан) тґрады. љрбiр осындай б°лiк ©иындыЎына байланыс-
3

АлЎы с°з
ты белгiлi бiр ґпайлармен баЎаланады. ОсыЎан байланысты есеп шешуiн
толы© єрi тісiнiктi ©ылып жазу  єрбiр ©атысушыны­ тiкелей мiндетi.
‰атысушыларды­ жґмыстарын тексеретiн ©азылар ал©асыны­ мішелерi
есеп шешулерiн о©ыЎан кезде еш©андай ©иынды© туындамау ©ажет. Бґл
жина©таЎы шешулердi­ барлыЎы логикалы© ретпен тісiнiктi жазылЎан.
Ауданды© олимпиадаларда єрбiр ауданны­ іздiктерi аны©талады. ђте
ма­ызды тєжiрибемен ©атар бґл жарыс облысты© кезе­ге жолдамаларды
таратады. Ал облыстан кейiн республикалы© олимпиада болатынын °з-
дерi­iз бiлесiздер. Осыдан ауданды© олимпиаданы­ ма­ызын бай©ауЎа бо-
лады. Осы олимпиада нєтижелерiн саралау ар©ылы тірлi аудандардаЎы
математикалы© бiлiм де­гейiн, соны­ iшiнде олимпиадалы© мектептердi­
орналасуын салыстыруЎа болады. љрине, Астана мен Алматы секiлдi іл-
кен ©алаларда о©ушыларды­ олимпиадалы© дайынды© де­гейi °зге елдi
мекендерге ©араЎанда єлде-©айда жоЎары болады. Бґл жина©ты­ басты
ма©саты  сол айырмашылы©ты барынша кiшiрейту, яЎни математикаЎа
©ызы©©ан єрбiр о©ушыны тґрЎылы©ты мекенiне ©арамастан олимпиада-
ларды­ биiк шы­дарына жетелеу.
Сєттiлiк!
Бґл жина©таЎы есептердi­ шешiмдерiне ©осар ґсыныс, пiкiрлерi­iз
болса немесе есептi­ бас©а да шешу єдiстерiмен б°лiсудi ойласа­ыздар
zerdeli.kitap@gmail.com электронды поштасына хат жiберуi­iздi сґраймыз.
4

Есептi­ шарттары
Есептi­ шарттары
2005-2006 о©у жылы
8 сынып
8.1. ђлшемi 6 Ч 6 кестенi­ єрбiр шаршысына бітiн сан жазы­ыздар: кез
келген 1 Ч 4 жєне 4 Ч 1 тiкт°ртбґрыштаЎы сандарды­ ©осындысы жґп, ал
барлы© сандарды­ ©осындысы та© болсын.
8.2. L жєне M ніктелерi  ABCD тiкт°ртбґрышыны­ сєйкес AB жєне
BC
©абырЎаларыны­ ортасы, ал P CL мен AM кесiндiлерiнi­ ©иылысу
ніктесi. Егер ?MP C = 30
0
болса, LDM бґрышын табы­ыз.
8.3. ‰айсысы ілкен: 79
26
ме, єлде 244
21
ме, жєне нелiктен?
8.4. Мына те­дiктi ©анаЎаттандыратын a, b, c натурал сандары табыла ма:
(a + b)(b + c)(a + c) = 4242?
8.5. Cійiрбґрышты ABC ішбґрышыны­ AC жєне BC ©абырЎаларынан
AD : DC = 3 : 4
жєне BE : EC = 2 : 3 болатындай етiп сєйкесiнше D жєне
E
ніктелерi алынЎан. Егер AE мен BD кесiндiлерi F ніктесiнде ©иылысса,
(AF · BF )/(F E · F D)
мєнiн тап.
8.6. 99 жєшiкте алмалар мен апельсиндер бар. Барлы© алмаларды­ жар-
тысынан кем емес жєне барлы© апельсиндердi­ жартысынан кем емес са-
лынЎан 50 жєшiк та­дап алуЎа болатынын дєлелде.
9 сынып
9.1. xy ? x + y = 2006 те­деуiнi­ барлы© бітiн, терiс емес шешiмдерiн
аны©та.
9.2. ABCD трапециясында AB // CD ал ©абырЎалары AB = 8, BC =
5, CD = 4
жєне AD = 3 . Егер E ? ADC жєне BCD бґрыштарыны­ бис-
сектрисаларыны­ ©иылысу ніктесi болса, CDE ішбґрышыны­ ауданын
тап.
5

2005-2006 о©у жылы
9.3. ‰айсысы ілкен: 79
26
ме, єлде 244
21
ме, жєне нелiктен?
9.4. Егер b > 2ac болса, натурал a, b, c коэффициенттерi бар ax
2
+bx+c = 0
те­деуiнi­ тібiрлерi иррационал екенiн дєлелде.
9.5. ABC ішбґрышында ?B = 60
0
, ?C = 90
0
жєне AB = 1 . Те­©абыр-
Ўалы BCP, CAQ жєне ABR ішбґрыштары ABC- Ўа сырттай салынЎан.
QR
жєне AB кесiндiлерi T ніктесiнде ©иылысады. P RT ішбґрышыны­
ауданын табы­дар.
9.6. 99 жєшiкте алмалар мен апельсиндер бар. Барлы© алмаларды­ жар-
тысынан к°бi жєне барлы© апельсиндердi­ жартысынан к°бi салынЎан 50
жєшiк та­дап алуЎа болатынын дєлелде.
10 сынып
10.1. Кез келген x, y, z на©ты сандары ішiн |ax + by + cz| + |bx + cy + az| +
|cx + ay + bz| = |x| + |y| + |z|
тепе-те­дiгi орындалатындай (a, b, c) на©ты
сандар іштiгiн аны©та.
10.2. ABCD трапециясында AB //CD , ал ©абырЎалары AB = 8, BC =
5, CD = 4
жєне AD = 3 . Егер E ? ADC жєне BCD бґрыштарыны­ бис-
сектрисаларыны­ ©иылысу ніктесi болса, CDE ішбґрышыны­ ауданын
тап.
10.3. 100-ден аспайтын ©анша натурал m саны ішiн
m + 4
m
2
+ 7
©ыс©армай-
тын б°лшек болады?
10.4. Егер b > 2ac болса, натурал a, b, c коэффициенттерi бар ax
2
+bx+c = 0
те­деуiнi­ тібiрлерi иррационал екенiн дєлелде.
10.5. Жазы©ты©та Oxy координаталы© жійсi енгiзiлген. Т°белерiнi­
(x, y)
координатталары бітiн жєне 1 6 x, y 6 4 болатын барлы© ішбґры-
штарды­ санын тап.
10.6. ABCD, EF GH бiрлiк квадраттары ішiн AB //EF жєне оларды­
©иылысуларыны­ ауданы
1
16
. Осы квадраттарды­ центрларыны­ мімкiн
болатын е­ ©ыс©а ара©ашы©тыЎын аны©та­ыз.
6

Есептi­ шарттары
11 сынып
11.1. n
2
+ n + 5
саны толы© квадрат болатындай барлы© натурал n санын
тап.
11.2. љрбiр x ? (g, h) ішiн f (x) f (x ? 1) < 0 жєне f (x) f (x + 1) < 0
болатындай бос емес (g, h) интервалы табылатын барлы© f (x) = ax
2
+bx+c
функцияларын аны©та­дар.
11.3. ABCD ромбында ?B = 60
0
. Ромбты­ iшiнен ?AP C = 120
0
, BP = 3
жєне DP = 2 болатындай етiп P ніктесi алынЎан. AP жєне CP кесiн-
дiлерiнi­ ґзынды©тарыны­ айырмасын тап.
11.4. Кез келген на©ты x сандары ішiн x
8
? x
5
+ x
2
? x + 1 > 0
те­сiздiгiн
дєлелде­iз.
11.5.
‰осындыны­ мєнiн табы­ыз:
1
1 + 1
2
+ 1
4
+
2
1 + 2
2
+ 2
4
+ ... +
100
1 + 100
2
+ 100
4
11.6. ABCD,EF GH бiрлiк квадраттары ішiн AB//EF жєне оларды­ ©иы-
лысуларыны­ ауданы
1
16
. Осы квадраттарды­ центрларыны­ мімкiн бо-
латын е­ ©ыс©а ара©ашы©тыЎын аны©та­ыз.
7

2006-2007 о©у жылы
2006-2007 о©у жылы
8 сынып
8.1. 523. . . санына іш цифрды о­ жаЎынан жазы­ыз, шы©©ан алты та­-
балы сан 7, 8 жєне 9 санына б°лiнуi керек.
8.2. љкесiнi­ іш ©адам ґзындыЎы баласыны­ бес ©адам ґзындыЎына те­.
љкесi алты ©адам жасаЎанда баласы жетi ©адам жасайды. Баласы 30 ©адам
жасаЎаннан кейiн Ўана єкесi ©адам жасай бастады. Баласын ©уып жетiп алу
ішiн єкесi ©анша ©адам жасау керек?
8.3.
Д°­ес ABCD т°ртбґрышында келесi те­дiктер орындалады:
?BAC = 20
0
, ?CAD = 60
0
, ?ADB = 50
0
, ?BDC = 10
0
. ACB
бґрышын
тап.
8.4. 5-ке де, 7-ге де б°лiнбейтiн 1000-нан кiшi ©анша натурал сан бар?
8.5. ‰ай сан ілкен:
1
5001
+
1
5002
+ ... +
1
5100
саны ма єлде
1
49
саны ма?
Нелiктен?
8.6. Дипломатты­ иесi кодпен ашылатын дипломатты­ 2-та­балы саннан
(00-99) тґратын кодты ґмытып ©алыпты. Оны­ тек ол санны­ цифрлары-
ны­ ©осындысы 12 екенi Ўана есiнде бар. Дипломатты кепiлдi тірде ашу
ішiн е­ аз дегенде оЎан ©анша вариант ©арап шыЎу керек?
8.7. p жєне p
2
+ 2
сандары жай сандар екенi белгiлi. p
3
+ 2
саныны­ да
жай сан екенiн дєлелде­iз.
8.8. Ануарды­, Бауыржанны­, Сєкеннi­ жєне Дєуреннi­ салма©тары
єр тірлi. Ануар Сєкеннен 8 кг-Ўа арты©, ал Дєурен Бауыржаннан 4 кг-
Ўа арты©. Е­ ауыр жєне е­ же­iл балалар салма©тарыны­ ©осындысы
©алЎан екеуiнi­ салма©тар ©осындысынан 2 кг-Ўа кем. Т°ртеуiнi­ салма©
©осындысы 402 кг. Ануарды­ салмаЎы ©анша?
9 сынып
9.1. 523. . . санына іш цифрды о­ жаЎынан жазы­ыз, шы©©ан алты та­-
балы сан 7, 8 жєне 9 санына б°лiнуi керек.
8

Есептi­ шарттары
9.2.
469
1998
онды© б°лшегiнi­ ітiрден кейiнгi 2007-шi онды© та­басын табы-
­ыз.
9.3. Те­сiздiктi дєлелде­iз:
1
2
?
1
3
+
1
4
? ... ?
1
999
+
1
1000
<
2
5
.
9.4. ABCD параллелограмм болсын. (AB > AD) , M ?AB-ны­ ортасы, ал
N ? CD
мен ABC бґрышыны­ биссектрисасыны­ ©иылысуы. CM мен BN
перпендикуляр болса, онда AN кесiндiсi DAB бґрышыны­ биссектрисасы
болатынын дєлелде­iз.
9.5. a+b 6= 0, b+c 6= 0, a+c 6= 0 болатындай a, b жєне c на©ты сандар берiл-
сiн. Келесi

1 +
c
a + b
 
1 +
a
b + c
 
1 +
b
a + c

?
a
3
+ b
3
+ c
3
(a + b) (b + c) (c + a)
°р-
нек a, b жєне c мєндерiне тєуелсiз екенiн дєлелде­iз.
9.6. Тiк бґрышты ішбґрышты­ ©абырЎаларыны­ ґзынды©тарыны­ мєнi
бітiн болса, онда катеттердi­ ґзынды©тарыны­ к°бейтiндiсi 12-ге б°лi-
нетiнiн дєлелде­iз.
9.7. Офисте 94 ©ызметкер бар. љрбiр ©ызметкер кем дегенде бiр тiл бiледi
 ©аза©ша немесе орысша. Сонымен ©атар ©аза©ша бiлетiндердi­ 70%-ы
таЎы орыс тiлiн бiледi, ал орысша бiлетiндердi­ 80%-ы ©аза© тiлiн бiледi.
Офисте ©анша ©ызметкер екi тiлдi де бiледi?
9.8. Дипломатты­ иесi кодпен ашылатын дипломатты­ 3 та­балы саннан
(000-999) тґратын кодын ґмытып ©алыпты. Оны­ тек сол санны­ цифр-
ларыны­ ©осындысы 15 екенi Ўана есiнде бар. Дипломатты кепiлдi тірде
ашу ішiн е­ аз дегенде ©анша вариант ©арау керек?
10 сынып
10.1.
abc
=
1
болатындай a, b жєне c о­ на©ты сандары ішiн
2 a
2
+ b
2
+ c
2

 + a + b + c > 6 + ab + bc + ac те­сiздiгiн дєлелде­iз.
10.2. Цифрларыны­ ©осындысы мен к°бейтiндiсiн ©осса© сол сан °зi шы-
Ўатындай, 10-нан ілкен ©анша натурал сандар бар?(мысалы 29 = 2·9+2+9)
10.3. ABCD т°ртбґрышыны­ iшiнен M ніктесi ABMD параллелограмм
болатындай етiп алынЎан. Егер ?CBM = ?CDM болса, онда ?ACD =
?BCM екенiн дєлелде­дер.
9

2006-2007 о©у жылы
10.4. Те­деулер жійесiн шешi­iз:
?
?
?
x
2006
+ y
2006
+ z
2006
= 2,
x
2007
+ y
2007
+ z
2007
= 2,
x
2008
+ y
2008
+ z
2008
= 2.
10.5. x
2
+ y
2
©осындысы 7?ге б°лiнетiндей, 1000?нан кiшi x жєне y на-
турал сандарыны­ ©анша жґбы бар?
10.6. a
1
, a
2
, ..., a
2007
бітiн сандар тiзбегi берiлген. a
1
= 1, a
2
= 3
жєне
кез келген натурал 2 6 n 6 2006 ішiн a
n+1
= 3a
n
? 2a
n?1
©атынасы
орындалады. Тiзбектi­ a
2007
- мішесiн табы­ыз.
10.7. Дипломатты­ иесi кодпен ашылатын дипломатты­ 3 та­балы саннан
(000-999) тґратын кодын ґмытып ©алыпты. Оны­ тек сол санны­ цифр-
ларыны­ ©осындысы 15 екенi Ўана есiнде бар. Дипломатты кепiлдi тірде
ашу ішiн е­ аз дегенде ©анша вариант ©арау керек?
10.8.
ABC
ішбґрышында ?ABC = 2?ACB те­дiгi орындалса, онда AB +
BC < 2AC
болатынын дєлелде­iз.
11 сынып
11.1. Цифрларыны­ ©осындысы мен к°бейтiндiсiн ©осса© сол сан °зi шы-
Ўатындай, 10-нан ілкен ©анша натурал сандар бар?(мысалы 29 = 2·9+2+9)
11.2. x жєне y сандары келесi шартты ©анаЎаттандырады:

x
2
+ xy + y
2
= 4,
x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= 8.
Онда x
6
+ x
3
y
3
+ y
6
натурал сан екенiн дєлелде­iз
жєне оны табы­ыз.
11.3. ABC ішбґрышыны­ AB ©абырЎасы  радиусы R?ге те­ ше­бердi­
диаметрi, ал C?осы ше­бердi­ ніктесi. ?BAC бґрышыны­ биссектрисасы
BC?
ны E ніктесiнде ©ияды, ал ше­бердi D ніктесiнде ©ияды. Ал AC
кесiндiсi CED ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бердi F ніктесiнде ©ия-
ды. Егер BC = a болса, онда CF ?ты R жєне a ар©ылы °рнекте­iз.
11.4.
1 ? x
2
+ x
3


1000
жєне 1 + x
2
? x
3


1000
°рнектерiнi­ жа©шаларын
ашып, ґ©сас мішелерiн бiрiктiргеннен кейiн оларды­ ©айсысында x
20
-ны­
алдындаЎы коэффициентi ілкен болады?
10

Есептi­ шарттары
11.5. ‰айсысы ілкен: 2008
2006
· 2006
2008
ме єлде 2007
2·2007
ме? Нелiктен?
11.6. x
4
? px
3
+ q = 0
те­деуiнi­ бітiн тібiрi бар болатындай барлы© p, q
жай сандарын табы­ыз.
11.7. C ніктесiнен O ше­берiне CA жєне CB жанамалары жіргiзiлген.
Ше­бердi­ кез келген N ніктесiнен AB, CA жєне CB тізулерiне сєйкесiн-
ше ND, NE жєне NF перпендикуляры тісiрiлген. ND =
?
N E · N F
екенiн
дєлелде­iз.
11.8. Автобус билетiнi­ н°мiрi алты цифрдан тґрады (бiрiншi цифрла-
ры н°л де болуы мімкiн). Егер бастап©ы іш цифрды­ ©осындысы ©алЎан
ішеуiнi­ ©осындысына те­ болса билет ба©ытты деп аталады. Ба©ытты
билеттердi­ н°мiрлерiнi­ барлыЎыны­ ©осындысы 13-ке б°лiнетiнiн дєлел-
де­iз.
11

2007-2008 о©у жылы
2007-2008 о©у жылы
8 сынып
8.1. Те­деудi шешi­iз: 14x ? 2x
2
= |x ? 7| · 2007
8.2. 2007 те­генi ©анша тєсiлмен 1 жєне 5 те­гелiк тиындармен майдалау-
Ўа болады?
8.3. ABCD трапециясында BAD бґрышы 60
0
?
©а те­. Ал кiшi BC таба-
ны 5?ке те­. Егер трапеция ауданы (AD · BC + AB · CD) /2?Ўа те­ болса,
онда CD бійiр ©абырЎасын тап.
8.4. ђлшемi 18 Ч 8 болатын тiкт°ртбґрышты екiге б°лiп ол б°лiктерден
квадрат ©алай ©ґрауЎа болады?
8.5. 4 та­балы санды керi жазЎанда, ол бастап©ы саннан 4 есе ілкен болып
шы©ты. Осы шартты ©анаЎаттандыратын 4 та­балы санды тап.
8.6. Сійiрбґрышты ABC ішбґрышыны­ AD биссектрисасы AC ©абырЎа-
сына те­ жєне OH кесiндiсiне перпендикуляр, мґндаЎы O?сырттай сызы-
лЎан ше­бердi­ центрi, ал H?ішбґрыш биiктiктерiнi­ ©иылысу ніктесi.
Осы ішбґрышты­ бґрыштарын тап.
9 сынып
9.1. 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · ... · 98 · 99 · 100 к°бейтiндiсi ©анша н°лдермен ая©талады?
9.2. 2007 те­генi ©анша тєсiлмен 1 жєне 5 те­гелiк тиындармен майдалауЎа
болады?
9.3. Табаны AD болатын ABCD трапециясы берiлген. M ніктесi A жєне
B
т°белерiндегi сырт©ы бґрыштарыны­ биссектрисаларыны­ ©иылысу
ніктесi, ал N ніктесi C жєне D т°белерiндегi сырт©ы бґрыштарыны­ бис-
сектрисаларыны­ ©иылысу ніктесi. MN кесiндiсi трапеция периметрiнi­
жартысына те­ болатынын дєлелде.
12

Есептi­ шарттары
9.4. Кез келген a, b, c?терiс емес сандар ішiн келесi те­сiздiктi дєлелде:
ab + bc + ca >
p3abc (a + b + c)
.
9.5. Сійiрбґрышты ABC ішбґрышыны­ AD биссектрисасы AC ©абырЎа-
сына те­ жєне OH кесiндiсiне перпендикуляр, мґндаЎы O?сырттай сызы-
лЎан ше­бердi­ центрi, ал H?ішбґрыш биiктiктерiнi­ ©иылысу ніктесi.
Осы ішбґрышты­ бґрыштарын тап.
9.6. 1?ден 127?ге дейiнгi натурал сандарды топтаЎы сандарды­ ©осын-
дылары °зара те­ бiрнеше (бiрден арты©) топ©а б°лген. Осындай топтар
саны жґп болатынын дєлелде.
10 сынып
10.1. Диагональдар саны т°белер санына б°лiнетiн д°­ес к°пбґрышты­
©анша т°бесi болуы мімкiн.
10.2. Табаны AD болатын ABCD трапециясы берiлген. M ніктесi A жєне
B
т°белерiндегi сырт©ы бґрыштарыны­ биссектрисаларыны­ ©иылысу
ніктесi, ал N ніктесi C жєне D т°белерiндегi сырт©ы бґрыштарыны­ бис-
сектрисаларыны­ ©иылысу ніктесi. MN кесiндiсi трапеция периметрiнi­
жартысына те­ болатынын дєлелде.
10.3.
mn + 1
m + n
тірiне келтiруге болатын барлы© натурал сандарды тап, мґн-
даЎы m жєне n? натурал сандар.
10.4. Кез келген a, b, c?терiс емес сандар ішiн келесi те­сiздiктi дєлелде:
ab + bc + ca >
p3abc (a + b + c)
.
10.5. ABC сійiрбґрышты ішбґрышы берiлген. AB = KC болатындай
AB
жєне BC ©абырЎаларына сырттай сызылЎан °зара те­ ABMN жєне
LBCK
тiкт°ртбґрыштары сызылЎан. AL, NK жєне MC тізулерi бiр нік-
теде ©иылысатынын дєлелде.
10.6. 1?ден 127?ге дейiнгi натурал сандарды топтаЎы сандарды­ ©осын-
дылары °зара те­ бiрнеше (бiрден арты©) топ©а б°лген. Осындай топтар
саны жґп болатынын дєлелде.
13

2007-2008 о©у жылы
11 сынып
11.1. Диагональдар саны т°белер санына б°лiнетiн д°­ес к°пбґрышты­
©анша т°бесi болуы мімкiн.
11.2. Берiлген x +
2
x
= 2y, y +
2
y
= 2z, z +
2
z
= 2x
те­дiктерiн ©анаЎаттан-
дыратын барлы© x, y, z на©ты сандарын тап.
11.3. Дґрыс ABC ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­берiнi­ AC доЎа-
сында M ніктесi алынЎан, ал P ніктесi осы доЎаны­ ортасы. N ніктесi
BM
хордасыны­ ортасы, P ніктесiнен MC?Ўа тісiрiлген перпендикуляр
табаны K ніктесi болсын. ANK ішбґрышы те­ ©абырЎалы екенiн дєлелде.
11.4. Кез келген a, b, c?терiс емес сандар ішiн келесi те­сiздiктi дєлелде:
ab + bc + ca >
p3abc (a + b + c)
.
11.5. ABC сійiрбґрышты ішбґрышыны­ BC, AC, AB ©абырЎаларыны­
iштей сызылЎан ше­берiмен жанасу ніктелерiн сєйкесiнше A
1
, B
1
, C
1
ар©ы-
лы белгiлейiк. BC
1
A
1
жєне CA
1
B
1
ішбґрыштарыны­ ортоцентрлерiн сєй-
кесiнше H
1
, H
2
ніктелерi ар©ылы белгiлейiк. BH
1
H
2
C
т°ртбґрышына
сырттай ше­бер сызуЎа болатынын дєлелде­iз.
11.6. Т°белерi (0; 0) , (0; n) , (n; 0) , (n; n) болатын координата жазы©ты-
Ўында квадрат салынЎан, мґндаЎы n?натурал сан. ‰абырЎалары коорди-
нат осьтерiне параллель жєне т°белерi бітiн болатындай осы квадрат iшiн-
де ©анша тiк т°ртбґрыш табылады?
14

Есептi­ шарттары
2008-2009 о©у жылы
8 сынып
8.1. M ? ABC ішбґрышына iштей сызылЎан ше­бердi­ AC ©абырЎасы-
мен жанасу ніктесi. AM = p ? BC екенiн дєлелде­iз. МґндаЎы, p ? ABC
ішбґрышыны­ жарты периметрi.
8.2. Кейбiр бітiн x жєне y сандары ішiн 3x + 2y саны 23?ке б°лiнедi.
17x + 19y
саны да 23?ке б°лiнетiнiн дєлелде­iз.
8.3. ‰анша тєсiлмен тґйы© иректi жасауЎа болады, егер де т°белерi дґрыс
алтыбґрышты­ т°белерi болса (ирек °з-°зiн ©ия алуы мімкiн)?
8.4. Кез-келген на©ты a, b, c сандары ішiн a
2
+ b
2
+ c
2
+ 12 > 4 (a + b + c)
те­сiздiгi орындалатынын дєлелде­iз.
8.5. Сійiр бґрышты ABC ішбґрышыны­ C т°бесiнен CH биiктiгi жір-
гiзiлдi, ал H ніктесiнен BC жєне AC ©абырЎаларына сєйкесiнше HMжєне
HN
перпендикулярлары тісiрiлдi. MNC жєне ABC ішбґрыштары ґ©сас
екенiн дєлелде­iз
8.6. Сыныпта 40 о©ушы бар. ТуЎан кіндерiн е­ болмаса 4 о©ушы тойлай-
тын ай табылатынын дєлелде­iз.
9 сынып
9.1. x
2
? y
2
? x + y = 10
те­деуiн натурал сандарда шешi­iздер.
9.2. Ше­бер ABC ішбґрышыны­ BC ©абырЎасын, AB жєне AC ©абыр-
Ўаларыны­ созындыларын жанайды. A т°бесiнен ше­бердi­ AB тізуiмен
жанасу ніктесiне дейiнгi ©ашы©ты© ABC ішбґрышыны­ жарты перимет-
рiне те­ болатынын дєлелде­iз.
9.3. ‰анша тєсiлмен n натурал санын k натурал ©осылЎыштар тірiнде
келтiруге болады (©осылЎыштарды­ орналасу тєртiптерiмен ажыратыла-
тын келтiрулер єр тірлi болып саналады)?
15

2008-2009 о©у жылы
9.4. f (x) = |x ? 1| ? |x ? 2| жєне g (x) = |x ? 3| функцияларын ©арасты-
райы©.
a) f (x) функциясыны­ графигiн салы­ыз.
б) f (x) жєне g (x) функцияларыны­ графигiмен шектелген фигураны­
ауданын табы­ыз.
9.5. H ?ABC ішбґрышыны­ BH биiктiгiнi­ табаны. K жєне P ніктелерi
H
ніктесiне сєйкесiнше AB жєне BC ©абырЎаларына ©араЎанда симмет-
риялы. KP кесiндiсiнi­ AB жєне BC ©абырЎаларымен (немесе оларды­
созындыларымен) ©иылысу ніктелерi  ABC ішбґрышыны­ биiктiгiнi­
табаны болатынын дєлелде­iз.
9.6. Залда n > 2 адам бар. Таныстарыны­ саны бiрдей 2 адам табылаты-
нын дєлелде­iз.
10 сынып
10.1. a + b + c = 0 жєне a
4
+ b
4
+ c
4
= 50
шарттарын ©анаЎаттандыратын
a, b, c
на©ты сандары берiлген. ab + bc + ca мєнiн табы­ыз.
10.2. ABC ішбґрышына iштей сызылЎан ше­бер AB жєне AC ©абырЎала-
рын M жєне N ніктелерiнде жанайды. P ? MN тізуi мен B бґрышыны­
биссектрисасымен (немесе оны­ созындысымен) ©иылысу ніктесi. BP C
бґрышы тiк болатынын дєлелде­iз.
10.3. ‰атар келген 2009 ©ґрама натурал сандар табылатынын дєлелде­iз.
10.4. x
1
, x
2
, ...x
n
> 0
жєне x
1
x
2
...x
n
= 1
шарттарын ©анаЎаттандыратын
кез-келген сандар ішiн (1 + x
1
) (1 + x
2
) ... (1 + x
n
) > 2
n
те­сiздiгi орында-
латынын дєлелде­iз.
10.5. Залда n > 2 адам бар. Таныстарыны­ саны бiрдей 2 адам табыла-
тынын дєлелде­iз.
10.6. Те­©абырЎалы ABC ішбґрышыны­ C т°бесiнен кез-келген тізу
жіргiзiлдi. K жєне M ? A жєне B ніктелерiнi­ осы тізуге тісiрген про-
екциялары. P ? AB ортасы. KMP те­©абырЎалы ішбґрыш екенiн дєлел-
де­iз.
16

Есептi­ шарттары
11 сынып
11.1. a + b + c = 0 жєне a
4
+ b
4
+ c
4
= 50
шарттарын ©анаЎаттандыратын
a, b, c
на©ты сандары берiлген. ab + bc + ca мєнiн табы­ыз.
11.2. ABC ішбґрышына iштей сызылЎан ше­бер AB жєне AC ©абырЎала-
рын M жєне N ніктелерiнде жанайды. P ? MN тізуi мен B бґрышыны­
биссектрисасымен (немесе оны­ созындысымен) ©иылысу ніктесi. BP C
бґрышы тiк болатынын дєлелде­iз.
11.3. Кез-келген n натурал саны ішiн арасында дєл бiр Ўана жай сан
болатын тiзбектес n натурал сандар табылатынын дєлелде­iз.
11.4. x
2
? bx + c = 0
те­деуiнi­ x
2
1
+ x
2
2
= 5
шартын ©анаЎаттандыратын
x
1
, x
2
на©ты тібiрлерi болатын барлы© бітiн b, c сандарын табы­ыз.
11.5. ABCD тiкбґрышты трапециясында C жєне B бґрыштары тiк. BC
©абырЎасын M жєне N ніктелерiнде ©иятын, AD ©абырЎасына диаметр
ретiнде ше­бер салынЎан. BM · MC = AB · CD болатынын дєлелде­iз.
11.6. ”зынды©тарыны­ ©осындысы 10 болатын бiрнеше ше­берлер ©а-
бырЎасы­ ґзындыЎы 1 шаршыны­ iшiнде орналас©ан. Кем дегенде т°рт
ше­бердi ©иятын тізу табылатынын дєлелде­iз.
17

2009-2010 о©у жылы
2009-2010 о©у жылы
8 сынып
8.1. ђрнектi есепте­iз:
1
4
+ 2009
4
+ 2010
4
1
2
+ 2009
2
+ 2010
2
.
8.2. AB = BC = CD = DE, ?B = 96
?
, ?C = ?D = 108
?
болатындай
ABCDE
бесбґрышы берiлген. ?E бґрышын табы­ыздар.
8.3. Жа­а жыл ©арса­ында Аяз Ата балаларЎа сыйлы© ретiнде бiр ©о-
рап конфет бердi. Конфеттердi­ 70%ын Айжан алЎаны, 25%-ын Таня, ал
©алЎан б°лiгiн Маржан алЎаны белгiлi. Сосын Айжан 20 конфетiн Мар-
жанЎа бердi, сосын Таня мен Маржан конфеттерiн ©осып те­ екiге б°лiп
алды. Осыдан кейiн Айжанны­ конфеттер саны Маржандiкiнен іш есе
к°п болып шы©ты. Келесi кінi Аяз Ата єрбiр ©ызЎа x конфеттен сыйла-
ды. Осыдан кейiн Айжанны­ конфеттер саны Маржандiкiнен екi есе к°п
болды. x санын табы­ыздар.
8.4. Егер 2
m
+ 3
n
саны 5-ке ©алды©сыз б°лiнсе, онда 2
n
+ 3
m
саны да 5-ке
©алды©сыз б°лiнетiнiн дєлелде­iздер.
8.5. ABC ішбґрышыны­ AB жєне AC ©абырЎаларыны­ орталарын сєй-
кесiнше M жєне N деп белгiлейiк. BC ©абырЎасындаЎы кез келген S нік-
тесi ішiн келесi те­сiздiк орындалатынын дєлелде­iздер: (MB ? MS) ·
(N C ? N S) 6 0.
8.6. Са­ырау©ґла©ты жаман деп айтамыз егер онда кем дегенде 10 ©ґрт
болса, ©арсы жаЎдайда жа©сы деп айтамыз. Себетте 90 жаман жєне 10 жа©-
сы са­ырау©ґла© бар. Бiрнеше ©ґрт жаман са­ырау©ґла©тан жа©сы са­ы-
рау©ґла©©а °ткеннен кейiн барлы© са­ырау©ґла©тар жа©сы болуы мімкiн
бе?
9 сынып
9.1. ђрнектi­ мєнiн есепте­iздер:
1
4
+ 2009
4
+ 2010
4
1
2
+ 2009
2
+ 2010
2
.
18

Есептi­ шарттары
9.2. AB = BC = CD = DE, ?B = 96
?
, ?C = ?D = 108
?
болатындай
ABCDE
бесбґрышы берiлген. ?E бґрышын табы­ыздар.
9.3. a + b + c = x + y + z орындалатын терiс емес a, b, c на©ты сандары
жєне о­ x, y, z на©ты сандары ішiн келесi те­сiздiктi дєлелде­iздер:
a
3
x
2
+
+
b
3
y
2
+
c
3
z
2
> a + b + c.
9.4. Ше­берге iштей сызылЎан ABCD т°ртбґрышында AB : DC = 1 : 2
жєне BD : AC = 2 : 3 ©атынастары орындалады. DA : BC ©атынасын
табы­ыздар.
9.5. 8
m
саныны­ онды© жазбасындаЎы цифрларыны­ ©осындысы 8-ге те­
болатындай m натурал саны берiлген. 8
m
саныны­ со­Ўы цифры 6-Ўа те­
болуы мімкiн бе?
9.6. Са­ырау©ґла©ты жаман деп айтамыз егер онда кем дегенде 10 ©ґрт
болса, ©арсы жаЎдайда жа©сы деп айтамыз. Себетте 90 жаман жєне 10 жа©-
сы са­ырау©ґла© бар. Бiрнеше ©ґрт жаман са­ырау©ґла©тан жа©сы са­ы-
рау©ґла©©а °ткеннен кейiн барлы© са­ырау©ґла©тар жа©сы болуы мімкiн
бе?
10 сынып
10.1. Кез келген x ? R (мґндаЎы R  на©ты сандар жиыны) ішiн
f (g(x)) = g(f (x)) = ?x
орындалатындай f, g : R ? R функциялары берiл-
ген:
а) f, g функциялары та© екенiн дєлелде­iздер.
б) f 6= g болатындай екi функцияЎа мысал келтiрi­iздер.
10.2. ABC бґрышы доЎал болатындай ABCD параллелограмы берiлген.
AD
тізуi ABC ішбґрышына сырттай сызылЎан ? ше­берiн екiншi рет E
ніктесiнде ©ияды. CD тізуi ? ше­берiн екiншi рет F ніктесiнде ©ияды.
DEF
ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бердi­ центрi ? ше­берiнде жа-
татынын дєлелде­iздер.
10.3. Бiрнеше ©атар тґрЎан n натурал санны­ к°бейтiндiсi бiрнеше ©а-
тар тґрЎан n + 100 натурал санны­ к°бейтiндiсiне те­ болатындай n > 1
натурал саны табылатынын дєлелде­iздер.
19

2009-2010 о©у жылы
10.4. 0 6 x 6
?
2
ішiн x cos x 6
?
2
16
екенiн дєлелде­iздер.
10.5. 8
m
саныны­ онды© жазбасындаЎы цифрларыны­ ©осындысы 8-ге
те­ болатындай m натурал саны берiлген. 8
m
саныны­ со­Ўы цифры 6-Ўа
те­ болуы мімкiн бе?
10.6. A = {x ? R|3
x
= x + 2}
жєне B = {x ? R| log
3
(x + 2) + log
2
(3
x
?
x) = 3
x
? 1}
екi жиыны берiлген, мґндаЎы R  на©ты сандар жиыны.
A ? B
жєне B жиыны рационал да, иррационал да сандардан тґратынын
дєлелде­iздер.
11 сынып
11.1. (f(x))
3
? f (x)
к°пмішесiнi­ дєл іш на©ты тібiрi болатындай f(x) =
ax
2
+ bx + c
квадрат ішмішелiгi берiлген. “шмішелiктi­ графигiнi­ т°-
бесiнi­ ординатасын табы­ыздар.
11.2. ABC бґрышы доЎал болатындай ABCD параллелограмы берiлген.
AD
тізуi ABC ішбґрышына сырттай сызылЎан ? ше­берiн екiншi рет E
ніктесiнде ©ияды. CD тізуi ? ше­берiн екiншi рет F ніктесiнде ©ияды.
DEF
ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бердi­ центрi ? ше­берiнде жа-
татынын дєлелде­iздер.
11.3. 9997n саныны­ онды© жазбасында тек та© цифрлар болатындай n >
1
натурал сандары берiлген. n саныны­ мімкiн болатын е­ кiшi мєнiн
табы­ыздар.
11.4. 0 6 x 6
?
2
ішiн x cos x 6
?
2
16
екенiн дєлелде­iздер.
11.5.
bc
b + c
,
ca
c + a
,
ab
a + b
сандары бітiн болатындай a, b, c натурал сандары
берiлген. Е“ОБ(a, b, c) > 1 екенiн дєлелде­iздер.
11.6. A = {x ? R|3
x
= x + 2}
жєне B = {x ? R| log
3
(x + 2) + log
2
(3
x
?
x) = 3
x
? 1}
екi жиыны берiлген, мґндаЎы R  на©ты сандар жиыны.
A ? B
жєне B жиыны рационал да, иррационал да сандардан тґратынын
дєлелде­iздер.
20

Есептi­ шарттары
2010-2011 о©у жылы
8 сынып
8.1. a, b, c сандары ішiн
a
b
= 2,
b
c
= 5
те­дiктерi орындалатыны белгiлi
болса,
a
2
+ b
2
+ c
2
ac
°рнегiнi­ мєнiн аны©та­дар.
8.2. Дене шыны©тыру мґЎалiмi 60 о©ушыны  29 ґл бала мен 31 ©ыз ба-
ланы бiр шеренганы­ (тізудi­) бойына, ешбiр (ґл немесе ©ыз) бала екi ©ыз
баланы­ арасында ©алмайтындай етiп, сап©а тґрЎызЎысы келедi. Оны­ бґл
ойы iске аса ма?
8.3. A, B, C сандары іш тірлi та© цифрлар болсын. s = ABC + BCA +
CAB
саны ішта­балы екенi белгiлi. sтi табы­ыздар. (abc ар©ылы к°р-
сетiлген ретте a, b, c цифрларынан тґратын санны­ онды© жазбасы белгi-
ленедi.)
8.4. Те­деудi шешi­дер:
1
2x ? 1
+
1
2x + 1
+
7
4x
2
? 1
= 1.
8.5. {a
n
}
сандар тiзбегi былай аны©талЎан: a
0
= 2
жєне єрбiр i = 0, 1, 2, ...
ішiн a
i+1
= 2
a
i
. Кейбiр терiс емес, бітiн k саны ішiн a
k
+ 9
тірiнде °рнек-
телетiн жай сандарды­ бєрiн табы­дар.
8.6. ABCD квадратыны­ сыртынан AP = AB жєне ?ADP = 10
0
бола-
тындай етiп P ніктесi алынЎан. ?AP B бґрышыны­ мімкiн (градусты©)
мєндерiн аны©та­дар.
9 сынып
9.1. Дене шыны©тыру мґЎалiмi 60 о©ушыны  29 ґл бала мен 31 ©ыз ба-
ланы бiр шеренганы­ (тізудi­) бойына, ешбiр (ґл немесе ©ыз) бала екi ©ыз
баланы­ арасында ©алмайтындай етiп, сап©а тґрЎызЎысы келедi. Оны­ бґл
ойы iске аса ма?
9.2. Кез келген на©ты x ? (0, 1) саны ішiн
x
2
1 ? x
+
(1 ? x)
2
x
> 1 те­сiздiгi
орындалатынын дєлелде­дер.
21

2010-2011 о©у жылы
9.3. Те­©абырЎалы ABC ішбґрышыны­ BC ©абырЎасына ішбґрышты­
сыртында жататын жарты ше­бер сызылЎан. Жарты ше­берден BD =
DE = EC
орындалатындай D жєне E ніктелерi алынЎан. AD жєне AE
кесiндiлерi BC ©абырЎасын те­ іш б°лiкке б°летiнiн дєлелде­iздер.
9.4. p + q
2
+ r
3
= 200
те­деуiн ©анаЎаттандыратын p, q, r жай сандар
іштiктерiн табы­дар (немесе табылмайтынын дєлелде­дер).
9.5. ABCD квадратыны­ сыртынан AP = AB жєне ?ADP = 10
0
бола-
тындай етiп P ніктесi алынЎан. ?AP B бґрышыны­ мімкiн (градусты©)
мєндерiн аны©та­дар.
9.6. Жазы©ты©та барлы© °зара ара ©ашы©ты©тары натурал сандарЎа те­
болатын, бiр тізудi­ бойында жатпайтын єртірлi 2011 нікте табылатынын
дєлелде­дер.
10 сынып
10.1. A, B, C?єртірлi та© цифрлар. Егер s = ABC+BCA+CAB іш орын-
ды сан екенi белгiлi болса, s саныны­ мєнiн табы­дар. Мґнда abc ар©ылы
онды© жійеде к°рсетiлген ретi бойынша a, b, c цифрларымен жазылЎан сан
белгiленедi.
10.2. Те­©абырЎалы ABC ішбґрышыны­ BC ©абырЎасына ішбґрышты­
сыртына ©арай жартыше­бер тґрЎызылЎан. Жартыше­берден BD =
DE = EC
болатындай етiп, D жєне E ніктелерi алынЎан. AD жєне AE
кесiндiлерi BC ©абырЎасын те­ іш б°лiкке б°летiнiн дєлелде­дер.
10.3. Т°рт есеп шешуге берiлген математикалы© олимпиадада 25 о©у-
шы ©атысады. љрбiр есеп шешiлген, шешiлмеген (б°лiгiн шыЎарды деп ©а-
растырылмайды) болып есептеледi. Т°ртеуi де орта© бiр есептi шыЎарЎан
(немесе т°ртеуi ешбiр есеп шыЎармаЎан) т°рт о©ушы табылатынын неме-
се бiрiнi­ шыЎармаЎан есептерiн бiрi шыЎарЎан екi о©ушы табылатынын
дєлелде­iздер.
10.4. Кез келген n > 1 жєне k > 1 натурал сандары ішiн n
k+2
? n
k
саны
12?
ге ©алды©сыз б°лiнетiнiн дєлелде­iздер.
22

Есептi­ шарттары
10.5. x, y, z о­ сандарыны­ ©осындысы 2?ге те­. Те­сiздiктi дєлелде­iз-
дер:
1
x
+
1
y
+
1
z
+
9
4
6
1
x
2
+
1
y
2
+
1
z
2
.
10.6. Жазы©ты©та барлыЎы бiр тізудi­ бойында жатпайтындай єрбiр
кесiндi ґзындыЎы натурал сан болатындай 2011 єртірлi нікте табылаты-
нын дєлелде­iздер.
11 сынып
11.1. ABC ішбґрышыны­ биiктiктерi CK жєне BL болсын. AB + CK =
AC + BL
те­дiгi орындалатындай барлы© ABC ішбґрышыны­ тірлерiн
табы­ыздар.
11.2. Т°рт есеп шешуге берiлген математикалы© олимпиадада 25 о©у-
шы ©атысады. љрбiр есеп шешiлген не шешiлмеген(б°лiгiн шыЎарды де-
ген ©арастырылмайды) болып есептеледi. Т°ртеуi де орта© бiр есептi шы-
ЎарЎан(немесе т°ртеуi ешбiр есеп шыЎармаЎан) т°рт о©ушы табылатынын
немесе бiрiнi­ шыЎармаЎан есептерiн бiрi шыЎарЎан екi о©ушы табылаты-
нын дєлелде­iздер.
11.3. Келесi те­сiздiктер орындалатындай барлы© p жєне q жай сандар
жґптарын табы­ыздар: 0 <
p
q
?
q
p
<
4
?
pq
.
11.4. a, b, c о­ сандарыны­ ©осындысы 1?ге те­. Те­сiздiктi дєлелде­iз-
дер: abc 6 (ab + bc + ac) a
2
+ b
2
+ c
2


2
.
11.5. s = 1! 1
2
+ 1 + 1

 + 2! 2
2
+ 2 + 1

 + ... + 2011! 2011
2
+ 2011 + 1


болсын.
s + 1
2012!
°рнегiнi­ мєнiн табы­ыздар.
11.6. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 цифрларыны­ єрбiр дєл бiр реттен кездесетiн барлы©
жетi та­балы сандар °су ретiмен н°мiрленген (1234567саныны­ н°мiрi 1?ге
те­). 3654721саныны­ н°мiрiн табы­ыздар.
23

2011-2012 о©у жылы
2011-2012 о©у жылы
8 сынып
8.1. Квадратты­ бiр ©абырЎасы p%?Ўа ґзартылып, ал екiншiсi p%?Ўа
©ыс©артылды. Пайда болЎан тiкт°ртбґрышты­ ауданы квадратты­ ауда-
ныны­ 99%?ына те­ болса, p?ны табы­дар.
8.2. ђрнектi ы©шамда­дар:
2
?
2 +
?
6


3
p
2 +
?
3
 .
8.3. Те­деудi шешi­дер: x
2
+ x + 1 =
156
x
2
+ x
.
8.4. a, b, c о­ бітiн сандары т°мендегi ©атынасты ©анаЎаттандырады:
abc + ab + bc + ac + a + b + c = 1000. a + b + c?
©осындысын табы­ыз
8.5. A, B, C, D, E бес жануарды­ єр©айсысы не ©ас©ыр, не ит. Иттер іне-
мi шын с°йлейдi, ал ©ас©ырлар інемi °тiрiк айтады. A жануар B?ны­ ит
екенiн, C жануар D?ны­ ©ас©ыр екенiн, E жануар A?ны­ ит екенiн айта-
ды. B жануар C?ны­ ©ас©ыр екенiн, ал D жануар B жєне E?ны­ єртірлi
жануарлар екенiн айтады. A, B, C, D, E жануарларыны­ iшiнен ©ас©ырды­
санын аны©та­ыз.
8.6. N жґмысшы N кін N саЎаттан жґмыс жасап, N тонна °нiм °ндiредi.
Онда M жґмысшы M кін M саЎаттан жґмыс жасап ©анша тонна °нiм
°ндiредi?
9 сынып
9.1. 10?нан аспайтын натурал m жєне n сандарыны­ к°мегiмен
m
n
тірiн-
де ©анша єртірлi сан жасай аламыз? Мысалы,
2
4
=
1
2
болатынын ґмыт-
па­дар.
9.2. љр тізу дєл бас©а т°рт тізумен ©иылысатындай етiп, жазы©ты©та,
е­ к°п дегенде, ©анша тізу жіргiзе аламыз?
24

Есептi­ шарттары
9.3. 4
50
· 5
105
саныны­ онды© жазбасында ©анша цифр бар?
9.4. Би ійiрмесiнде 6 ґл жєне 6 ©ыз бала бар. Оларды ©анша тєсiлмен
ґл-©ыз жґптарына б°луге болады?
9.5. ‰аржы министрi мемлекетте 33 монета жєне 60 а©ша бiрлiктерi айна-
лымда болуы ©ажет деп шештi. Сатып алушылар °здерiнi­ єр©айсысында
жеткiлiктi м°лшерде монета жєне бас©а да арты©шылы©тар болатындай
етiп, товары ішiн сатушыЎа е­ аз дегенде ©анша о­ сома т°леуi ©ажет?
9.6. Клубта 20 адам бар. Жа­а жылда єр©айсысы клубты­ бас©а 10 мі-
шесiне ©ґтты©тау хаттарын жолдады. ‰андайда-бiр 2 адамны­ ©ґтты©тау
хаттарымен алмас©анын дєлелде­iз?
10 сынып
10.1. Б°лменi­ тiкт°ртбґрыш пiшiндес еденiне °лшемдерi бiрдей квадрат
плиткалар т°селген. Еденнi­ шеткi жиектерi ©ызыл плиткалармен к°м-
керiлiп, ал iшкi ауданы жасыл плиткалармен жабылЎан. ‰олданылЎан ©ы-
зыл жєне жасыл плиткаларды­ саны бiрдей болса, барлыЎы ©анша плитка
т°селген?
10.2. a параметрiне тєуелдi етiп, те­деулер жійесiнi­ на©ты (x; y) шешiм-
дер парларыны­ санын табы­дар:

|x| + |y| = 1
x
2
+ y
2
= a
.
10.3. Кез келген бітiн k > 6 ішiн квадратты k квадрат©а (оларды­ iшiнде
кейбiреулерi °зара те­ болуы мімкiн) б°луге болатынын дєлелде­дер.
10.4. АЎасы мен ©арындасы те­©абырЎалы ішбґрыш формасында пицца
пiсiрдi. ‰арындасы ішбґрышты­ iшiнен бiр ніктенi та­дайды, ал аЎасы
осы нікте ар©ылы °тетiндей, пиццаны тізу кесiп алып °зiне ґнаЎан б°лi-
гiн жейдi. ‰арындасы °зiне ілкен б°лiгiн алуЎа сенiмдi болу ішiн ©андай
ніктенi та­дауы ©ажет?
25

2011-2012 о©у жылы
10.5. Натурал санны­ факториалыны­ онды© жазбасы 11 н°лмен ая©та-
луы мімкiн бе? n ! = 1 · 2 · ... · n екенiн ескеремiз.
10.6. c, d?т°мендегi те­деулер жійесiн ©анаЎаттандыратын на©ты сандар:

c
3
? 3c
2
+ 5c ? 17 = 0
d
3
? 3d
2
+ 5d + 11 = 0
. c + d
©осындысын аны©та­ыз?
11 сынып
11.1. Те­деудi­ барлы© на©ты тібiрлерiн табы­дар:
x
3
+
5
x
= 45x + x
2
.
11.2.
2n
2
+ 9n + 4
саны жай сан болатын, барлы© бітiн n санын табы­ыз.
11.3. љр©айсысыны­ радиустары 1-ге те­ іш ше­бер O ніктесiнде ©иы-
лысады. Ше­берлер бґл ніктеден бас©а A, B, C ніктелерiнде бiр-бiрiмен
таЎы ©иылысады. ABC ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бердi­ радиу-
сы 1-ге те­ екенiн дєлелде­дер.
11.4. 6 єртірлi ємиян бар. Е­ к°п дегенде бiр ємиян бос ©алатындай етiп,
12
бiрдей монетаны осы ємияндарЎа неше тєсiлмен ілестiруге болады?
11.5. ?x ? R ішiн f функциясы f (cos x) = cos (17x) шартын ©анаЎаттан-
дырады. f функциясыны­ ?x ? R ішiн f (sin x) = sin (17x) шартын да
©анаЎаттандыратынын дєлелде­iз.
11.6. Координата жазы©тыЎында, кез-келген ?1 6 t 6 1 ішiн t
2
+yt+x > 0
те­сiздiгi орынды болатын барлы© (x, y) ніктелерiнi­ жиынын бейнеле­-
дер.
26

Есептi­ шарттары
2012-2013 о©у жылы
8 сынып
8.1. 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
77
©осындысы 7?ге б°лiнедi ма?
8.2. На©ты a, b, c сандары ішiн (a + b + c)
2
= 3 (ab + bc + ca)
те­дiгi орын-
далады. a = b = c екенiн дєлелде­iздер.
8.3. Бала©ай єр кін сайын a немесе b километр жіредi, мґндаЎы a мен
b?
натурал сандар жєне a > b. Бала©ай дєл 100 километрдi 9 немесе 11
кінде жірiп °те алатындай, бiра© 10 кін жірiп °те алмайтындай a мен b
сандарыны­ барлы© мімкiн мєндерiн табы­ыздар.
8.4. ‰анша екi орынды санны­ цифрларыны­ ©осындысы бітiн санны­
квадраты болады?
8.5. Сегiзiншi сыныпты­ о©ушысы кез келген квадратты одан кiшi 10
квадрат©а б°лшектей аламын дейдi (кiшi квадраттарды­ iшiнде °лшемдерi
бiрдей квадрат болуы мімкiн.) Ол ©ателесiп тґрЎан жо© па?
8.6. x + y = 4 жєне x
2
+ y
2
= 10
екенi белгiлi. x
4
+ y
4
°рнегiнi­ мєнiн
табы­ыз.
9 сынып
9.1. A мен B сандарын салыстыры­ыздар: A =
1
99

1 +
1
2
+ · · · +
1
99

жєне B =
1
100

1 +
1
2
+ · · · +
1
100

.
9.2. 999 . . . 9
3
|
{z
}
100?
рет
саныны­ онды© жазылуында ©анша 9 цифрасы бар?
9.3. ABCD параллелограммын ©арастырайы©.
а) Егер ABC ішбґрышына iштей сызылЎан ше­бердi­ центрi BD диаго-
налында жатса, онда ABCD ромб болатыны шын ба?
27

2012-2013 о©у жылы
б) Егер ABC ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бердi­ центрi BD диа-
гоналында жатса, онда ABCD ромб болатыны шын ба?
9.4. Бітiн x жєне y сандары ішiн x
2
+ 3xy + y
2
°рнегi 25-ке б°лiнсе, онда
x
жєне y сандарыны­ єр©айсысы 5-ке б°лiнетiнiн дєлелде­iздер.
9.5. Кеше ойын ала­ындаЎы ґл балаларды­ саны кыз балаларды­ санына
©араЎанда 1,5 есе к°п болды. Бігiн ґл балаларды­ саны ©ыз балаларды­
саныны­ квадраты болып тґр, жєне кешегiмен салыстырЎанда, ґлдарды­
саны 6-Ўа, ал ©ыздарды­ саны 7-ге кемiген. Кеше ойын ала­ында неше
бала болЎан?
9.6. Кез келген натурал n ішiн 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · n! = (n + 1)! ? 1
те­дiгiнi­ дґрыс екенiн к°рсетi­iз, бґл жерде k! = 1 · 2 · · · · · k.
10 сынып
10.1. Кез келген натурал n саны ішiн 2 · 3
n
6 2
n
+ 4
n
те­сiздiгiн дєлел-
де­iздер? n-нi­ ©андай мєнiнде те­дiк орындалады?
10.2. ”лыны­ туЎан кінiн тойлап жатып, єкесi оны­ атасына былай деп
тiл ©атты:
 Бігiн ґлымны­ жасы, менi­ жасым жєне сенi­ жасы­
 жай сандар.
 Иє, ал бес жылдан кейiн бiздi­ жастарымызды­ бєрi
толы© квадрат болады, деп атасы жауап ©айтарды. Немересi туЎан кезде
атасы ©анша жаста едi?
10.3. Сійiр бґрышты ABC ішбґрышыны­ iшiнде алынЎан P ніктенi іш-
бґрышты­ ©абырЎаларына ©атысты симметриялы ніктелердi­ бєрi ABC
ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бердi­ бойында жат©аны белгiлi бол-
са, онда P ніктесi  ABC ішбґрышыны­ биiктiктер ©иылысу ніктесi
екенiн дєлелде­iздер.
10.4. Тiкт°ртбґрышты­ ©абырЎалары мен диагональдары  натурал сан-
дар болса, оны­ ауданы 12-ге б°лiнетiнiн дєлелде­iздер.
10.5. ‰абырЎасы 10 болатын квадрат iшiнен кез келген екеуiнi­ ара-
©ашы©тыЎы натурал сан болатын 6 нікте алЎан. Осы ара-©ашы©ты©тар
арасында бiрдей екеуi табылатынын дєлелде­iздер.
28

Есептi­ шарттары
10.6. 2
sin
2
x
= sin x
те­деуiнi­ на©ты шешiмiн табы­ыздар.
11 сынып
11.1. Ше­берге iштей сызылЎан трапецияны­ бійiр ©абырЎаларыны­ ©о-
сындысы 4
?
10
-Ўа те­, оны­ биiктiгi 6-Ўа, ал ауданы 72-ге те­ болса, тра-
пецияЎа сырттай сызылЎан ше­бердi­ радиусын табы­ыз.
11.2. ? опрациясы келесi ©асиетке ие: x?0 = 0 жєне x?(y+1) = x?y+(x?y).
100 ? 10
°рнегi неге те­?
11.3. 10
x
+ 11
x
+ 12
x
= 13
x
+ 14
x
те­деуiнi­ на©ты шешiмiн табы­ыздар.
11.4. Онды© жазбасы тек 0, 1 жєне 2 цифрларынан ©ґралЎан, 3-ке ©алды©-
сыз б°лiнетiн ©анша алтыта­балы сан бар?
11.5. 2
a
·3
b
?3
b+1
+2
a
= 13
те­деуiнi­ терiс емес бітiн шешiмдерiн табы­ыз-
дар.
11.6. ‰абырЎалары a, b, c болатын ішбґрыш ішiн
1
a + b
+
1
b + c
=
3
a + b + c
те­дiгi орындалады. Осы ішбґрышты­ °лшемi бойынша орта­Ўы бґрыш-
ты табы­ыздар.
29

2013-2014 о©у жылы
2013-2014 о©у жылы
8 сынып
8.1. a жєне b на©ты сандары a+b =
1
a
+
1
b
= 6
те­деуiн ©анаЎаттандырады.
a
b
+
b
a
°рнегiнi­ мєнiн табы­ыз.
8.2. 7
2013
саныны­ со­Ўы екi цифрын табы­ыз.
8.3. Аралда 7 к°к, 9 жасыл жєне 11 ©ызыл ©ґбылЎы °мiр сіредi. Егер екi
тістi ©ґбылЎы кездессе, екеуi де тісiн ішiншi тіске °згертедi. (К°к жєне
жасыл - ©ызылЎа, таЎы сол сия©ты). Бiр мезетте барлы© ©ґбылЎыларды­
тістерi бiрдей бола ала ма?
8.4. Дєл 10 б°лгiшiн (°зiн жєне бiрдi есептегенде) бар барлы© 5?ке жєне
9?
Ўа б°лiнетiн натурал сандарды табы­ыз.
8.5.
?
x
2
? 8x + 41 +
py
2
+ 6y + 25 = 9
те­деуiн на©ты сандар жиынында
шешi­дер.
8.6. AD биiктiгi BC ©абырЎасынан екi есе кiшi. ABC ішбґрышында A
бґрышы доЎал бола ала ма?
9 сынып
9.1. ABCD квадраты берiлген. AC жєне BC кесiндiлерiнен сєйкесiн-
ше, кесiндi ґштарымен беттеспейтiн, M жєне N ніктелерi алынЎан. Егер
M N = M D
екенi белгiлi болса, MDN бґрышыны­ мєнiн табы­ыз.
9.2. ђзара жай a жєне b (a > b) сандары ішiн
a
3
? b
3
(a ? b)
3
=
73
3
те­деуi
орындалса, a ? b °рнегiнi­ мєнiн табы­ыз.
9.3. Аралда 7 к°к, 9 жасыл жєне 11 ©ызыл ©ґбылЎы °мiр сіредi. Егер екi
тістi ©ґбылЎы кездессе, екеуi де тісiн ішiншi тіске °згертедi. (К°к жєне
жасыл - ©ызылЎа, таЎы сол сия©ты). Бiр мезетте барлы© ©ґбылЎыларды­
тістерi бiрдей бола ала ма?
30

Есептi­ шарттары
9.4. k?бітiн сан ішiн k
4
+ 64
саны жай болуы мімкiн бе?
9.5. AD биiктiгi BC ©абырЎасынан екi есе кiшi ABC ішбґрышында A
бґрышы доЎал бола ала ма?
9.6. a?ны­ ©андай на©ты мєндерiнде
?
?
?
x + y + z = a + 1
xy + yz + zx = 2a,
xyz = a
те­деулер жійесiнi­ на©ты сан болатын шешiмдерi
болады?
10 сынып
10.1. Жазы©ты©та єртірлi т°рт нікте берiлген. Осы ніктелердi ©ос-©остан
алЎанда шыЎатын алты кесiндiнi­ ґзынды©тары a, a, a, a, 2a, b?Ўа те­.
b
a
©атынасыны­ мєнiн табы­ыз.
10.2. Бастап©ы m та© натурал сандарды­ ©осындысы бастап©ы n жґп
натурал сандарды­ ©осындысынан 212?ге к°п болатындай барлы© (m; n)
натурал жґптарын табы­ыз.
10.3. x
2013
+ 1
к°пмішелiгiн (x + 1)
3
к°пмішелiкке б°лгендегi ©алды©ты
табы­ыз.
10.4. f : R/ {0; 1} ? R функциясы f (x) =
x
2
? x + 1


3
x
2
(x ? 1)
2
тірiнде аны©та-
лады. Кез келген x ? R/ {0; 1} саны ішiн f (x) = f (1 ? x) = f
 1
x

екенiн
дєледе­iз.
10.5. ABC дґрыс ішбґрышыны­ AC жєне AB ©абырЎаларынан
M C
M A
=
N A
N B
= 2
болатындай сєйкесiнше M жєне N ніктелерi алынЎан. BM жєне
CN
кесiндiлерiнi­ ©илысын P ніктесiмен белгiлейiк. ?AP C = 90
0
екенiн
дєлелде­iз.
31

2013-2014 о©у жылы
10.6. Та©тада 100 сан жазылЎан: 1,
1
2
,
1
3
, . . .,
1
100
. љр минутта келесi опе-
рация орындалады: та©тадан кез келген екi a жєне b сандары °шiрiледi,
оларды­ орнына бiр a + b + ab саны жазылады. Бiрнеше уа©ыттан кейiн
та©тада бiр Ўана сан ©алады. Бґл ©андай сан?
11 сынып
11.1. Аралда 7 к°к, 9 жасыл жєне 11 ©ызыл ©ґбылЎы °мiр сіредi. Егер екi
тістi ©ґбылЎы кездессе, екеуi де тісiн ішiншi тіске °згертедi (к°к жєне
жасыл  ©ызылЎа, таЎы сол сия©ты). Бiр мезетте барлы© ©ґбылЎыларды­
тістерi бiрдей бола ала ма?
11.2. Бастап©ы m та© натурал сандарды­ ©осындысы бастап©ы n жґп
натурал сандарды­ ©осындысынан 212-ге к°п болатындай барлы© (m, n)
натурал жґптарын табы­ыз.
11.3. [u] ? u саныны­ бітiн б°лiгi.

x +
1
6

+

x +
3
6

+

x +
5
6

= [x] +

x +
2
6

+

x +
4
6

те­деуiн на©ты сандар жиынында шешi­дер.
11.4. ‰ос-©остан те­ емес a, b, c на©ты сандары ішiн (a ? b)
5
+ (b ? c)
5
+
(c ? a)
5
= 0
болуы мімкiн бе?
11.5. ABC дґрыс ішбґрышыны­ AC жєне AB ©абырЎаларынан
M C
M A
=
N A
N B
= 2
болатындай сєйкесiнше M жєне N ніктелерi алынЎан. BM жєне
CN
кесiндiлерiнi­ ©иылысын P ніктесiмен белгiлейiк. ?AP C = 90
?
екенiн
дєлелде­iз.
11.6. Та©тада 100 сан жазылЎан: 1,
1
2
,
1
3
, . . .,
1
100
. љр минутта келесi
операция орындалады: та©тадан кез келген екi a жєне b сандары °шiрiледi,
оларды­ орнына бiр a + b + ab саны жазылады. Бiрнеше уа©ыттан кейiн
та©тада бiр Ўана сан ©алады. Бґл ©андай сан?
32

Есептi­ шарттары
2014-2015 о©у жылы
8 сынып
8.1. x
2
+ y
2
+ z
2
= 2015
те­деуiн бітiн сандар жиынында шешi­iз.
8.2. a 6 b 6 c?на©ты сандар болсын. c
2
? b
2
+ a
2
> (c ? b + a)
2
те­сiздiгiн
дєлелде­iз.
8.3. M, N, K?ніктелерi ABC ішбґрышыны­ сєйкесiнше AB, BC, CA ©а-
бырЎаларыны­ орталары болсын. MN жєне NK кесiндiлерiнен сєйкесiнше
P
жєне Q ніктелерi алынЎан. AP + AQ = BC жєне BQ + CP = AB + AC
©атынастарыны­ бiр уа©ытта орындалуы мімкiн бе?
8.4.
1?
ден 30000?Ўа дейiнгi натурал сандар ретпен жазылЎан:
123456789101112...2999930000.
Осы цифрлар тiзбегiнде 2015 (осындай рет-
пен) ©анша рет кездеседi?
8.5. Тiкт°ртбґрыш кестенi­ єрбiр бiрлiк шаршысында на©ты сан жазыл-
Ўан жєне кестеде бiрдей сан жо©. љрбiр жолда е­ ілкен сан та­далЎан,
A?
осы та­далЎан сандарды­ е­ кiшiсi. љрбiр баЎанада е­ кiшi сан та­-
далЎан, B?осы та­далЎан сандарды­ е­ ілкенi. A жєне B сандарын салыс-
тыры­ыз.
8.6. Жазы©ты©та l тізуi, жєне l тізуiне параллель тізуде жататын s
кесiндiсi берiлген. ђлшемi жо© сызЎышты­ Ўана к°мегiмен s кесiндiсiнi­
ортасын салы­ыз.
9 сынып
9.1. ABCDE д°­ес бесбґрышы ше­берге iштей сызылЎан. ?CAD = 50
0
екенi белгiлi. ?ABC + ?AED ©осындысын табы­ыз.
9.2. p (p + n) + p = (n + 1)
3
те­дiгiн ©анаЎаттандыратын n саны табыла-
тындай, барлы© жай p сандарын табы­ыз.
9.3.
s
100 +
r
99 +
q
98 + ... +
p
2 +
?
1 < 11
те­сiздiгiн дєлелде­iз.
33

2014-2015 о©у жылы
9.4. О©ушылар емтихан тапсырЎанда оларЎа 3 есеп берiлдi. О©ушыларды­
98%?
бiрiншi, 90%?екiншi, 85%?ішiншi есептi шыЎарды. Барлы© іш есеп-
тi о©ушыларды­ x% шыЎарды. x?тi­ е­ кiшi жєне е­ ілкен мєнiн табы­ыз.
9.5. Тiкт°ртбґрыш кестенi­ єрбiр бiрлiк шаршысында на©ты сан жазыл-
Ўан жєне кестеде бiрдей сан жо©. љрбiр жолда е­ ілкен сан та­далЎан,
A?
осы та­далЎан сандарды­ е­ кiшiсi. љрбiр баЎанада е­ кiшi сан та­-
далЎан, B?осы та­далЎан сандарды­ е­ ілкенi. A жєне B сандарын салыс-
тыры­ыз.
9.6. ABC ішбґрышында B т°бесiнi­ iшкi биссектрисасы мен C т°-
бесiнi­ сырт©ы биссектрисасы D ніктесiнде ©иылысады. ABC ішбґрышы-
на сырттай сызылЎан ше­бер BD тізуiн екiншi рет E ніктесiнде ©ияды.
E ? ACD
ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бердi­ центрi екенiн дєлел-
де­iз.
10 сынып
10.1. Те­деулер жійесiн шешi­iз:
?
?
?
x + y + xy = 19,
y + z + yz = 11,
z + x + zx = 14.
10.2. ABCD шаршысыны­ A т°бесi жєне CD ©абырЎасыны­ ортасы l ті-
зуiне ©араЎанда симметриялы. l тізуi ABCD шаршысын б°лген б°лiктер-
дi­ аудандарыны­ ©атынасын табы­ыз.
10.3.
8n ? 25
n + 5
?
рационал санны­ кубы болатындай барлы© бітiн n санын
табы­ыз.
10.4. 2015 санын ©андай санЎа к°бейткенде, пайда болЎан санны­ дєл 12
б°лгiшi болады (°зiн жєне бiрдi ©ос©анда)?
10.5. f (x) =
x
4
+ 6x
2
+ 1
x
3
+ x
функциясыны­ (0; +?) интервалындаЎы е­
кiшi мєнiн табы­ыз.
10.6. 8 Ч 8 шахмат та©тасында барлы© ©ара шаршы та­далып алынатын-
дай жєне єрбiр жолмен єрбiр баЎанада дєл 7 шаршы та­далып алынатын-
дай 56 єр тірлi шаршыны ©анша тєсiлмен та­дап алуЎа болады?
34

Есептi­ шарттары
11 сынып
11.1. f (x) = cos
2
x + sin x
функциясыны­ мєндер облысын табы­ыз.
11.2. ABC ішбґрышында M ніктесi  BC ©абырЎасыны­ ортасы. BE //
AM
жєне BE =
1
2
AM
болатындай, ABC ішбґрышыны­ сыртында
BCDE
параллелограммы салынЎан. EM тізуi AD кесiндiсiн ©а© ортасы-
нан б°летiнiн дєлелде­iз.
11.3. n  натурал сан болсын. 2
2
n
+ 2
2
n?1
+ 1
саныны­ кем дегенде n єр
тірлi жай б°лгiшi болатынын дєлелде­iз.
11.4. ‰абырЎаларыны­ ґзынды©тары натурал сан жєне периметрi 40 бо-
латын, єр тірлi доЎалбґрышты ішбґрыштарды­ санын табы­ыз.
11.5.
?
2x
2
+ 2x + 3 +
?
2x
2
+ 2 =
?
3x
2
+ 2x ? 1 +
?
x
2
+ 6
те­деуiн на©ты
сандар жиынында шешi­iз.
11.6. 8 Ч 8 шахмат та©тасында барлы© ©ара шаршы та­далып алынатын-
дай жєне єрбiр жолмен єрбiр баЎанада дєл 7 шаршы та­далып алынатын-
дай 56 єр тірлi шаршыны ©анша тєсiлмен та­дап алуЎа болады?
35

2015-2016 о©у жылы
2015-2016 о©у жылы
8 сынып
8.1. 9n саныны­ барлы© цифрлары 1-ге те­ болатындай е­ кiшi натурал
n
санын табы­ыз.
8.2. Сатушы дійсенбi кінi тауар баЎасын x%-Ўа к°тердi. Сатылым тісiп,
ол сєрсенбi кінi тауар баЎасын y%-Ўа тісiрдi, нєтижесiнде баЎа °зiнi­ бґры-
нЎы ©алпына келдi.
1
y
?
1
x
шамасыны­ мєнiн табы­ыз.
8.3. ABCD трапециясында BC табаныны­ ґзындыЎы 10, AD табаныны­
ґзындыЎы 3, CD = 7 жєне ?ADC = 140
?
. ?ABC бґрышын табы­ыз.
8.4. ђзiнi­ цифрларыны­ к°бейтiндiсiнi­ жєне цифрларыны­ ©осындыс-
ыны­ ©осындысына те­ барлы© екi та­балы натурал сандарды табы­ыз.
Ескертпе: Осындай санЎа мысал, 19 = 1 · 9 + 1 + 9.
8.5. ABC ішбґрышында ?A бґрышы доЎал жєне AB = AC. C  AM
кесiндiсiнi­ ортасы болатындай M ніктесi алынЎан. AM кесiндiсiне жір-
гiзiлген орта перпендикуляр AB тізуiн P ніктесiнде ©ияды. P M жєне
BC
тізулерi перпендикуляр екенi белгiлi. AP M  те­©абырЎалы ішбґрыш
екенiн дєлелде­iз.
8.6. A жєне B ойын ойнайды. љр жірiсте кезегi келген ойыншы 31-ден кi-
шi натурал сан айту керек жєне ол сан бґрын айтылЎан сандарды­ еш©ай-
сысына те­ болмау керек жєне бґрын айтылЎан сандарды­ еш©айсысымен
1-ден ілкен орта© б°лгiшi болмау керек. Осыдан кейiн жірiс келесi ойын-
шыЎа келедi. Кiм жірiс жасай алмайды, сол ґтылады. A бастайды. ‰ай
ойыншыда ґтыс стратегиясы бар?
9 сынып
9.1. Трапецияны­ орта сызыЎы оны­ ауданын 5 : 7 ©атынасында б°ледi.
Трапецияны­ табандарыны­ ©атынасын табы­ыз.
9.2. Екi шахматшы бiр бiрiмен бiрнеше партия ойнады. Же­iске, те­
тіскенге жєне ґтылыс©а ойыншыЎа сєйкесiнше 4 ґпай, 2 ґпай жєне 1
36

Есептi­ шарттары
ґпай берiледi. Ойыншыларды­ ґпайларыны­ ©осындысы 170 ґпай болды.
Же­iмпаз дєл 90 ґпай алуы мімкiн бе?
9.3.
 2x
2
+ y
2
= 4,
2xy ? 2x = ?5 те­деулер жійесiн на©ты сандар жиынында шешi­iз.
9.4. a =
p
9 ?
?
77 ·
?
2 ·
?
11 ?
?
7

 · 9 +
?
77


саныны­ бітiн екенiн
дєлелде­iз.
9.5. ABIJ шаршысы ©абырЎасы 1-ге те­ ABCDEF GH дґрыс сегiзбґрыш-
ты­ iшiнде жатыр. CJ кесiндiсiнi­ ґзындыЎын табы­ыз.
9.6. A жєне B ойын ойнайды. љр жірiсте кезегi келген ойыншы 31-ден кi-
шi натурал сан айту керек жєне ол сан бґрын айтылЎан сандарды­ еш©ай-
сысына те­ болмау керек жєне бґрын айтылЎан сандарды­ еш©айсысымен
1-ден ілкен орта© б°лгiшi болмау керек. Осыдан кейiн жірiс келесi ойын-
шыЎа келедi. Кiм жірiс жасай алмайды, сол ґтылады. A бастайды. ‰ай
ойыншыда ґтыс стратегиясы бар?
10 сынып
10.1. 2
?
x +
?
1 ? 4x = 1
те­деуiн на©ты сандар жиынында шешi­iз.
10.2. (a, 20) = b, (b, 15) = c жєне (a, c) = 5 ©атынастарын ©анаЎаттанды-
ратын барлы© натурал (a, b, c) іштiктерiн табы­ыз. Мґнда (k, l) k жєне l
сандарыны­ е­ ілкен орта© б°лгiшi.
10.3. ‰абырЎасы 1-ге те­ ABCD шаршысына сырттай сызылЎан ше­бер-
дi­ BC доЎасынан M ніктесi алынЎан. AM жєне BD кесiндiлерi P нік-
тесiнде, ал DM жєне AC кесiндiлерi  Q ніктесiнде ©иылысады. AP QD
т°ртбґрышыны­ ауданын табы­ыз.
10.4. Терiс емес x, y сандары x+y 6 1 те­сiздiгiн ©анаЎаттандырады. 8xy 6
5x (1 ? x) + 5y (1 ? y)
те­сiздiгiн дєлелде­iз. Те­дiк ©ашан орындалады?
10.5. ABCD д°­ес т°ртбґрышында ABC, BCD, CDA жєне DAB іш-
бґрыштарыны­ аудандары те­. ABCD  параллелограмм екенiн дєлел-
де­iз.
37

2015-2016 о©у жылы
10.6. Та©тада 11 жєне 13 сандары жазылЎан. Бiр жірiсте ©андай да бiр
та©тада жазылЎан екi єр тірлi санны­ ©осындысына те­ санды жазуЎа
болады. Бiрнеше жірiстен кейiн та©тада 2015 санын алуЎа бола ма?
11 сынып
11.1.
Кез
келген
a, b, c, d
бітiн
сандары
ішiн
abcd a
2
? b
2


a
2
? c
2


a
2
? d
2


b
2
? c
2


b
2
? d
2


c
2
? d
2


саныны­
7
-ге б°лiнетiнiн дєлелде­iз.
11.2. ABC ішбґрышында келесi шарттар орындалады: AB = 5, BC = 10
жєне ?ABC = 90
?
. DEF G  шаршы, оны­ D жєне E т°белерi BC кесiн-
дiсiнде жатады, F т°бесi AC кесiндiсiнде жатады, ал G т°бесi центрi A
ніктесi болатын жєне B ніктесi ар©ылы °тетiн ше­бердi­ бойында жата-
ды. DEF G ауданын табы­ыз.
11.3. x, y о­ сандары xy = 4 ©атынасын ©анаЎаттандырады.
1
x + 3
+
1
y + 3
°рнегiнi­ мімкiн болар е­ ілкен мєнiн табы­ыз.
11.4.
p
2 +
?
3

r
+
p
2 ?
?
3

r
= 14
те­деуiн рационал сандар жиынын-
да шешi­iз.
11.5. Та©тада 11 жєне 13 сандары жазылЎан. Бiр жірiсте ©андай да бiр
та©тада жазылЎан екi єр тірлi санны­ ©осындысына те­ санды жазуЎа
болады. Бiрнеше жірiстен кейiн та©тада 2015 санын алуЎа бола ма?
11.6. ABCD параллелограммыны­ диагональдары O ніктесiнде ©иылыса-
ды, ал ?DAC жєне ?DBC бґрыштарыны­ биссектрисалары T ніктесiнде
©иылысады.
?
?
?
T D +
??
T C =
??
T O
екенi белгiлi. ABT ішбґрышыны­ барлы©
бґрыштарын табы­ыз.
38

Есептi­ шарттары
2016-2017 о©у жылы
8 сынып
8.1. ђтiрiкшiлер мен серiлер аралында математикадан тестiлеудi 100 о©у-
шы °ттi, оларды­ єр©айсысы єр©ашанда шынды© айтатын серiлер неме-
се єр©ашанда °тiрiк айтатын °тiрiкшiлер. Тестiлеуден кезекпен шыЎа тґра
алЎаш©ы 60 о©ушы келесiнi айтты: ѕДєрiсханада ©алЎан о©ушыларды­ iшi-
нен °тiрiкшiлер серiлерден к°пї. ‰анша серi тестiлеуден °ттi?
8.2. ? амалы барлы© бітiн n саны ішiн келесi тірмен аны©талЎан, ?n =
n ? 1
, егер n?та© сан, жєне ?n = n
2
? 1
, егер n?жґп сан болса. Мысалы,
?15 = 14
, ? (?6) = 35. ? (?n) = 3 те­дiгi ©андай бітiн n сандар ішiн
орындалады?
8.3. ABC ішбґрышыны­ A т°бесiнен B жєне C т°белерiнi­ биссектриса-
ларына сєйкесiнше AP жєне AQ перпендикулярлары тісiрiлген.
a) P Q кесiндiсi ABC ішбґрышыны­ BC ©абырЎаларына параллель екенiн
дєлелде­iз.
б) Егер BC = a, AC = b, AB = c болса, P Q кесiндiсiнi­ ґзындыЎын табы-
­ыз.
8.4. љр©айсысы бас©а дєл т°ртеуiн суретке тісiре алатындай, ала­Ўа алты
суретке тісiрушiлердi орналастыруЎа бола ма? (A жєне B суретке тісiру-
шiлерi бiр-бiрiн суретке тісiре алады, егер AB кесiндiсiнде бас©а суретке
тісiрушi жо© болса.)
8.5. “ш сан n
2
?10n+23, n
2
?9n+31
жєне n
2
?12n+46
жай сан болатындай
барлы© натурал n санын табы­ыз.
8.6. Кез келген екi апельсиннi­ арасында кем дегенде екi алма болатын-
дай, ©атарЎа 4 апельсин мен 15 алманы ©анша єртірлi тєсiлмен орналас-
тыруЎа болады (барлы© апельсиндер жєне алмалар бiрдей)?
9 сынып
9.1. На©ты x, y, z сандары ішiн
1
x
+
1
y
+
1
z
= 0
те­дiгi орындалады.
xy
z
2
+
yz
x
2
+
zx
y
2
= 3
те­дiгiн дєлелде­iз.
39

2016-2017 о©у жылы
9.2. ABCD шаршысыны­ AB ©абырЎасынан AB : AE =
?
2
болатындай
E
ніктесi алынЎан. BED ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бер, B нік-
тесiнен °тетiн BD тізуiне перпендикуляр тізудi F ніктесiнде ©ияды. ABF
ішбґрышы те­ бійiрлi екенiн дєлелде­iз.
9.3. Д°­гелек пiшiндi аралды­ жаЎалы© сызыЎыны­ бойында 2016 шам-
шыра© орналас©ан. ”©ыпсыз шенеунiк ©ар©ынды ©ызмет iстеп жіргенiн
к°рсеткiсi келiп, кінде тєуекелдеп іш ©атар орналас©ан немесе бiреуден
кейiн орналас©ан іш шамшыра©ты­ кійiн ауыстырады (яЎни ABABA тiз-
бегiнде ол A шамшыра©тарыны­ кійiн ауыстырады). Егер барлы© шам-
шыра© °шiп ©алса, онда шенеунiк жґмысынан босатылады. Егер бiр ме-
зетте бiр Ўана шамшыра© жанбаЎаны оны­ есiнде болса, оЎан °з орны ішiн
©ор©у керек па? (Шамшыра©ты­ кійiн °згерту деген, ол шамшыра© °шiп
тґрса оны ©осу немесе керiсiнше).
9.4. Ше­берге iштей сызылЎан ABCD т°ртбґрышыны­ AD ©абырЎасы-
ны­ ортасы болатын M ніктесi BC ©абырЎасына жіргiзiлген орта перпен-
дикулярда жатыр. M ніктесi AB жєне CD доЎаларыны­ ортасынан бiрдей
©ашы©ты©та екенiн дєлелде­iздер.
9.5. x
2
+ y
2
= 2x + xy + 2y
те­деуiн ©анаЎаттандыратын барлы© бітiн (x, y)
жґптарын табы­ыз.
9.6. Iрi аудармашылар конференциясында кейбiрi бiрнеше тiл бiледi. ‰а-
за© тiлiн 2016 аудармашы, орыс тiлiн ?2016 аудармашы жєне аЎылшын
тiлiн 2016 аудармашы бiлетiнi белгiлi. p?ны­ ©андай мєндерiнде, осы топ-
ты­ iшiнен єр©ашанда дєл p ©аза©ша бiлетiн, дєл p орысша бiлетiн жєне
дєл p аЎылшынша бiлетiн бiрнеше аудармашыны та­дауЎа болады?
10 сынып
10.1. (1 + x) 1 + x
2


1 + x
4

 ... 1 + x
2048


к°пмішелер к°бейтiндiсiн стан-
дартты© тірде жазы­ыз (a
n
x
n
+ a
n?1
x
n?1
+ ... + a
1
x + a
0
тірiнде).
10.2. ABCD шаршысыны­ AB ©абырЎасынан AB : AE =
?
2
болатын-
дай E ніктесi алынЎан. BED ішбґрышына сырттай сызылЎан ше­бер, B
ніктесiнен °тетiн BD тізуiне перпендикуляр тізудi F ніктесiнде ©ияды.
ABF
ішбґрышы те­ бійiрлi екенiн дєлелде­iз.
40

Есептi­ шарттары
10.3. Д°­гелек пiшiндi аралды­ жаЎалы© сызыЎыны­ бойында 2016 шам-
шыра© орналас©ан. ”©ыпсыз шенеунiк ©ар©ынды ©ызмет iстеп жіргенiн
к°рсеткiсi келiп, кінде тєуекелдеп іш ©атар орналас©ан немесе бiреуден
кейiн орналас©ан іш шамшыра©ты­ кійiн ауыстырады (яЎни ABABA тiз-
бегiнде ол A шамшыра©тарыны­ кійiн ауыстырады). Егер барлы© шам-
шыра© °шiп ©алса, онда шенеунiк жґмысынан босатылады. Егер бiр ме-
зетте бiр Ўана шамшыра© жанбаЎаны оны­ есiнде болса, оЎан °з орны ішiн
©ор©у керек па? (Шамшыра©ты­ кійiн °згерту деген, ол шамшыра© °шiп
тґрса оны ©ос немесе керiсiнше).
10.4. Натурал сандарды­ квадратыны­ бiрлiк цифры 6 болса, онда осы
квадратты­ онды© цифры та© болатынын дєлелде­iз жєне керi тґжырым-
ды дєлелде­iз.
10.5. Бiржа©ты ©аласында єрдайым жол жґмыстары жірiп жатады. љр
айды­ бiрiншi кінi жол бас©ару ©ызметi ©аланы­ кейбiр к°шелерiн та­дап,
ол к°шелердi­ екiншi б°лiгiн ж°ндеп, бiржа©ты ©озЎалыс енгiзедi, ал ай-
ды­ со­ында осы жолдарды ©айтадан ашады. Барлы© амалдарды ©аланы­
iшiндегi кез келген екi ©иылысты­ арасында жол болып ©алатындай жа-
сайды. љр 10 жыл сайын ©аланы­ жолды© т°семi толыЎымен жа­артыла-
тыны белгiлi. Кез келген екi ©иылысты­ арасында жол болып ©алатындай,
бiр уа©ытта ©аланы­ єр к°шесiнде бiржа©ты ©озЎалыс енгiзуге болатынын
дєлелде­iз.
10.6. Бікiл x, y ? R, y 6= 0 ішiн yf
 f (x)
y
+ 1

= x + f (y)
©атынасын
©анаЎттандыратын барлы© f : R ? R функциясын табы­ыз.
11 сынып
11.1. Кез келген д°­ес бесбґрышты­ бес диагоналiнi­ iшiнен, олардан іш-
бґрыш ©ґруЎа болатындай єр©ашанда ішеуiн та­дауЎа болатынын дєлел-
де­iз.
11.2. ‰осындыны табы­ыз:
S = sin
6
1
0
+ sin
6
2
0
+ sin
6
3
0
+ . . . + sin
6
87
0
+ sin
6
88
0
+ sin
6
89
0
41

2016-2017 о©у жылы
11.3. Натурал сандар жиынында те­деудi шешi­iз:
(m + 1)! + (n + 1)! = m
2
n
2
11.4. x
2
+ y
2
, x
3
+ y
3
жєне x
4
+ y
4
сандары рационал екенi белгiлi. x + y
саны мiндеттi тірде рационал бола ма?
11.5. ABC ішбґрышы ? ше­берiне iштей сызылЎан. Осы ше­бердi­ AD
хордасы ABC ішбґрышыны­ биссектрисасы болады жєне BC кесiндiсiн
L
ніктесiнде ©ияды. ? ше­берiнi­ DE хордасы AC ©абырЎасына перпен-
дикуляр жєне оны K ніктесiнде ©ияды. Егер
BL
LC
=
1
2
болса, онда
AK
KC
©атынасын табы­ыз.
11.6. Бікiл x, y ? R, y 6= 0 ішiн yf
 f (x)
y
+ 1

= x + f (y)
©атынасын
©анаЎттандыратын барлы© f : R ? R функциясын табы­ыз.
42

Есептi­ шарттары
2017-2018 о©у жылы
8 сынып
8.1. Те­деудi ©анаЎаттандыратын барлы© m жєне n натурал сандарын
табы­ыз: 1! + 2! + . . . + n! = m
2
.
8.2. 5 ©ызыл жєне 6 а© болатын 11 шар бар. Бiр ©ызыл жєне бiр а© шар
радиоактивтi екенi белгiлi. Кез келген шарлар тобы ішiн, оны­ ©ґрамында
кемiнде бiр радиоактивтi шар бар ма екенiн детектормен тексерiп бiлуге
болады (бiра© ©анша екенi белгiсiз). Е­ к°п дегенде 6 тексеру ар©ылы ра-
диоактивтi шарларды­ екеуiн де ©алай табуЎа болады?
8.3. ABC тiк ішбґрышыны­ AB гипотенузасынан AC = CE болатындай
E
ніктесiн алынды. BCE ішбґрышыны­ CL жєне EK биссектрисалары I
ніктесiнде ©иылысады. IKC ішбґрышы те­бійiрлi екенi белгiлi. CL : AB
©атынасын табы­ыз.
8.4. Егер x
2
+ 3x + 2

 P (x) + 9x + 10 = 2x
4
+ 9x
3
+ 8x
2
екенi белгiлi болса,
P (x) = ax
2
+ bx + c
квадрат ішмішелiгiн табы­ыз.
8.5. ABC ішбґрышы берiлген. AB ©абырЎасында K, ал CK кесiндiсiн-
де L ніктелерi AK = KL =
1
2
KB
болатындай та­далды. ?CAB = 45
?
,
?CKB = 60
?
екенi белгiлi. AL = BL = CL болатынын дєлелде­iз.
8.6. 2017 санын, °спейтiн ретпен орналас©ан жєне бiрiншi мен со­Ўы ©о-
сылЎышты­ айырмашылыЎы 1-ден аспайтын, бiрнеше ©осылЎышты­ ©о-
сындысы ретiнде неше тєсiлмен к°рсетуге болады?
9 сынып
9.1. 5 ©ызыл жєне 6 а© болатын 11 шар бар. Бiр ©ызыл жєне бiр а© шар
радиоактивтi екенi белгiлi. Кез келген шарлар тобы ішiн, оны­ ©ґрамында
кемiнде бiр радиоактивтi шар бар ма екенiн детектормен тексерiп бiлуге
болады (бiра© ©анша екенi белгiсiз). Е­ к°п дегенде 5 тексеру ар©ылы ра-
диоактивтi шарларды­ екеуiн де ©алай табуЎа болады?
43

2017-2018 о©у жылы
9.2. Барлы© x ? R ішiн P (Q(x)) = x
4
? 5x
2
+ 7
жєне Q (x ? 1) = x
2
? 2x ? 1
болатын, барлы© P (x) жєне Q(x) к°пмішелiктерiн табы­ыз.
9.3. Алды­ызда ©абырЎалары 10 см, 10 см жєне 20 см болатын тiк бґрыш-
ты параллелепипед тґр дейiк (мґндай жаЎдай, мысалы, ©абырЎасы 10
см екi кубикты ©ос©анда пайда болады). Параллелепипедтi­ бiр т°бесiне
©а­©ызды (©ызыл ©о­ыз) отырЎызайы©. Ол ґш©ысы келмей, параллелепи-
педтi­ бетiмен жіредi жєне барлы© жа©©а бiрдей жылдамды©пен ©озЎала-
ды деп есептейiк. ‰ан©ызЎа, параллелепипедтi­ ©арсы т°бесiне дейiн ©а-
лайша тез баруына болады жєне ол, осы жолмен, неше сантиметр жіредi?
9.4. ABC ішбґрышы берiлген. AB ©абырЎасында K, ал CK кесiндiсiн-
де L ніктелерi AK = KL =
1
2
KB
болатындай та­далды. ?CAB = 45
?
,
?CKB = 60
?
екенi белгiлi. AL = BL = CL болатынын дєлелде­iз.
9.5. A =
?
x
2
+ x ? 6 +
?
?x
2
? x + 6
|x ? 2|
+ (5 + x)
2017
саны бітiн сан болып
табылады. A саныны­ со­Ўы екi цифрын табы­ыз.
9.6. 2017 санын, °спейтiн ретпен орналас©ан жєне бiрiншi мен со­Ўы ©о-
сылЎышты­ айырмашылыЎы 1-ден аспайтын, бiрнеше ©осылЎышты­ ©о-
сындысы ретiнде неше тєсiлмен к°рсетуге болады?
10 сынып
10.1. A =
3
r
24 +
3
q
24 +
3
p
. . . +
3
?
24
ішiн [A]-ны есепте­iз. A саны 2017
кiрiктiрiлген тібiрден тґрады. (МґндаЎы [x], x-тен аспайтын е­ ілкен бітiн
санды бiлдiредi. Мысалы: [12, 6] = 12, [?3, 75] = ?4.)
10.2. f(x) = x
2
? 1
те­деуiн шешi­iз, мґндаЎы f(x)  функциясы, R-де
аны©талЎан жєне барлы© x ? R ішiн мына шартты ©анаЎаттандырады:
3f (x) + f (?x) =
(
x,
x 6 0
5x,
x > 0
10.3. ABCD ішiн AB = BD = AD, BC = 5, CD = 12, ?BCD = 30
?
екенi
белгiлi. AC-ны табы­ыз.
44

Есептi­ шарттары
10.4. Квадратты неше тєсiлмен іш, °зара ґ©сас тiкт°ртбґрыштарЎа б°лу-
ге болады? Ескерту, егер екi тiкт°ртбґрышты­ ©абырЎаларыны­ ©атына-
сы екiншiсiнiкiмен бiрдей болса, олар ґ©сас болады. Бґру ар©ылы немесе
квадратты аудару ар©ылы алынЎан тєсiлдер бiрдей болып саналады.
10.5. Коэффициенттерi бітiн болатын P (x) жєне Q(x) квадрат ішмі-
шелiктерi берiлген. R(8) · R(12) · R(2017) = P (8) · P (12) · P (2017) · Q(2017) ·
Q(12) · Q(8).
болатындай, бітiн коэффициенттi жєне дєрежесi 2-ден аспай-
тын R(x) к°пмішелiгi табылатынын дєлелде­iз.
10.6. n Ч 6 кестесiнi­ (n жол жєне 6 баЎан) єр ґяшыЎы іш тістi­ бiрiне
боялЎан. Кез-келген екi жол ішiн, сєйкес орындарда тґрЎан (бiрiншi мен
бiрiншi, екiншi мен екiншi, т.с.с) ґяшы©тарыны­ тістерiн салыстырды. љр
жґп ішiн бiрдей болЎан ґяшы©тарды­ саны не 0 не 2 болды. Бґл кестенi­
жолдарыны­ саны е­ к°п дегенде ©анша бола алады?
11 сынып
11.1. Егер:
a
Z
0
[x]dx = 2017
болса, a-ны табы­ыз. (МґндаЎы [x], x-тен ас-
пайтын е­ ілкен бітiн санды бiлдiредi. Мысалы: [12, 6] = 12, [?3, 75] = ?4.
11.2. f (2 ? x) = g (x + 1) те­деуiн шешi­iз, мґндаЎы f(x) жєне g(x) функ-
циялары, R-да аны©талЎан жєне барлы© x ? R. ішiн мына шарттарды ©а-
наЎаттандырады: 2f (x + 1)?g (3 ? x) = 2x
2
+ 11x ? 4, f (3 ? x) + g (x + 1) =
x
2
? 5x + 19.
11.3. ABCD т°ртбґрышы ше­берге iштей сызылЎан. AC жєне BD диаго-
налдары перпендикуляр жєне O ніктесiнде ©иылысады. O ніктесiнен AB
©абырЎасына OP перпендикуляры жіргiзiлдi. OP тізуi CD ©абырЎасын a
ніктесiнде ©ияды. Егер AD = 2, AB = 1 жєне ?CDB = 30
?
болса, OQ-ды
табы­ыз.
11.4. Айбек дґрыс алтыбґрышты­ iшiне бiр ніктенi белгiлеп, оны кесiн-
дiлермен єр т°бемен ©осты. АлынЎан алты ішбґрышты кезекпен екi тіс-
ке бояды: ©ызыл жєне жасыл. ‰ызыл ішбґрыштарды аудандарыны­ ©о-
сындысы жасыл ішбґрыштарды­ аудандарыны­ ©осындысына те­ екенiн
дєлелде­iз.
45

2017-2018 о©у жылы
11.5. Коэффициенттерi бітiн болатын P (x) жєне Q(x) квадрат ішмі-
шелiктерi берiлген. R(8) · R(12) · R(2017) = P (8) · P (12) · P (2017) · Q(2017) ·
Q(12) · Q(8)
болатындай, бітiн коэффициенттi жєне дєрежесi 2-ден аспай-
тын R(x) к°пмішелiгi табылатынын дєлелде­iз.
11.6. Аяз атада, жа­а жылды© сыйлы© ретiнде екi єртірлi ©алаЎа жi-
берiлетiн, 674 алма, 674 апельсин жєне 674 мандарин бар. Аяз ата бґл
жемiстердi, єр ©орапта жемiстердi­ іш тірi де кездесетiндей жєне єр ©о-
раптаЎы алмаларды­ саны, апельсиндердi­ саны, мандариндердi­ санда-
рыны­ к°бейтiндiсi бiрдей болатындай, екi ©орап©а салуды шештi. Ол оны
неше тєсiлмен жасай алады?
46

Есептi­ шешiмдерi
Есептi­ шешiмi
2005-2006 о©у жылы
8 сынып
8.1. 1. 6 Ч 6 кестенi к°рсетiлгендей етiп 2 Ч 2 шаршыларЎа б°лейiк. (1-
сурет) 1 Ч 4 жєне 4 Ч 1 тiкт°ртбґрыштарындаЎы сандар ©осындысы жґп
болЎанды©тан, к°ршi тґрЎан екi 2Ч2 шаршыларындаЎы сандар ©осындысы
да жґп (°йткенi, екi сондай тiкт°ртбґрыш©а б°лiнедi).
Оларды A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
, A
7
, A
8
жєне A
9
деп белгiлейiк.
2. a) A
4
пен A
7
, A
2
мен A
5
, A
3
пен A
6
,
A
8
бен A
9
жґптарынан олардаЎы сандар ©о-
сындысы жґп екенi шыЎады. Барлы© сан ©о-
сындысы та© болЎанды©тан, A
1
-дегi сандар
©осындысы та© болады. Тура солай A
3
, A
7
жєне A
9
ішiн дєлелденедi.
є) Тура солай A
1
мен A
4
, A
7
мен A
8
,
A
9
бен A
6
, A
3
пен A
2
-нi ©арастырса© A
5
-тегi
©осынды та© екенi шыЎады.
б) A
1
мен A
2
-ге ©араса©, ©осындысы
жґп, A
1
-дегi ©осынды та©, онда A
2
-де де
та©. Тура солай A
4
, A
6
жєне A
8
ішiн дєлел-
денедi.
3. 2-пункттен єрбiр 2 Ч 2 шаршыда ©о-
сынды та©, онда осындай шаршыда барлы©
сан жґп бола алмайды. Онда єрбiр шаршы-
да кемiнде бiр та© сан болады. Бґдан жалпы
кемiнде тоЎыз та© сан керек екенi шыЎады.
4. ”сынылЎан мысалда, (2-сурет) єрбiр
1 Ч 4
, 4 Ч 1 тiкт°ртбґрышында сандар ©о-
сындысы не 2, не 0; ал жалпы ©осынды 9.
Онда есеп шарты орындалады.
47
1-?????
2-
?????

2005-2006 о©у жылы
ABCD
тiкт°ртбґрыш болЎанды©тан,

?BAC + ?BCA = 180
0
? ?ABC = 90
0
?M AC + ?LCA = 180
0
? ?AP C = ?MP C = 30
0
,
онда
?BAM + ?BCL = 90
0
? 30
0
= 60
0
.
 4LDA = 4LCB,
4M DC = 4M AB, °йткенi

LA = LB, AD = BC, ?LAD = ?LBC = 90
0
M B = M C, AB = DC, ?ABM = ?DCM = 90
0
Осыдан шыЎады: ?LDA + ?MDC = ?LCB + ?MAB = 60
0
.
Сонды©тан ?LDM = ?ADC ? ?LDA ? ?MDC = 90
0
? 60
0
= 30
0
.
Жауабы: ?LDM = 30
0
.
8.3. 79
26
< 81
26
= 3
4104
< 3
105
= (3
5
)
21
= 243
21
< 244
21
Жауабы: 244
21
ілкен.
8.4. Табылады деп ойлайы©.
1.
4242 101, 101
- жай сан, онда бiр жа©шадаЎы ©осынды 101-ге б°лiнедi.
Жалпылы©ты жоЎалтпай, сол ©осынды a + b болсын. a мен b натурал сан-
дар болЎанды©тан, a + b > 101.
2.
(b + c)(a + c) > (b + 1)(a + 1) = ab + a + b + 1 > a + b > 101.
Онда (a + b)(b + c)(a + c) > 101
2
> 42 · 101 = 4242.
Бґл берiлген те­дiк-
ке ©айшы.Сонды©тан те­дiктi ©анаЎаттандыратын a, b, c натурал сандары
табылмайды.
Жауабы: табылмайды.
8.5.
EE
0
k BD, E
0
? AC
болатындай E
0
ніктесiн алайы©, онда
DE
0
DC
=
BE
BC
=
2
2 + 3
(Фалес теоремасынан),
AF
F E
=
AD
DE
0
=
AD
DC
DE
0
DC
=
3
4
2
5
=
15
8
.
DD
0
k AE, D
0
? BC
болатындай D
0
ніктесiн
48
8.2.

Есептi­ шешiмдерi
алайы©. Онда
ED
0
EC
=
AD
EC
=
3
3 + 4
(Фалес теоремасынан),
BF
F D
=
BE
ED
0
=
BE
EC
ED
0
EC
=
2
3
3
3+4
=
14
9
.
Сонды©тан
AF · BF
F E · F D
=
15
8
·
14
9
=
35
12
.
Жауабы:
35
12
.
8.6. 1. a
1
6 a
2
6 . . . 6 a
99
болатындай жєшiктердегi алмалар са-
нын a
1
, a
2
, . . . , a
99
деп белгiлейiк. Осы жєшiктердi a
1
, a
3
, . . . , a
97
жєне
a
2
, a
4
, . . . , a
98
топтарына б°лiп (та©-жґптылыЎы бойынша), a
99
- ды жеке
©арастырайы©.
2. Осы екi топтаЎы апельсиндер санын ©аратырайы©. Осы топты­ бiреуiн-
де апельсин саны екiншiсiнен аз емес. Сол топпен ©оса a
99
- ды алайы©.
Онда осы 50 жєшiкте апельсиндер саны ©алЎан 49 - ынан аз емес.
3. a) Осы топ a
1
, a
3
, . . . , a
97
жєне a
99
болса, онда a
99
> a
98
, a
97
>
a
96
, . . . , a
3
> a
2
, a
1
> 0 , онда осы 50 жєшiкте алмалар саны ©алЎан 49
- ынан кем емес.
є) Осы топ a
2
, a
4
, . . . , a
98
жєне a
99
болса, онда a
98
> a
97
, a
96
> a
95
, . . . , a
2
>
a
1
, a
99
> 0 , онда осы 50 жєшiкте алмалар саны ©алЎан 49 - ынан кем емес.
4. Екi жаЎдайда да есеп шарты орындалатындай 50 жєшiк та­далды.
9 сынып
9.1. xy ? x + y = 2006 ?? x(y ? 1) + y ? 1 = 2005 ?? (x + 1)(y ? 1) =
2005 = 1 · 2005 = 5 · 401
a). (x + 1)(y ? 1) = 1 · 2005 =? x = 0, y = 2006
є). (x + 1)(y ? 1) = 2005 · 1 =? x = 2004, y = 2
б). (x + 1)(y ? 1) = 5 · 401 =? x = 4, y = 402
в). (x + 1)(y ? 1) = 401 · 5 =? x = 400, y = 6
Жауабы: (x; y) : (0; 2006), (2004; 2), (4; 402), (400; 6).
Рис. 4: Caption
49
9.2. 1. O = AD ? BC болсын.
DC //AB
болЎанды©тан,
4ODC ? 4OAB
Онда
OD
OA
=
OC
OB
=
DC
AB
=
4
8
=
=
1
2
=? OD = DA = 3, OC = CB = 5
2. cos ?ODC =
OD
2
+ DC
2
? OC
2
2
· OD · DC
=

2005-2006 о©у жылы
=
3
2
+ 4
2
? 5
2
2 · 3 · 4
= 0.
Онда ?ODC = 90
0
3. E ? 4DOC-ны­ ?ODC жєне ?OCD -ны­ сыбайлас бґрыштарыны­
биссектрисаларыны­ ©иылысу ніктесi, онда E ? 4DOC-Ўа сырттай жа-
насатын ше­бер центрi. Онда OD, OC, DC-Ўа E?ден тісетiн биiктiктердi­
ґзынды©тары те­. Ол h болсын.
4.
?
?
?
?
?
S
ODEC
= S
ODE
+ S
OCE
=
OD · h
2
+
OC · h
2
S
ODEC
= S
ODC
+ S
EDC
=
3 · 4
2
+
DC · h
2
,
онда
h·
OD + OC ? DC
2
!
=
3 · 4
2
= 6,
яЎни h =
6 · 2
OD + OC ? DC
=
6 · 2
3 + 5 ? 4
=
12
4
= 3.
Сонды©тан S
CDE
=
DC · h
2
=
4 · 3
2
= 6.
Жауабы: S
CDE
= 6
9.3. (8 сынып, ќ3 есеп).
9.4. 1. b > 2ac =? b > 2ac + 1 =? 2b > 4ac + 2 > 4ac + 1. Онда ? 4ac >
?2b + 1,
яЎни b
2
? 4ac > b
2
? 2b + 1 = (b ? 1)
2
.D = b
2
? 4ac
болЎанды©тан , D-
бітiн сан.
2. b
2
> D > (b ? 1)
2
=? D
к°ршiлес екi санны­ квадраттарыны­ арасында,
онда b >
?
D > b ? 1
, °йткенi b ? N, b > 1. Осыдан
?
D
иррационал.
3.ax
2
+ bx + c = 0
те­деуiнi­ тібiрлерi x
1
, x
2
=
?b ±
?
D
2a
=
?b
2a
±
?
D
2a
.
Егер x
1
, x
2
-нi­ бiрi рационал болса, онда
?b
2a
±
?
D
2a
бiрi рационал,
?b
2a
рационал, онда ±
?
D
2a
рационал, бґдан шыЎатыны ±
?
D
рационал. Алайда
бґл 2-пунктпен ©айшы, онда барлы© тібiрлерi иррационал.
Ескерту: 1. Рационал саннан рационал санды азайтса©, не оЎан ©осса©,
рационал сан шыЎады. Шынымен,
p
1
q
1
±
p
2
q
2
=
p
1
q
2
± p
2
q
1
q
1
q
2
рационал.
Ескерту: 2. К°бейту мен б°лу ішiн де тура солай.
50

Есептi­ шешiмдерi
1.4BRA-да
RL
-биiктiк,
RA
=
AB, ?RAL = ?ABC = 60
0
. ?ARL =
?BAC = 90
0
? 60
0
= 30
0
.4RAL =
4ABC,
онда RL = AC = AQ
2. ?QAT = ?QAC + ?CAT = 90
0
=
?RLT ; RL = QA, ?AQT = 90
0
??QT A =
= 90
0
? ?LT R = ?LRT .Онда 4LRT =
4AQT =? T R = T Q
3. T K ? 4P T R дi­ биiктiгi.
4. QC ? P R = H, ?BHC = 180
0
?
?BCH ??HBC = 120
0
??BCH = 120
0
?
(180
0
? ?BCA ? ?ACQ) = 120
0
? (180
0
?
90
0
? 60
0
) = 120
0
? 30
0
= 90
0
=? QH ?
4P QR
-дi­ биiктiгi.
5. QH//T K =? 4RKT ? 4RHQ =?
KT
HQ
=
RT
RQ
=
RT
2RT
=
1
2
=? KT =
1
2
HQ
6.S
P RT
= P R ·
T K
2
= (P B + BR) ·
1
4
HQ =
BC + BA
4
· (HC +
CQ) =
sin 30
0
· BA + BA
4
· (HC + CQ) =
1
2
+ 1
4
· (sin 60
0
BC + CA) =
3
8
· (
?
3
2
sin 30
0
BA + sin 60
0
BA) =
3
8
·
?
3
2
(
1
2
· BA + BA) =
3
?
3
16
·
3
2
=
9
?
3
32
Жауабы: S
P RT
=
9
?
3
32
9.6. (8 сынып, ќ6 есеп).
10 сынып
10.1.
1. x = y = z = 1 :
3|a + b + c| = 3 =? |a + b + c| = 1(x, y, z
кез келген
болЎанды©тан, 1-дi ©оя аламыз);
2. x = 1, y = z = 0 :
|a| + |b| + |c| = 1
=
|a + b + c|
(жалпылы©ты
жоЎалтпай a > b > c болсын.) Онда (|a|+|b|+|c|)
2
= |a + b + c|
2
= (a + b + c)
2
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| = a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca
|ab| + |bc| + |ca| = ab + bc + ca
?
?
?
|ab| > ab
|bc| > bc
|ca| > ca
(°йткенi ab=|ab| немесе -|ab|), онда |ab|+|bc|+|ca|> ab+bc+ca, бiра©
51
9.5.

2005-2006 о©у жылы
те­дiк орындалады. Онда |ab| = ab, |bc| = bc, |ca| = ca.Онда a · b > 0, b · c >
0, a · c > 0,онда a-терiс болса, b мен c -о­ бола алмайды; a-о­ болса, b мен
c
-терiс бола алмайды; a = 0 болатын жаЎдайды кейiн ©арастырайы©.
3. x = 1, y = ?1, z = 0 :
|a?b|+|b?c|+|c?a| = 2 =? a?b+b?c+a?c =
2 =? a ? c = 1 =? a = c + 1
,
1). a-о­ болса, онда c > 0 =? a > 1, 1 > a + b + c > 1 + 0 + 0(b > 0), те­дiк
орындалады, онда a = 1, b = 0, c = 0(a > 0 =? b, c > 0 =? a + b + c > 0)
2) a?терiс болса, онда c = a ? 1, a < 0 ? c < ?1, b 6 a < 0 ? ?1 6
a + b + c < ?1
, бґл ©айшылы©.
3) a = 0 болса, онда c = ?1 ? b 6 a = 0 ? a + b + c < 0 ? a + b + c = ?1 ?
b = ?1 ? (a + c) = 0 ? a = 0, b = 0, c = ?1
4. a > c > b, b > c > a, b > a > c, c > a > b, c > b > a жаЎдайлары
ішiн де солай ©арастырамыз.
Жауабы: (1; 0; 0) , (0; 1; 0) , (0; 0; 1) , (0; 0; ?1) , (?1; 0; 0) , (0; ?1; 0)
10.2. (9 сынып, ќ 2 есеп).
10.3. 1. Евклид алгоритмiн ©олданайы©.
m + 4; m
2
+ 7


=
m + 4; m
2
+ 7 ? m (m + 4)


=
(m + 4; 7 ? 4m)
=
(m + 4; 7 ? 4m + 4 (m + 4)) = (m + 4; 7 + 16) = (m + 4; 23)
;
2.
m + 4
m
2
+ 7
- ©ыс©армайтын б°лшек, онда m + 4; m
2
+ 7


= 1,
мґнда
(a; b) =
Е“ОБ(a; b);
3. (1, 2 ішiн) (m + 4; 23) = 1 ? (m + 4) 6 23 ? m + 4 6= 23, 46, 69, 92 ?
m 6= 19, 42, 65, 88
;
4. ‰алЎан сандар ішiн m + 4 пен m
2
+ 7
°зара жай болады, °йткенi m + 4
пен 23 °зара жай.
Жауабы: 96 сан (100-ден аспайтын, єрi
m + 4
m
2
+ 7
©ыс©аратын б°лшек бо-
латындай барлыЎы 4 сан: 19,42,65,88).
10.4. (9 сынып, ќ4 есеп).
10.5.
“шбґрыш дегенiмiз  іш т°бесi бiр ті-
зу бойында жатпайтын фигура. Коорди-
наталары (x, y) , 1 6 x, y 6 4 болатын
ніктелер саны 4 · 4 = 16. Осы 16 нікте-
ден 3 нікте та­дауды­ мімкiндiгi C
3
16
=
16 · 15 · 14
3 · 2 · 1
= 560
.
52

Есептi­ шешiмдерi
Ендi бiр тізу бойында жататын 3 нікте та­дауды­ мімкiндiгi 10 · C
3
4
+ 4 =
10 · 4 + 4 = 44
, онда ішбґрыштар саны 560 ? 44 = 516.
Жауабы: 516.
10.6. 1. Екi шаршыны­ ©иылысуынан пайда болЎан тiкт°ртбґрышты­ ©а-
бырЎалары a жєне b болсын. AB//EF болЎанды©тан, BC //F G, онда ©иы-
лысулары тiкт°ртбґрыш. Демек a · b =
1
16
. O
1
ніктесiнен BC-Ўа параллель
тізу O
2
ніктесiнен CD-Ўа параллель тізумен Z ніктесiнде ©иылыссын.
Y G//O
1
Z; O
1
Z
T GH = Z
0
; O
1
Z
T CD = Y
0
. O
1
Z = O
1
Y
0
+ Y
0
Z =
=
1
2
+ Y
0
Z = Y
0
Z + ZZ
0
= Y
0
Z
0
= Y G =
1 ? a ? O
1
Z = 1 ? a; ZO
2
= 1 ? b
екенi
ґ©сас дєлелденедi.
O
1
O
2
=
p
O
1
Z
2
+ ZO
2
2
=
=
q
(1 ? a)
2
+ (1 ? b)
2
=
=
?
1 + a
2
? 2a + 1 + b
2
? 2b =
=
q
(a + b ? 1)
2
? 2ab + 1 =
=
q
(a + b ? 1)
2
?
2
16
+ 1 >
>
q
0 ?
2
16
+ 1 =
r 14
16
=
?
14
4
=
r
7
8
Те­дiк орындалатын кез: a + b ? 1 = 0 ? a + b = 1
a6=b
? a
2
+ ab = a ?
a
2
+
1
16
= a ?
? a
2
? a +
1
16
= 0; b
2
? b +
1
16
= 0 ? a, b =
1 ±
q
1 ?
4
16
2
=
1 ±
q
3
4
2
;
a =
1 +
q
3
4
2
; b =
1 ?
q
3
4
2
.
Жауабы:
r 7
8
.
11 сынып
11.1. n
2
< n
2
+ n + 5 < (n + 3)
2
?
не n
2
+ n + 5 = (n + 1)
2
;
не n
2
+ n + 5 =
53

2005-2006 о©у жылы
(n + 2)
2

n
2
+ n + 5 = (n + 1)
2
= n
2
+ 2n + 1 ? n = 4
n
2
+ n + 5 = (n + 2)
2
= n
2
+ 4n + 4 ? 3n = 1, n ? N ? n ? ?
Жауабы: n = 4.
11.2. 1. f (x) ізiлмейтiндiктен жєне f (x) пен f (x ? 1)-тердi­ о­-
терiстiктерi єр тірлi болЎанды©тан, f (x
1
) = 0, x ? 1 < x
1
< x
болатындай
x
1
табылады, мґнда x ? (g, h). Тура солай f (x
2
) = 0, x < x
2
< x + 1
болатындай x
2
табылады, онда x
2
? x
1
< (x + 1) ? (x ? 1) = x + 1 ? x + 1 =
2 ? x
2
? x
1
< 2
жєне x
1
< x < x
2
болЎанды©тан x
1
6= x
2
? 2 > x
2
? x
1
> 0.
2. x
1,2
=
?b ±
?
b
2
? 4ac
2a
=
?b
2a
+
±
?
b
2
? 4ac
2a
.
max
 ?b
2a
±
?
b
2
? 4ac
2a

=
?b
2a
+ max

±
?
b
2
? 4ac
2a

=
?b
2a
+
?
b
2
? 4ac
2
max

±
1
a

=
?b
2a
+
?
b
2
? 4ac
2 |a|
.
Онда: x
2
=
?b
2a
+
?
b
2
? 4ac
2 |a|
,
x
1
=
?b
2a
?
?
b
2
? 4ac
2 |a|
? 2 > x
2
? x
1
=
?
b
2
? 4ac
|a|
> 0 ? 2 |a| >
p
b
2
? 4ac > 0 ?

b
2
> 4ac
4a
2
> b
2
? 4ac орындалу
©ажет.
3. Егер со­Ўы шарт орындалса, есеп шарты орындалатынын дєлелдейiк.

b
2
> 4ac
4a
2
> b
2
? 4ac
? 2 > x
2
? x
1
> 0 ? g = max (x
1
; x
2
? 1) , h =
min (x
2
; x
1
+ 1) ,
кез келген жаЎда йда g < h. x ? (g; h) ішiн x ? 1 < h ? 1 =
min (x
2
; x
1
+ 1) ? 1 =
= min (x
2
? 1; x
1
) 6 x
1
? x ? 1 < x
1
, тура солайша x + 1 > x
2
?
f (x) f (x ? 1) < 0
жєне f (x) f (x + 1) < 0.
Жауабы:

b
2
> 4ac
4a
2
> b
2
? 4ac болатын
f (x)
-тердi­ барлыЎы.
54

Есептi­ шешiмдерi
1. CA-ны­ ортасын симметрия
центрi ©ылып алып, P -Ўа сєйкес P
0
алайы©. Онда ?CP
0
A = 120
0
, BP
0
=
P D, P
0
D = BP ;
°йткенi B мен D, C
мен A бiр бiрiне сєйкес келедi. Онда
?P
0
DA = ?P BC .
2.CP
T P
0
D = X.
?CBA + ?CP A =
180
0
;
?CP
0
A + ?CDA = 180
0
?
A, B, C, P
? ?
1
;
A, D, C, P
0
? ?
2
? ?P
0
CX =
?P
0
CA +
?ACP = ?P
0
DA + ?ABP =
=
?P BC + ?P BA = 60
0
;
?CP
0
D = ?CAD =
60
0
CD = DC, ?ADC = 60
0

 ?
?P
0
CX
?
те­ ©абырЎалы
? CX = CP
0
= AP ; CX = CP +P X ? P X = AP ?CP. P X = x, CP = y.
CA
-ны­ ортасын симметрия центрi ©ылып алып, P -Ўа сєйкес P
0
алайы©.
Онда ?CP
0
A = 120
0
, BP
0
= P D, P
0
D = BP ;
°йткенi B мен D, C мен A
бiр бiрiне сєйкес келедi. Онда ?P
0
DA = ?P BC.
2.CP
T P
0
D = X.
?CBA + ?CP A = 180
0
; ?CP
0
A + ?CDA = 180
0
?
A, B, C, P
? ?
1
; A, D, C, P
0
? ?
2
? ?P
0
CX = ?P
0
CA + ?ACP =
?P
0
DA + ?ABP =
=
?P BC
+
?P BA
=
60
0
;
?CP
0
D
=
?CAD
=
60
0
CD = DC, ?ADC = 60
0

 ? ?P
0
CX?
те­ ©абырЎалы
? CX = CP
0
= AP ; CX = CP + P X ? P X = AP ? CP. P X = x, CP = y.
3.?CXD = 180
0
? ?CXP
0
= 120
0
= ?CP
0
A; CX = CP
0
;
?XCD = 60
0
? ?ACP =
= ?P
0
CA ? ?XCD = ?P
0
CA ? XD = P
0
A = P C = y.
4.
?
?
?
3 = BP = DP
0
= P
0
X + XD = CP
0
+ XD = P A + XD = P X + CP + y =
= x + 2y
?P XD :
2
2
= x
2
+ y
2
? 2xy · cos 120
0
(
косинустар теоремасы)

(x + 2y)
2
= 3
2
4x
2
+ 4y
2
+ 4xy = 4 · 2
2
= 16
? ?3x
2
= ?7 ? x =
r
7
3
.
Жауабы: AP ? CP =
r 7
3
.
55
11.3.

2005-2006 о©у жылы
11.4. x
8
? x
5
+ x
2
? x + 1 =
1
2
x
8
? 2x
5
+ x
2

 +
1
2
x
8
+
1
2
x
2
? 2x + 1

 +
1
2
=
1
2
x
4
? x


2
+
1
2
x
8
+
1
2
(x ? 1)
2
+
1
2
> 0 + 0 + 0 +
1
2
=
1
2
.
11.5. 1.
a
1 + a
2
+ a
4
=
a
(a
2
+ 1)
2
? a
2
=
a
(a
2
+ a + 1) (a
2
? a + 1)
=
1
2 (a
2
? a + 1)
?
1
2 (a
2
+ a + 1)
.
2.
100
X
i=1
1
1 + i
2
+ i
4
=
100
X
i=1
1
2 (i
2
? i + 1)
?
100
X
i=1
1
2 (i
2
+ i + 1)
=
=
100
X
i=1
1
2 (i
2
? i + 1)
?
100
X
i=1
1
2 (i + 1)
2
? (i + 1) + 1

 =
=
1
2 (1 ? 1 + 1)
+
100
X
i=2
1
2 (i
2
? i + 1)
?
99
X
i=1
1
2 (i + 1)
2
? (i + 1) + 1

 ?
?
1
2 (101
2
? 101 + 1)
=
=
1
2
?
1
2 · 10101
=
10100
2 · 10101
=
5050
10101
.
Жауабы:
5050
10101
.
11.6. (10 сынып, ќ 6 есеп).
56

Есептi­ шешiмдерi
2006-2007 о©у жылы
8 сынып
8.1. 1. 523. . . алты та­балы саныны­ со­Ўы орындаЎы 3 цифрынан
©ґралЎан санды A деп °рнектейiк. Онда iзделiндi сан 523000 + A болады.
2. Белгiлi бiр сан 7, 8 жєне 9 санына б°лiнуi ішiн, ол 7 · 8 · 9 б°лiнуi ©ажет.
ђйткенi 7, 8 жєне 9 ©ос-©остан °зара жай: 7 · 8 · 9 = 504.
3. 1 мен 2-ден: 523000 + A = 504k ? 504 (k ? 1037) = 352 + A ? 352 + A =
504s,
мґнда k, s ? N ? A = 152 немесе 152+504, ©алЎан сандар іш та­балы
емес.
Жауабы: 523152; 523656.
8.2. Iзделiндi ©адам саны N болсын. љкесiнi­ бiр ©адамы d ґзынды© бол-
сын.
1. Есеп шартынан, єкесi бiр ©адам жасаЎанда, бала
7
6
©адам жасайды. Онда
єкесi N ©адам жасаЎанда, баласы
7
6
N
©адам жасайды.
2. Баласы 5 ©адам жасап, 3d ©ашы©ты© °тедi екен. Онда баланы­ бiр ©адам
ґзындыЎы
3
5
d
.
3. љкесi мен баласы жірiп °ткен жолдары кездескенде те­есетiнiн ескере-
йiк. Онда Nd = 30 ·
3
5
d +
7
6
N ·
3
5
d ?
9
30
N d = 18d ? N =
18 · 30
9
= 60
.
Жауабы: 60 ©адам.
8.3.
1. ?ABD = 180
0
? ?BAD ? ?ADB =
50
0
= ?ADB ? AB = AD.
2. ?CAD = ?CDA = ?ACD = 60
0
?
AC = AD
1. мен 2. пункттен AB =
AC.?ACB =
=
?ACB + ?ABC
2
=
= 90
0
?
?BAC
2
= 80
0
.
Жауабы: ?ACB = 80
0
.
57

2006-2007 о©у жылы
8.4. 5-ке б°лiнетiн 1000-нан кiшi сандар жиыны A болсын, ал 7-ге б°лiнетiн
1000-нан кiшi сандар жиыны B болсын. Онда iзделiндi сан x = 999 ? |A| ?
|B| + |A
T B| = 999 ?
 999
5

?
 999
7

+
 999
35

= 999 ? 199 ? 142 + 28 = 686.
Жауабы: 686.
8.5.
1
49
>
1
50
=
100
5000
=
1
5000
+
1
5000
+ ... +
1
5000
|
{z
}
100
рет
>
1
5001
+
1
5002
+...+
1
5100
.
Жауабы:
1
49
арты©.
8.6. 12 саны 2 цифрды­ ©осындысы тірiнде 7 рет Ўана °рнектеле алады.
12 = 3 + 9 = 9 + 3; 12 = 4 + 8 = 8 + 4; 12 = 5 + 7 = 7 + 5; 12 = 6 + 6
. Онда
диломатты кепiлдi тірде ашу ішiн е­ аз дегенде 7 вариант ©арап шыЎу
©ажет.
Жауабы: 7
8.7. Егер p 6= 3 болса, онда Е“ОБ(p; 3) = 1 ? p
2
? 1 (mod 3)
сонды©тан
p
2
+ 2


3,
алайда p
2
+ 2
жай сан, онда p
2
+ 2 = 3 ? p = ±1,
©айшылы©.
Онда p = 3, p
2
+ 2 = 9 + 2 = 11
жай сан. Онда p
3
+ 2 = 27 + 2 = 29
жай
сан, дєлелдендi.
8.8. Балаларды­ салмаЎын берiлген рет бойынша a, b, c, d деп белгiлейiк.
?
?
?
a = c + 8
d = b + 4
a + b + c + d = 402
екенiн аламыз.
a + c =
?
?
2a ? 8
не
2c + 8
,
b + d =
?
?
2b + 4
не
2d ? 4
; (a + c) + (b + d) = 402 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
2a ? 8 + 2b + 4 = 402
2a ? 8 + 2d ? 4 = 402
2c + 8 + 2b + 4 = 402
2c + 8 + 2d ? 4 = 402
?
?
?
?
?
?
?
?
a + b = 203
a + d = 207
b + c = 195
c + d = 199
? a + b; a + d; b + c; c + d 6=
6= 200; 202 ?

max (a + c; b + d) = 202
min (a + c; b + d) = 200
,
°йткенi бас©а ©осындылар жо©.
? |(a + c) ? (b + d)| = 2 ? |(2a ? 8) ? (2d ? 4)| = 2 ? |2a ? 2d ? 4| = 2 ?
58

Есептi­ шешiмдерi
? |a ? d ? 2| = 1;
егер d > a ? a?d 6 0 ? a?d?2 6 ?2 ? |a ? d ? 2| > 2,
©айшылы©.
? a > d
жєне a > c; d > b ? a > d, c, b ? a?е­ ауыр, онда a + c =
200
(°йткенi a + d, a + b 6= 200)? 2a = 208 ? a = 104.
Жауабы: Ануарды­ салмаЎы 104 кг.
9 сынып
9.1. (8 сынып, ќ 1 есеп).
9.2.
469
1998
= 0, 2 +
69, 4
1998
= 0, 2 +
694
1998 · 10
= 0, 2 +
347
999
·
1
10
=
= 0, 2 + 0, (347) ·
1
10
= 0, 2 (347) .
“тiрден кейiнгi 2-шi сан 3; 3-шi сан 4; 4-шi сан 7 жєне осы ретпен периодты
тірде ©айталанады. 3-шi сан 4, онда 6-шы сан 4, тура солай 3 ©адаммен
3 · 669 = 2007?
сан да 4 болады.
Жауабы: 4.
9.3.
1
2
?
1
3
+
1
4
?
1
5
+
1
6
?
1
7
+
1
8
? .... ?
1
999
+
1
1000
=
=
 1
2
?
1
3
+
1
4
?
1
5
+
1
6

?
 1
7
?
1
8

?
 1
9
?
1
10

? ... ?

1
999
?
1
1000

=
=
30 ? 20 + 15 ? 12 + 10
60
?
1
7 · 8
?
1
9 · 10
? ... ?
1
999 · 1000
<
23
60
<
24
60
=
2
5
,
дєлелдендi!
Жауабы: дєлелдендi.
59

2006-2007 о©у жылы

?CN B = ?N BM (DC //AB)
?N BM = ?N BC
? ?CNB = ?CBN ? CN = CB.
?M BC?
да BN-єрi биiктiк, єрi
биссектриса жататын тізу. Онда
?M BC?
те­ бійiрлi, MB = BC.
BM =
AB
2
? DC = AB = 2BM = 2N C ? N C = DN ; DN = N C = CB = AD ?
?DAN = ?DN A =
?N AM (DC //AB) ?
AN
?DAB?
ны­ биссектрисасы.
Жауабы: AN кесiндiсi DAB бґрышыны­ биссектрисасы
9.5.

1 +
c
a + b
 
1 +
a
b + c
 
1 +
b
a + c

?
a
3
+ b
3
+ c
3
(a + b) (b + c) (c + a)
=
=
(a + b + c)
3
? a
3
+ b
3
+ c
3


(a + b) (b + c) (c + a)
=
=
(a + b)
3
+ 3 (a + b)
2
c + 3 (a + b) c
2
+ c
3
? a
3
+ b
3
+ c
3


(a + b) (b + c) (c + a)
=
=
a
3
+ 3a
2
b + 3b
2
a + b
3
+ 3a
2
c + 3b
2
c + 6abc + 3ac
2
+ 3bc
2
+ c
3
? a
3
? b
3
? c
3
(a + b) (b + c) (c + a)
=
=
3 a
2
b + b
2
a + a
2
c + b
2
c + ac
2
+ bc
2
+ 2abc


(a + b) (b + c) (c + a)
=
3 (a + b) ab + ac + bc + c
2


(a + b) (b + c) (c + a)
=
=
3 (b + c) (c + a)
(b + c) (c + a)
= 3.
Жауабы: 3 ? a, b, c мєндерiне тєуелдi емес.
9.6. a, b?катеттер, c?гипотенуза ґзындыЎы болсын. a
2
+ b
2
= c
2
.
1. Егер a, b 6: 3 ? a
2
, b
2
? 1 (mod 3) ? c
2
= a
2
+ b
2
? 2 (mod 3) ,
алайда
квадрат сандарды 3-ке б°лгенде не 0, не 1 ©алды© бередi, ©айшылы©! Онда
не a, не b 3-ке ©алды©сыз б°лiнедi, онда a · b 3.
2. a) a?да, b?да жґп сандар болса ab 4;
є) a?да, b?да та© сандар болса, онда c
2
= a
2
+ b
2
? 1 + 1 = 2 (mod 4) ,
ал
ондай квадрат сан табылмайды, демек a?да, b?да та© сандар бола алмай-
ды.
60
9.4.

Есептi­ шешiмдерi
б) a?та©, b? жґп болса, онда b
2
= c
2
? a
2
= (c ? a) (a + c) . b
2
4 ?
(c ? a) (a + c)
4, c ? a
< 5 =
a + c?
арасы 2a, онда екеуiнi­ та©-
жґптылы©тары бiрдей. Онда (c ? a) 2; (c + a) 2. (c + a) ? (c ? a) =
2a ? 2 (mod 4) .
Бiра© (c ? a) мен (c + a) -ны­ 4-ке б°лгендегi ©алды©тары єр тірлi жєне
(c ? a) , (c + a)
2 ? (c ? a) (c + a) ?
да (c ? a) жєне (c + a) -ны­ iшiнде
бiреуi 4-ке б°лiнедi, онда (c ? a) , (c + a) 8 ? b 4 ? ab 4.
a?
жґп, b?та© болЎан кезде де тура солай ab 4 дєлелденедi.
3. 1,2: ab 3, ab 4, (3; 4) = 1 ? ab 12 дєлелдендi.
9.7. Тек ©аза© тiлiн бiлетiндердi­ саны x, тек орыс тiлiн бiлетiндердi­ саны
y
, екi тiлдi де бiлетiндер саны z; x + y + z = 94.
1. (x + z) · 70% = z , °йткенi x, z- ©аза©ша с°йлейтiндер; (x + z) ?тi­ 70%-ы
екi тiл бiлетiн z адам. x · 0, 7 = z · 0, 3 ? x =
3
7
z.
2. Тура солай y =
2
8
z
деп жірсем, онда
2
8
z +
3
7
z + z
=
94
?
7 · 2 + 8 · 3 + 56
56
z =
21 + 17 + 56
56
z = 94 ?
94
8 · 7
z = 94 ? z = 56.
Жауабы: 56.
9.8. 1. АлЎаш©ы екi цифр ішiн ішiншi цифр бiрден табылады жєне ол
мєн жалЎыз болады. ЯЎни, a мен b цифрлары ішiн 15 ? a ? b керек цифр.
9 > 15 ? a ? b > 0 ? 6 6 a + b 6 15. Ал b цифры a?Ўа байланысты.
2. a + b = s болса, 6 6 s 6 8 ? 0 6 a 6 s ? s + 1 вариант бар.
3. 9 6 s 6 15 болса, s ? 9 6 a 6 9 (°йткенi b 6 9), онда a ішiн варианттар
саны 9 ? (s ? 9) + 1 = 19 ? s.
4. Барлы© варианттар саны
8
X
s=6
s+1?
15
X
s=9
(19 ? s) = 7+8+9+19·7?
15
X
s=9
s = 24+133?
24 · 7
2
= 157?84 = 73.
Жауабы: 73
10 сынып
10.1. 1. a
2
+ b
2
+ c
2
=
a
2
+ b
2
2
+
b
2
+ c
2
2
+
c
2
+ a
2
2
> ab + bc + ca (орталар
те­сiздiгi)
2. a
2
+ b
2
+ c
2
> 3
3
?
a
2
b
2
c
2
= 3
(орталар те­сiздiгi)
3. a + b + c > 3
3
?
abc = 3
(орталар те­сiздiгi)
61

2006-2007 о©у жылы
4. 1,2,3 пункттердi мішелеп ©осса©: 2 a
2
+ b
2
+ c
2

+a+b+c > 6+ab+bc+ca.
Дєлелдендi.
10.2. Ондай сан a
1
a
2
...a
n
тірiнде жазылсын. a
1
, a
2
, ..., a
n
сєйкесiнше
1, 2, ..., n
орындаЎы цифрлар a
1
a
2
...a
n
> 10 ? n > 2
1. a
1
a
2
...a
n
= a
1
·10
n?1
+a
2
...a
n
= a
1
a
2
...a
n
+a
1
+a
2
+...+a
n
(есеп шартынан)
a
1
+ a
1
a
2
...a
n
6 a
1
· 9 · 9 · ... · 9
|
{z
}
n?1
рет
= a
1
· 9
n?1
+ 1

 =
= a
1
· 9 · 9
n?2
+ 1

 6 a
1
· 9 · 10
n?2
+ 1

 6 a
1
· 9 · 10
n?2
+ 10
n?2

 =
= a
1
· 10
n?1
, a
2
+ a
3
+ ... + a
n
6 10
n?2
a
2
+ ... + 10
n?n
a
n
=
= a
2
...a
n
a
1
a
2
...a
n
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n
6 a
1
· 10
n?1
+ a
2
a
3
...a
n
= a
1
a
2
...a
n
. Есеп
шартынан те­дiк орындалу ©ажет, онда a
1
+a
1
a
2
...a
n
= a
1
+a
1
·9 · 9 · ... · 9
|
{z
}
n?1
рет
=
a
1
· 9
n?1
+ 1

 = a
1
· 9 · 10
n?2
+ 10
n?2

 ?
? a
2
, ..., a
n
= 9, 9
n?2
= 10
n?2
? n = 2 ? n = 2; a
2
= 9.
2. Тексеру: a
1
9 = 10a
1
+ 9 = a
1
· 9 + a
1
+ 9,
орындалды! Онда ондай сандар
19, 29, ..., 99
. БарлыЎы 9 сан.
Жауабы: 9
10.3. NB//CM; NC//BM болатындай N
алайы©.
1. Онда BNCM ? параллелограмм
? N B = CM; ?N BM =
180
0
? ?CMB.
2. ABMD?параллелограмм? AB =
DM ; ?ABM = 180
0
? ?DMB.
3. 1, 2 :

?N BA = 360
0
? ?CMB ? ?DMB = ?CMD
N B = CM ;
BA = M D
? ?N BA =
= ?CM D ? ?N AB = ?CDM = ?CBM = ?N CB
(N C //BM ) ? N, C, A, B ? ?
1
.
4. Онда ?ACB = ?ANB = ?DCM (3 ? те­) ? ?ACD = ?DCM +
?M CA = ?M CA + ?ACB = BCM, дєлелдендi.
10.4. 1. x
2006
(x ? 1)
2
+ y
2006
(y ? 1)
2
+ z
2006
(z ? 1)
2
= x
2006
x
2
? 2x + 1

 +
y
2006
y
2
? 2y + 1

 + z
2006
z
2
? 2z + 1

 =
= x
2008
+ x
2006
? 2x
2007
+ y
2008
+ y
2006
? 2y
2007
+ z
2008
+ z
2006
? 2z
2007
=
= x
2008
+ y
2008
+ z
2008

+ x
2006
+ y
2006
+ z
2006

?2 x
2007
+ y
2007
+ z
2007

 =
62

Есептi­ шешiмдерi
= 2 + 2 ? 2 · 2 = 0.
2. 1-дi­ сол жаЎындаЎы єрбiр ©осылЎыш квадрат сан, онда єрбiр ©осылЎыш
терiс емес, демек те­дiк орындалу ішiн єрбiр ©осылЎыш 0 болу керек, яЎни
єр айнымалы не 0, не 1 болуы ©ажет.
3. x
2006
+ y
2006
+ z
2006
= 2 ?
2-ден бiр айнымалы 0, екеуi 1 болу керекетiгi
тісiнiктi.
Жауабы: (0; 1; 1) , (1; 0; 1) , (1; 1; 0) .
10.5. 1. x ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 7) ? x
2
? 0, 1, 2, 4;
тура солай y
2
?
0, 1, 2, 4; x
2
+ y
2
? 0 (mod 7)
болатындай x
2
, y
2
ішiн мiндеттi тірде
x
2
, y
2
? 0 (mod 7)
болу керек екен, онда x, y ? 0 (mod 7)
2. 1-дегi шарт орындалатындай x, y?тер саны
 1000
7

= 142
(єр©айсысын-
да) x пен y мєндерi бiр-бiрiне тєуелсiз болЎанды©тан, осындай жґптар саны
142 · 142
.
Жауабы: 142
2
.
10.6. 1. a
1
= 2
1
?1; a
2
= 2
2
?1
екенiн бай©айы©. Математикалы© индукция
єдiсiмен a
n
= 2
n
? 1
екенiн дєлелдейiк (барлы© n ішiн), n ? N; n 6 2007
а) n = 1, 2 ішiн орындалды.
є) n 6 k болатындай барлы© n ішiн a
n
= 2
n
? 1
болсын, мґнда k > 2, k 6
2006
б) n = k +1 ішiн a
k+1
= 3a
k
? 2a
k?1
орындалады, онда a
k+1
= 3 · 2
k
? 1

 ?
2 · 2
k?1
? 1

 = 3 · 2
k
? 3 ? 2
k
+ 2 = 2 · 2
k
? 1 = 2
k+1
? 1,
орындалды! Онда
бастап©ы тґжырым дґрыс. a
2007
= 2
2007
? 1.
Жауабы: 2
2007
? 1.
10.7. (9 сынып, ќ8 есеп).
10.8. BL?биссектриса.
L
? AC ? ?LBC =
?ABC
2
=
?LCB ? ?BLC?
те­-бійiрлi
(LB = LC) . LH
?
биiктiгi болсын.
H
? BC ? LH?
єрi медианасы.
?CHL?
да CL > CH =
BC
2
? CA = CL + LA
. Биссектриса ©а-
63

2006-2007 о©у жылы
сиетiнен LA = CL ·
AB
BC
? CA = CL

1 +
AB
BC

=
CL
BC
(BC + AB) >
BC
2BC
(BC + AB) =
BC + AB
2
? 2AC > BC + AB,
дєлелдендi.
11 сынып
11.1. (10 сынып, ќ2 есеп).
11.2. x
2
+ y
2
= 4 ? xy ?
x
2
+ y
2


2
= (4 ? xy)
2
? x
4
+ y
4
+ 2x
2
y
2
=
16 + x
2
y
2
? 8xy ?
x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
= 16 ? 8xy ? 8 = 16 ? 8xy ? xy = 1 ? x
2
+ y
2
= 3
x
6
+ y
6
+ x
3
y
3
= x
2
+ y
2


3
? 3x
4
y
2
? 3x
2
y
4
+ x
3
y
3
= 3
3
? 3 x
2
+ y
2

 + 1 =
3
3
? 3
2
+ 1 = 19.
Жауабы: x
6
+ x
3
y
3
+ y = 19,
натурал сан, дєлелдендi!
11.3. 1.CF = |AF ? AC|
2. E, D, F, C ? ?
1
: A
?
ны­ дєрежесiн
?
1
-ден есептейiк:
AC · AF = AE · AD ? AF =
AE · AD
AC
3. ?ACB = 90
0
(диаметрге тiрелген) ?ADB = ?ACB = 90
0
4.
?
?
?
?ACE :
AC = cos ?CAE · AE
(3)
?ADB :
AD = cos ?DAB · AB
(3)
?CAE = ?DAB
(AE ?
биссектриса)
? AF =
AE · AD
AC
=
=
AE · AD
cos ?CAE · AE
=
cos ?DAB · AB
cos ?CAE
= AB.
64

Есептi­ шешiмдерi
5. 1?4: CF
=
|AF ? AC|
=
|AB ? AC|
=
|2R ? AC|
=
2R ?
?
AB
2
? BC
2
(Пифагор теоремасынан) ? CF = 2R ?
?
4R
2
? a
2
=
2R
1 ?
r
1 ?
a
2
4R
2
!
.
Жауабы: CF = 2R
1 ?
r
1 ?
a
2
4R
2
!
.
11.4. f (x) = 1 ? x
2
+ x
3


1000
; g (x) = 1 + x
2
? x
3


1000
.
1.x
20
-ны­ алдындаЎы коэффициенттi салыстырайы©. x
20
= (?x)
20
болЎан-
ды©тан, f (x) пен f (?x) жєне g (x) пен g (?x)-те коэффициенттер (x
20
-ны­ алдындаЎы) те­. Онда f (?x) = 1 ? x
2
? x
3


1000
жєне g (?x) =
1 + x
2
+ x
3


1000
алдындаЎы коэффициенттерiн салыстырса© жеткiлiктi.
2. 20 = 2n + 3m болатын n, m ? N
0
сандары x
2
пен x
3
-ты­ та­далуын
аны©тайтыны тісiнiктi. Кей жаЎдайда n = 7; m = 2 болЎанда, x
20
алдын-
даЎы коэффициент g (?x)-те k болса; f (?x)-те (?1)
7+2
k = ?k
болады, ал
k > 0
(g (?x)-тен тісiнiктi). Онда жеке жаЎдайларда модульдерi те­ бол-
са да, g (?x)-тегi коэффициент тек о­ мєндi коэффициент ©осындысынан
тґрады, ал f (?x)-те кейде кейде о­, кейде терiс ©осылЎыштар кездескен-
дiктен x
20
алдындаЎы коэффициент g (?x)-те f (?x)-тен к°п. Онда g (x)-те
коэффициент f (x) -тен артыЎыра©.
Жауабы: 1 + x
2
? x
3


1000
?
те ілкен болады.
11.5. 2008
2006
· 2006
2008
= (2008 · 2006)
2006
· 2006
2
=
= [(2007 + 1) (2007 ? 1)]
2006
· 2006
2
=
= 2007
2
? 1


2006
· 2006
2
< 2007
2


2006
· 2007
2
= 2007
2·2007
.
Жауабы: 2007
2·2007
ілкен болады.
11.6. 1. x
4
? px
3
= ?q;
x
4
? px
3


|x| ? (?q)
|x| ,
q?
жай сан, онда
x = ±q; ±1.
2. x = ±q ? q
4
? pq
3
+ q = 0 ? q
3
? pq
2
+ 1 = 0;
q
3
? pq
2


q ? 1
q,
©айшылы©!
3. x = ?1 ? 1 + p + q = 0; p, q > 0 ? p + q + 1 > 1, ©айшылы©!
4. x = 1 ? 1 ? p + q = 0 ? p = q + 1, q та© болса, p жґп, онда p 2 ? p =
2 ? q = 1,
©айшылы©. q жґп болса, q 2 ? q = 2 ? p = 3.
Жауабы: q = 2, p = 3.
65

2006-2007 о©у жылы
11.7. 1. CA = CB екенi белгiлi.
(CA, CB?жанама), онда
?CAB = ?CBA.
2. ?DNE = ?CAB (D, N, E, A ? ?
1
,
°йткенi ?NDA + ?NEA = 180
0
)
?DN F = ?ABC
(Тура солай
D, N, F, B ? ?
2
, онда
?DN E
1
бойынша
=
?F N D
)
3. ?N DF = ?N BF (D, N, F, B ? ?
2
)
?N BF = ?N AB (F B?жанама, оны­
©асиетi)
?N AB = ?N ED
(D, N, E, A ? ?
1
),
онда ?NDF = ?NED
4. 2,3:

?DN E = ?F N D
?N ED = ?N DF
? ?DN E ? ?F N D ?
DN
N E
=
F N
N D
?
DN
2
= N E · N F ? N D =
?
N E · N F
, дєлелдендi!
11.8. Бастап©ы іш цифрдан ©ґралЎан санды A (n), со­Ўыларынан
©ґралЎан санды B (n) деп белгiлейiк. Мґнда n?ба©ытты билет н°мiрi.
1. n = A (n) · 1000 + B (n), мґнда A (n) мен B (n) -дегi цифрлар ©осындысы
те­. Ендi m = B (n) · 1000 + A (n) санын ©арастырайы©. Бай©аса©, оны­ да
B (n)
, A (n) ©ґраушыларыны­ цифрларыны­ ©осындысы °зара те­, онда
m?
де ба©ытты билет н°мiрi.
2. Егер A (n) 6= B (n) болса, онда m 6= n. A (n) 6= B (n) болатын ба©ытты
билеттердi (n; m) жґптарына б°луге болады, яЎни A (m) = B (n) , B (m) =
A (n)
болатын кез келген n?нi­ жалЎыз жґбы m бар, онда барлы© осын-
дай билеттер жґптарЎа б°лiнедi. Осындай билеттер н°мiрлерi ©осындысы
осы жґптарды­ н°мiрлерiнi­ ©осындысы, яЎни (m; n) жґптарыны­ m + n
©осындысы болады. Онда бастап©ы ©осынды A (n) · 1001 + B (n) · 1001 =
(A (n) + B (n)) · 77 · 13 ?
єрбiр (m + n) 13 ? жалпы ©осынды 13?ке б°лi-
недi.
3. Егер A (n) = B (n) болса, онда n = 1001A (n) = 77 · 13A (n) 13 ?
осындай n?дер ©осындысы 13?ке б°лiнедi.
4. 2 мен 3-те n?нi­ барлы© тірлерi (ба©ытты билеттердi­) ©арастырылЎан.
Жалпы керек ©осынды 13?ке б°лiнетiнi шыЎады, дєлелдендi!
66

Есептi­ шешiмдерi
2007-2008 о©у жылы
8 сынып
8.1. 14x ? 2x
2
= |x ? 7|
2x (7 ? x) = |x ? 7|
1.x > 7 ? 2x (7 ? x) = x ? 7 ? (7 ? x) (2x + 1) = 0
x > 7 ? 2x + 1 = 0 ? x = ?
1
2
< 7,
©айшылы©!
2.x = 7 ? 0 = 0 ? 2x (7 ? x) = |x ? 7|
3.x < 7 ? 2x (7 ? x) = 7 ? x ? (2x ? 1) (7 ? x) = 0 ? 2x = 1 ? x =
1
2
< 7
Жауабы: x
1
= 7, x
2
=
1
2
.
8.2. Тєсiлдер саны 2007 = x + 5y те­деуiнi­ шешiмдерi санымен сєйкес
екенi тісiнiктi, мґнда x, y ? N
0
.
2007 ? 2 (mod 5) ? 2 ? x + 5y ? x (mod 5) ? x = 5t + 2, t ? N
0
? 2007 =
= 5t + 2 + 5y ?
2005 = 5 (t + y) ? t + y = 401; t, y ? N
0
? t ? [0; 401] , y = 401 ? t ? t?
ны­
402
мімкiн мєнi бар, сєйкесiнше x?тi­ жєне y?тi­ мєндерi аны©талады
402
шешiм, онда 402 тєсiл бар.
Жауабы: 402 тєсiл.
67
8.3. 1. Птолемей те­сiздiгiнен
AD
· BC + AB · CD
2
>
AC · BD
2
; AC ? BD = O, S
ABCD
=
S
AOB
+ S
BOC
+ S
COD
+ S
DOA
=
=
1
2
sin ?AOB (AO · OB + OB · OC + OC · OD + OD · OA) =
=
1
2
sin
?AOB ·AC ·BD 6
1
2
· AC ·BD,
°йткенi sin ?AOB 6 1.
Есеп шартынан S
ABCD
=
AD · BC + AB · CD
2
>
AC · BD
2
> S
ABCD
. Де-
мек, те­сiздiктерде те­дiк шарты орындалады. Онда sin ?AOB = 1 ?
?AOB = 90
0
;
Птолемей те­сiздiгiнде те­дiк ABCD?Ўа сырттай ше­бер
сызуЎа болатын жаЎдайда орындалады. ‰ыс©асы, BD?AC; A, B, C, D ?
?
1

2007-2008 о©у жылы
2. ?BCD = 180
0
? ?BAD = ?ABC ? ABCD?те­ бійiрлi трапеция. Онда
AB = DC; ?ABO = ?DCO;
?BAO = ?CDO ? ?ABO = ?DCO ?
? BO = CO ? ?CBO = 90
0
?
?BOC
2
= 45
0
? ?ABO = ?ABC ??CBO =
= 180
0
? ?BAD ? ?CBO = 75
0
3.CD = AB =
BO
cos ?ABO
=
BO
cos 75
0
=
cos 45
0
BC
cos 75
0
=
cos 45
0
· 5
cos (30
0
+ 45
0
)
=
=
?
2
2
· 5
cos 30
0
cos 45
0
? sin 30
0
sin 45
0
=
?
2
2
· 5
?
2
2
·
?
3
2
?
?
2
2
·
1
2
=
5
?
3
2
?
1
2
=
=
10
?
3 ? 1
=
10 ·
?
3 + 1


2
= 5

?
3 + 1

.
Жауабы: CD = 5
?
3 + 1


.
8.5. Ол сан abcd тірiнде болсын ?abcd · 4 = dcba. 1.dcba < 12000 ?
dcba
4
=
abcd <
12000
4
= 3000 ? 0 < a < 3.
2. a = 1 болса, dcba?та© болады, бiра©
dcba = abcd · 4?
жґп, ©айшылы©!
3. a = 2 болады, онда 4 · abcd > 4 · 2000 = 8000 ? dcba > 8000 ? d > 8.
4. d = 9 болса, dcba = abcd · 4 ? d · 4 ? 36 ? 6 (mod 10) , бiра© dcba ? a ?
2 (mod 10)
, ©айшылы©!
5. d = 8 болады, онда 2bc8 · 4 = 8cb2 ? (2008 + 100b + 10c) · 4 = 8002 +
100c + 10b ?
? 8032+400b+40c = 8002+100c+10b ? 30+390b = 60c ? 1+13b = 2c 6 2·9 =
18 ? 13b < 26 ? b < 2 ? b 6 1.
6. b = 0 болса, 1 = 2c ? c =
1
2
, ©айшылы©! (c ? N
0
)
68
8.4. Сызбадан бєрi аны© к°рiнiп тґр. 18 · 8 = 9 · 16 = (3 · 4)
2
= 12
2
. Онда
шаршыны­ ©абырЎасы 12 болады.
.

Есептi­ шешiмдерi
7. b = 1 болады, c =
14
2
= 7.
Жауабы: 2178.
Ескерту: 2178 · 4 = 8712, дґрыс!
8.6. 1. AD = AC ? ?DAC?те­
бійiрлi,AH?биiктiк, онда
AH
?
биссектриса.
K = AH
T DC ? ?DAK = ?CAK.
2.?BAO = ?ABO =
?BAO + ?ABO
2
=
=
180
0
? ?AOB
2
=
180
0
? 2?ACB
2
=
= 90
0
? ?ACB = 90
0
? ?ACK = ?CAK.
3.?OAD = ?BAD ? ?BAO = ?DAC ? ?BAO = ?DAC ? ?CAK = ?DAK
4.1, 2, 3 : ?BAO = ?OAD = ?DAH = ?HAC
5. AD ? OH?©а перпендикуляр, онда AD ? ?OAH?ты­ биiктiгi, єрi 4-
тенAD?биссектриса, онда ?OAH?те­ бійiрлi, яЎни OA = HA
6. OM?AB, M ? AB болсын. E = BH T AC. Онда ?MAO =
?EAH; AO = AH; ?AOM = 90
0
? ?MAO = 90
0
? ?EAH =
= ?AHE ? ?M AO = ?EAH.
7. OM? те­ бійiрлi ?AOB?ны­ биiктiгi, онда OM?єрi медиана? AM =
1
2
AB.
8. 6-дан AE = AM;7-ден AM =
1
2
AB ? AE =
1
2
AB.
9. ?AEB = 90
0
? 8 :
cos ?BAE =
AE
AB
=
1
2
? ?BAE = 60
0
(°йткенi
?BAE < 90
0
).
10.?ACB = ?ACK = 90
0
? ?CAK = 90
0
?
1
4
· ?BAC = 90
0
? 15
0
= 75
0
11.?ABC = 180
0
? 60
0
? 75
0
= 45
0
Жауабы: ?BAC = 60
0
, ?CBA = 45
0
, ?ACB = 75
0
.
69

2007-2008 о©у жылы
9 сынып
9.1. Н°лдердi­ саны 10?ны­ ©анша дєрежесiне б°лiнетiндiгiн тісiндiредi.
10 = 2 · 5
, яЎни к°бейтiндiдегi 10?ны­ дєрежесi к°бейтiндiдегi 5?тi­ дєре-
жесiмен те­. ђйткенi, 2 5?ке ©араЎанда жиiрек кездеседi. Тек 5?ке б°лi-
нетiн сандар саны
 100
5

= 20;
кейбiр сандар 5?ке екi рет б°лiнедi, яЎни
25?
ке, сондай сандар саны
 100
25

= 4.
Ал іш рет б°лiнетiн сан жо©, онда
жалпы 5к°бейтiндiде 24 рет кездеседi. Онда 0?дер саны да 24.
Жауабы: 24.
9.2. (8 сынып, ќ 2 есеп).
2. X, Y сєйкесiнше AB, CD?ны­ орталары. Тiк бґрышты ішбґрышты­
медианасы гипотенузаны­ жартысы болатыны белгiлi. Онда MX =
AB
2
.
Тура солай NY =
CD
2
, онда ?MXB; ?NY C?те­ бійiрлi.
3. ?XMB + ?CBM = ?MBX + ?CBM = 2?MBX + ?XBC =
= 2 ·
180
0
? ?XBC
2
+ ?XBC = 180
0
? XM // BC.
Тура солай NY //BC.
XY ?
орта сызы©, онда XY //BC.
Бiр ніктеден бiр тізуге тек бiр параллель жіргiзуге болады, онда
M, X, Y ? l
1
, тура солай X, Y, N ? l
2
? M, X, Y, N ? l
1
; l
1
= l
2
.
4. MN = MX + XY + Y N =
1
2
AB +
1
2
(BC + AD) +
1
2
CD
=
1
2
(AB + BC + CD + DA) ?
периметрдi­ жартысы, дєлелдендi!
9.4. (ab + bc + ca)
2
= a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
+ 2 a
2
bc + b
2
ac + c
2
ab

 =
=
a
2
b
2
+ b
2
c
2
2
+
b
2
c
2
+ c
2
a
2
2
+
c
2
a
2
+ a
2
b
2
2
+ 2 a
2
bc + b
2
ac + c
2
ab

 >
70
9.3. 1.?BMA = 180
0
?
?M BA
?
?M AB =
= 180
0
180
0
? ?ABC
2
180
0
?
?BAD
2
=
=
360
0
?
180
0
+ ?ABC
?
180
0
+ ?BAD
2
=
?ABC + ?BAD
2
=
=
180
0
2
= 90
0
(BC //AD)
. Тура солай ?CND = 90
0
.
?
?

Есептi­ шешiмдерi
> 3 a
2
bc + b
2
ac + c
2
ab

 = 3abc (a + b + c) ? ab+bc+ca >
p3abc (a + b + c),
дєлелдендi!
9.5. (8 сынып, ќ6 есеп).
9.6. 1?ден 127?ге дейiнгi натурал сандар ©осындысы
128·127
2
= 64 ·
127, 127?
жай сан. Керi жорып, топтар саны та© болатын жаЎдай бар делiк.
љр топта сандар ©осындысы °зара те­. Онда бґл ©осынды x та© сан = бар-
лы© сандар ©осындысы = 64 · 127, топ саны  та© жєне 1?ден арты©, онда
топ саны ?127, °йткенi 127?жай сан, ал 64?жґп.
127?
топты­ єр©айсысында сандар ©осындысы 64, алайда бiр топта мiндет-
тi тірде 127 болады, онда осы топтаЎы сандар ©осындысы 64?тен арты©.
‰айшылы©! Онда топ саны жґп болу керек, дєлелдендi!
10 сынып
10.1. n > 3 ішiн n т°бесi д°­ес к°пбґрышты­
n (n ? 3)
2
диагоналi болады.
ђйткенi єр т°бе к°ршi екi т°бе жєне °зiнен бас©а ©алЎан n ? 3 т°бесiмен
©осылып, диагональ ©ґрайды, алайда єр диагональ екi ґшы ішiн есептел-
гендiктен
n (n ? 3)
2
диагоналi болады.
Есеп шартынан
n (n ? 3)
2
n ?
n (n ? 3)
2n
? N ?
n ? 3
2
? N ? (n ? 3) 2 ?
(n ? 3) ?
жґп, онда n?3 = 2k, k ? N ? n = 2k +3. n = 3 болса диагональ
саны 0 (n > 2 болатыны тісiнiктi)
Жауабы: 2k + 3, k ? N
0
.
10.2. (9 сынып, ќ3 есеп).
10.3. 1.
mn + 1
m + n
= n?1,
мґнда m = n
2
?n?1
. Осы тґжырымды тексерелiк.
mn + 1
m + n
=
n
2
? n ? 1

 n + 1
n
2
? 1
=
n
2
? 1

 n ? n
2
+ 1
n
2
? 1
= n ? 1,
дєлелдендi!
2. Барлы© n ? N, n > 2 ішiн m = n
2
? n ? 1 > n
2
? n ? (n ? 1) = (n ? 1)
2
>
1 ? m > 1, m ? N.
3. Кез келген a ? N ішiн n = a + 1; m = (a + 1)
2
? (a + 1) ? 1
алса©, онда
mn+1
m+n
= a
екенi шыЎады (1-ден). 2-ден n, m ? N.
Жауабы: барлы© натурал сандар
mn + 1
m + n
тірiне келтiрiледi.
71

2007-2008 о©у жылы
10.4. (9 сынып, ќ4 есеп).
10.5. 1.X = MC ?AL. ABMN = LBCK;
AB = KC ? BM = BC.
BL = KC = AB = M N ; LK = BC =
BM = N A.
2.
(
?M BC = 90
0
+ ?ABC = ?ABL
M B
AB
=
BC
BL
? ?M BC ? ?ABL
жєне екеуi де те­ бійiрлi (MB = CB; AB = LB).
3. ?BMX = ?BMC = ?BAL = ?BAX ? B, M, A, X ? ?
1
? X ?
? (M BA)
, тура солай N ? ? (MBA), °йткенi ?NMB + ?BAN = 180
0
?
N, M, B, X, A ? ?
1
? ?BXN = ?BAN = 90
0
.
Тура солай ?BXK = 90
0
екенi дєлелденедi.
4.?BXN + ?BXK = 180
0
? N, X, K ? l
1
? X ? N K ?
? (M C ? AL) ? N K ? M C ?AL?N K = X.
Онда осы іш тізу бiр ніктеде
©иылысады, дєлелдендi!
10.6. (9 сынып, ќ 6 есеп).
11 сынып
11.1. (10 сынып, ќ 1 есеп).
11.2. 1. 2x = z +
2
z
? 2 |x| =
z +
2
z
= |z| +
2
z
, °йткенi z пен
2
z
?
нi­
о­-терiстiгi бiрдей. Онда 2 |x| = |z| +
2
z
> 2
q
|z| ·
2
z
= 2
?
2 ? |x| >
?
2 ?
x
2
> 2
Тура солай y
2
, z
2
> 2.
2. 2x = z+
2
z
=
z
2
+ 2
z
? 2xz = z
2
+2
. Тура солай 2xy = x
2
+2, 2zy = y
2
+2
. Онда 2x
2
· 2y
2
· 2z
2
= 2xy · 2yz · 2zx =
= x
2
+ 2


y
2
+ 2


z
2
+ 2

 6 x
2
+ x
2


y
2
+ y
2


z
2
+ z
2

 =
72

Есептi­ шешiмдерi
= 2x
2
· 2y
2
· 2z
2
, яЎни те­сiздiктерде те­дiк шарты орындалады. x
2
, y
2
, z
2
=
2.
3. 2xz = z
2
+ 2 > 0 ? xz > 0
, тура солай xy > 0. Демек, x =
?
2
болса,
y = z =
?
2
болу керек. Тура осылайша x = ?
?
2
болса, y = z = ?
?
2
болу
керек.
Жауабы:
?
2;
?
2;
?
2

 ; ?
?
2; ?
?
2; ?
?
2


.
11.3. 1. P ?AC доЎасыны­ ортасы, ал B
екi ґшынан бiрдей ©ашы©ты©та,
яЎни BA = BC ? BP
?
AC
-Ўа орта
перпендикуляр.
Онда берiлген ше­бердi­ центрi
O
? BP
, яЎни BP ?диаметр.
2. BP ?диаметр, онда
?BM P = ?BCP = 90
0
? P C =
sin ?P BC · BP =
= sin
?ABC
2
· BP = sin 30
0
· BP =
BP
2
= BO.
N ?BM
-ортасы, O?BP -ны­ ортасы, онда NO//MP ? ?BNO = ?BMP =
90
0
= ?CKP
?KCP = ?M CP = ?M BP = ?N BO,
?
?
?
BO = CP
?BN O = ?CKP
?N BO = ?KCP
? ?BN O = ?CKP ? BN = CK.
3.
?
?
?
BA = CA
?ABN = ?ABM = ?ACM = ?ACK
BN = CK
? ?ABN = ?ACK
4.3?
те­ ?BAN = ?CAK ? ?NAK = ?CAK+?CAN = ?BAN+?CAN =
= ?BAC = 60
0
;
AN = AK ? ?AN K = ?AKN =
180
0
? 60
0
2
= 60
0
, ?NAK те­ ©абырЎа-
лы, дєлелдендi.
11.4. (9 сынып, ќ4 есеп).
73

2007-2008 о©у жылы
11.5. 1. BC
1
= BA
1
(жанамалар);
BH
1
? A
1
C
1
= X ? BX
те­-бійiрлi
?A
1
B
1
C
1
?
нi­ биiктiгi, онда
X
? C
1
A
1
-нi­ ортасы, яЎни
C
1
X = A
1
X
.
2. ?XC
1
I =
?BC
1
I
? ?BC
1
A
1
; ?BC
1
I = 90
0
,
°йткенi BC
1‘
?
жанама, ал I?iштей
сызылЎан ше­бер центрi.
?XC
1
I = 90
0
?
?BC
1
A
1
=
?XA
1
H
1
(°йткенi A
1
H
1
?
биiктiк).
3. BH
1
?
єрi биссектриса (1), тура солай CH
2
??A
1
CB
1
-нi­ биссектрисасы,
яЎни BH
1
? ?B, CH
2
? ?C -нi­ биссектрисалары, онда BH
1
? CH
2
= I
.
Онда B, H
1
, X, I ? l
1
? ?IXC
1
= ?H
1
XA
1
4. 1,2,3-ден ?IXC
1
= ?H
1
XA
1
? H
1
X = IX ? X ? H
1
I
-дi­ ортасы.
Y = CH
2
T A
1
B
1
ішiн осылайша Y ? IH
2
-нi­, A
1
B
1
-дi­ ортасы болады.
5. XY ? ?C
1
A
1
B
1
-дi­, ?H
1
IH
2
-дi­ орта сызыЎы, онда C
1
B
1
//XY //H
1
H
2
.
Онда ?IH
1
H
2
= ?IXY
= ?IXA
1
? ?Y XA
1
= 90
0
? ?Y XA
1
=
90
0
? ?B
1
C
1
A
1
= 90
0
? ?A
1
C
1
I ? ?B
1
C
1
I = 90
0
? 90
0
? ?BC
1
A
1

 ?
90
0
? ?AC
1
B
1


= ?BC
1
A
1
+ ?AC
1
B
1
? 90
0
=

90
0
?
?C
1
BA
1
2

+
90
0
?
?C
1
AB
1
2

 ? 90
0
= 90
0
?
?C
1
BA
1
+?C
1
AB
1
2
=
?BCA
2
= ?BCI = ?BCH
2
.
Онда ?BCH
2
+?BH
1
H
2
= ?BCH
2
+180
0
??IH
1
H
2
= 180
0
? BH
1
H
2
C?
Ўа
сырттай ше­бер сызуЎа болады. Дєлелдендi!
11.6. 1. Тiк т°ртбґрышттарды ©арама-©арсы 2 т°бе аны©тайтыны тісiнiк-
тi, яЎни A (a
1
; b
1
) , C (a
2
; b
2
)
ніктелерi ©арама-©арсы т°белер болса, онда
B (a
1
; b
2
) , D (a
2
; b
1
)
ніктелерi де т°бе болуы керек. Бай©аЎандай, єрбiр
жґп ©арсы т°белерге бiр Ўана тiк т°ртбґрыш, ал єрбiр тiк т°ртбґрыш©а
екi жґп ©арсы т°белер сєйкес келедi (єрине, мґндаЎы тiк т°ртбґрыштар 
есептi ©анаЎаттандыратындары Ўана).
2. Т°белердi­ координаталарыны­ абцисса жєне ордината мєндерi 0?ден
n?
ге дейiн ©абылданады, яЎни n + 1 бітiн саннан. Онда жалпы ніктелер
саны (n + 1)
2
. Осы ніктелерде екi жґп нікте та­дау тєсiлдер саны C
2
(n+1)
2
.
Алайда, оларды­ iшiнде бiр-бiрiне ©арсы т°бе бола алмайындар бар, яЎни
абцисса не ордината мєнi бiрдейлерi (b
1
= b
2
болса, мысалы онда B мен
D
,A мен C жґптары беттеседi. a
1
= a
2
?
де тура солай). Ондай т°белер
саны:
1) Егер a
1
= a
2
? (n + 1) · C
2
n+1
(яЎни, бiр абцисса мєнiнде (n + 1) т°бе
бар, онда C
2
n+1
?
2 т°бе та­дау тєсiлi, ал жалпы абциссалар саны n + 1.
74

Есептi­ шешiмдерi
2) Егер b
1
= b
2
? (n + 1) · C
2
n+1
, тура солай. Онда мімкiн жґп т°белер
саны:C
2
(n+1)
2
?2 (n + 1)·C
2
n+1
. љрбiр тiк т°ртбґрыш©а екi жґп сєйкес келедi,
ал жґптары орта© екi тiк т°ртбґрыш жо©, онда тiк т°ртбґрыштар саны
C
2
(n+1)2
2
? (n + 1) · C
2
n+1
.
3. Егер тiк т°ртбґрыштарды­ °здерi таза ілкен квадрат iшiнде болуы ке-
рек болса, яЎни т°белерi осы квадрат бойында жатпаса, онда тура сондай
жолмен жауап:
C
2
(n?1)2
2
? (n ? 1) · C
2
n?1
екенi шыЎады, мґнда n > 3. n = 1, 2
болса, жауап 0 екенi тісiнiктi.
Жауабы: есеп шарты толы©тыруына байланысты не
C
2
(n+1)2
2
? (n + 1) ·
C
2
n+1
, не
C
2
(n?1)2
2
? (n ? 1) · C
2
n?1
S 0
(n = 1, 2 жаЎдайларында).
75

2008-2009 о©у жылы
2008-2009 о©у жылы
8 сынып
8.1. E жєне F ніктелерi сєйкесiнше AB
жєне BC ©абырЎаларыны­
ше­бермен жанасу ніктелерi
болсын. AM = AE = x; BE =
BF = y;
F C = CM = z
болсын.
p =
AB + BC + AC
2
=
2 (x + y + z)
2
= x + y + z.
p
?
BC = x + y + z
?
(y + z) =
x + y + z
? y ? z = x = AM.
8.2. (3x + 2y) 23 ? 2 · (3x + 2y) = (6x + 4y) 23
17x + 19y = 23x ? 6x + 23y ? 4y = (23 (x + y) ? (6x + 4y))
23.
8.3. Белгiлi бiр т°бенi та­дап алайы©. љрбiр сызылЎан тґйы© иректi та­-
далЎан т°беден басталатын сєйкес ретпен орналас©ан т°белер комбинаци-
ясы деп ©арастырайы©, яЎни комбинациядаЎы тiзбектес т°белер кесiндi-
мен ©осылЎан. Бiрiншi орында мiндеттi тірде та­далЎан т°бе болЎанды-
©тан, комбинациялар саны ©алЎан 5 т°бенi­ орналасуына байланысты, яЎ-
ни комбинациялар саны 5! . Бай©аса©, єрбiр тґйы© иректi бiз дєл екi рет
©арастырамыз: бiр рет саЎат баЎытымен, ал екiншi рет оЎан ©арсы баЎытта.
Осылайша барлы© тґйы© иректер саны
5!
2
Жауабы:
5!
2
8.4. I тєсiл.
a
2
+ 4 > 4a
b
2
+ 4 > 4b
c
2
+ 4 > 4c
?
?
?
? a
2
+ b
2
+ c
2
+ 12 > 4 (a + b + c)
II тєсiл. a
2
+ b
2
+ c
2
+ 12 ? 4 (a + b + c) = a
2
? 4a + 4 + b
2
? 4b + 4 + c
2
? 4c + 4 =
= (a ? 2)
2
+ (b ? 2)
2
+ (c ? 2)
2
> 0 ? a
2
+ b
2
+ c
2
+ 12 > 4 (a + b + c) ,
a = 2, b = 2, c = 2
болса, те­дiк орындалады.
76

Есептi­ шешiмдерi
8.5. Суреттегiдей ?ABC = ? деп алса©,
?CHM = 90
0
? ?MHB = ?B = ?.
?HN C = ?HM C = 90
0
болЎанды©тан, H, M, C, N ніктелерi
бiр ше­бер бойында.
?M N C = ?M HC = ? = ?B. Ал C
бґрышы орта© болЎанды©тан,
?M N C ? ?ABC
болады.
8.6. Бiр жылда 12 ай болатынды©тан, 40 : 12 = 3 (4 ©алды©). Дирихле
принципi бойынша бiр айда туылЎан кінiн тойлайтын 4 о©ушы болмасын,
е­ к°п дегенде єр айда 3 о©ушы болсын деп алЎанны­ °зiнде 4 о©ушы асып
©алады. Демек, сол 12 айды­ бiрiнде туылЎан кінiн тойлайтын таЎы бiр
о©ушы табылады. Онда туылЎан кіндерiн е­ болмаса 4 о©ушы тойлайтын
ай табылады.
9 сынып
9.1. x
2
? y
2
? x + y = (x ? y) (x + y) ? (x ? y) = (x ? y) (x + y ? 1) = 10 =
2 · 5 = 1 · 10
a) x, y ? N болЎанды©тан:

x ? y = 2
x + y ? 1 = 5
немесе

x ? y = 5
x + y ? 1 = 2 .
Те­деулер жійесiн шешемiз:

x ? y = 2
x + y ? 1 = 5
?

x = 4
y = 2
;

x ? y = 5
x + y ? 1 = 2
?

x = 4
y = ?1
болады.
x, y ? N ? x = 4, y = 2.
є) x, y ? N болЎанды©тан:

x ? y = 1
x + y ? 1 = 10
немесе

x ? y = 10
x + y ? 1 = 1
Те­деулер жійесiн шешемiз:

x ? y = 1
x + y ? 1 = 10
?

x = 6
y = 5
;

x ? y = 10
x + y ? 1 = 1
?

x = 6
y = ?4 болады.
x, y ? N ? x = 6, y = 5.
77

2008-2009 о©у жылы
Бай©аса©, x + y ? 1 > 1 + 1 ? 1 > 0. Сонды©тан барлы© жаЎдайлар ©арас-
тырылды.
Жауабы: (4; 2), (6; 5).
Сонымен, AE = AB +BC +AC ?AF, онда AE +AF = AB +BC +AC, яЎни
2AE = AB + BC + AC.
Демек, AE =
AB + BC + AC
2
.
Дєлелдеу керегi де
осы болатын.
9.3. Есеп шартынан n = a
1
+ a
2
+ ... + a
k
болатын те­деу тібiрлерiнi­
мімкiн мєндер санын табу керек. љрбiр a
1
, a
2
, ..., a
k
? N ? a
1
, a
2
, ..., a
k
>
1 ? n = a
1
+ a
2
+ ... + a
k
> k ? n > k, яЎни n < k болса келтiрулер саны 0
болады.
љрбiр a
1
, a
2
, ..., a
k
келтiруiне 1...1
|{z}
a
1
0 1...1
|{z}
a
2
0... 1...1
|{z}
a
k?1
0 1...1
|{z}
a
k
санын сєйкестендiрей-
iк. љрбiр келтiруге осындай тек бiр сан, ал єр осындай санЎа тек бiр келтi-
ру сєйкес келетiнiн бай©айы©, яЎни биекция орындалады. Онда келтiрулер
саны осындай сандарды­ санына те­. Осы сандар a
1
+ a
2
+ ... + a
k
= n
бiрлiктен жєне (k ? 1) н°лден тґратынын бай©айы©. Н°лдердi­ арасында
кемiнде бiр бiрлiк бар жєне басында єрi со­ында кемiнде бiр бiрлiк бар.
ЯЎни екi н°л ©атар келмейдi жєне олар бiрлiктердi­ арасында орналас©ан.
1...1
|{z}
n
саныны­ к°ршi бiрлiктердi­ арасы болатындай (n ? 1) орын бар. љр
орында к°п дегенде бiр н°л бола алады. БарлыЎы (k ? 1) н°л бар. љрбiр ©а-
растырылатын сан осы н°лдердi берiлген (n ? 1) орынЎа орналастырумен
аны©талады. Осындай сандар саны (n ? 1) орыннан (k ? 1) орын та­дау
керек. ЯЎни C
k?1
n?1
тєсiл бар. Демек, келтiрулер саны C
k?1
n?1
, °йткенi ©арас-
тырылЎан сандар келтiрулерге сєйкес келедi.
Жауабы: C
k?1
n?1
.
78
9.2. Суреттегiдей O ше­берi ABC
ішбґрышыны­ BC ©абырЎасын
жєне AB мен AC ©абылЎаларыны­
созындыларын сєйкесiнше D, E, F
ніктелерiнде жанап °тсiн. Онда
AE = AF, BD = BE, CD = CF
болЎанды©тан,
AE = AB+BE = AB+BD = AB+(BC ? CD) = AB+BC?CD =
= AB + BC ? CF = AB + BC ? (AF ? AC ) .

Есептi­ шешiмдерi
9.4. a) f (x) функциясын іш тірлi жаЎдайда ©арастырайы©:
1) x 6 1 болса, f (x) = |x ? 1|?|x ? 2| = ?x+1+x?2 = ?1. ЯЎни f (x) = ?1.
2) 1 6 x 6 2 болса, f (x) = |x ? 1| ? |x ? 2| = x ? 1 + x ? 2 = 2x ? 3. ЯЎни
f (x) = 2x ? 3
.
3) x > 2 болса, f (x) = |x ? 1| ? |x ? 2| = x ? 1 ? x + 2 = 1. ЯЎни f (x) = 1.
Осы іш жаЎдайды бiрiктiргенде функция графигi суреттегiдей:
б) g (x) = |x ? 3| функциясыны­ графигi g (x) = x ? 3 функциясыны­
графигiнi­ Ox осiнi­ асты­Ўы жаЎындаЎы б°лiмiн Ox осiне ©арата біктеу
болЎанды©тан, a)-даЎы графиктi ескере отырып екi функцияны­ графигiн
бiрге салса© т°мендегi суреттегiдей екi функцияны­ графигiмен шектелген
фигураны­ ауданы табаны 2, биiктiгi 1 болатын ішбґрыш ауданына те­,
яЎни
S =
1
2
· 2 · 1 = 1
болады.
Жауабы: 1.
79

2008-2009 о©у жылы
9.5. Суреттегiдей AB жєне HK-ны­
©иылысу ніктесi E, BC жєне
HP
-ны­ ©иылысу ніктесi D болсын,
KP
кесiндiсi AB, BC
©абырЎаларымен сєйкесiнше N, M
ніктелерiнде ©иылыссын.
?BAC = ? болсын.
?AHE = 90
0
? ?, ?AHB = 90
0
, онда ?BHE = ?. ?HEB = 90
0
, ?HDB =
90
0
болЎанды©тан, H, E, B, D ніктелерi бiр ше­бер бойында, ?BDE =
?BHE = ?. HE = EK, HD = DP болЎанды©тан ED // KP, ?N M B =
?EDB = ?. Симметрия бойынша
?AHB = ?AKB
болЎанды©тан
?AKB = 90
0
, ?BAK = ?. Демек, ?BAK = ?KM B = ?. Онда K, B, M, A
ніктелерi бiр ше­бер бойында. ?AMB = 180
0
? ?AKB = 90
0
.
Онда
AM ?BC.
Сол сия©ты AB?CN екенiн де дєлелдеп алуЎа болады.
9.6. Есеп тґжырымы ©ате деп керi болжайы©. Онда таныстарды­ саны
бiрдей екi адам табылмайтын жаЎдай бар. Осы жаЎдайда мiндеттi тірде
n
адамны­ таныстарыны­ саны °су ретi бойынша 0, 1, . . . , n ? 1 болады.
ђйткенi таныстарды­ саны е­ к°п дегенде n ? 1, ал е­ аз дегенде o, жєне 0
мен n ? 1-дi­ арасында дєл n сан бар. Сонда осы жаЎдайда бєрiн танитын
жєне ешкiмдi танымайтын адам бар. Алайда ешкiмдi танымайтын адам
бєрiн танитiнмен мiндеттi тірде таныс. Осыдан ©айшылы© туындайды,
яЎни есеп тґжырымы дґрыс.
10 сынып
10.1. (I тєсiл)(a + b + c)
2
= 0 ? a
2
+ b
2
+ c
2
= ?2 (ab + bc + ca)
(1)
a
2
+ b
2
+ c
2


2
= (?2 (ab + bc + ca))
2
? a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2a
2
b
2
+ 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
=
= 4a
2
b
2
+4b
2
c
2
+4c
2
a
2
+8a
2
bc+8ab
2
c+8abc
2
= 4a
2
b
2
+4b
2
c
2
+4c
2
a
2
+8abc(a+b+c) ?
? a
4
+ b
4
+ c
4
= 2a
2
b
2
+ 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
= 50 ?
?
a
2
b
2
+ a
2
c
2
+ b
2
c
2
= 25
a
2
+ b
2
+ c
2


2
= 4a
2
b
2
+ 4a
2
c
2
+ 4b
2
c
2

?
? a
2
+ b
2
+ c
2


2
= 4 · 25 ? a
2
+ b
2
+ c
2
= 10.
80

Есептi­ шешiмдерi
(1) ? ab + bc + ca = ?
a
2
+ b
2
+ c
2
2
= ?5.
(II-тєсiл) a + b + c = 0 ? c = ? (a + b)
ab + bc + ca = ab + c (a + b) = ab ? (a + b)
2
= ? a
2
+ b
2
+ ab


Айталы©:
x = a
2
+ b
2
, y = ab
a
4
+ b
4
+ c
4
= 50 ? a
4
+ b
4
+ (a + b)
4
= 50 ?
? x
2
? 2y
2
+ (x + 2y)
2
= 50 ? x
2
? 2y
2
+ x
2
+ 4y
2
+ 4xy = 50 ?
? 2x
2
+2y
2
+4xy = 50 ? (x + y)
2
= 25 ? x+y = ±5, x+y = (a+
1
2
b)
2
+
3
4
b
2
> 0 ?
x + y = 5 ? ? a
2
+ b
2
+ ab

 = ?5 ? ab + bc + ca = ?5.
(III-тєсiл) b
1
= a + b + c = 0,
b
2
= ab + bc + ca,
b
3
= abc
50 = a
4
+ b
4
+ c
4
= b
1
4
? 4b
2
1
b
2
+ 4b
1
b
3
+ 2b
2
2
?
? 2b
2
2
= 50 ? b
2
2
= 25 ? b
2
= ±5.
b
2
=
b
2
1
? (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
=
?(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
6 0, онда b
2
= ?5.
Жауабы: ab + bc + ca = ?5
81
10.2. ?CAB = 2?, ?CBA = 2? болсын. O
инцентр болсын. AN = AM
болЎанды©тан ?AMN = ?ANM =
180
?
? 2?
2
= 90
?
? ?.
онда
?P M B = 180
?
? ?P MA =
90
?
+ ?.?COB = 180
?
? ?OCB ? ? =
180
?
?
1
2
?ACB ? ? =
90
?
+ (90
?
?
1
2
?ACB ? ?) = 90
?
+ ?.
Сонды©тан ?P MB = ?COB.
Сонымен ©атар
?P BM = ?CBO = ?.
Онда
4P M B ? 4COB
, яЎни
P B
M B
=
CB
OB
.
ТаЎы ?CBP = ?OBM = ?, осыдан
4CBP ? 4OBM .
Онда
?BP C = ?BM O = 90
?
.
O

2008-2009 о©у жылы
10.3.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2010! + 2
2
2010! + 3
3
2010! + 4
4
...
...
...
...
2010! + 2010
2010
ЖоЎарыдаЎы 2009 тiзбектес сандарды­ єр©айсысы °зiнен кiшi жєне бiрден
ілкен натуран санЎа б°лiнедi, яЎни оларды­ барлыЎы ©ґрама.
10.4.
x
1
, x
2
, ..., x
n
> 0
1 + x
1
> 2
?
x
1
, 1 + x
2
> 2
?
x
2
, ..., 1 + x
n
> 2
?
x
n
Те­сiздiктердi­ о­-солын к°бейтсек:
(1 + x
1
) (1 + x
2
) ... (1 + x
n
) > 2
n
?
x
1
· x
2
· x
3
· ... · x
n
(1 + x
1
) (1 + x
2
) ... (1 + x
n
) > 2
n
.
Те­дiк x
1
= x
2
= . . . = x
n
= 1
болЎан кезде орындалады.
10.5. (9 сынып, ќ6 есеп).
10.6. (I-тєсiл) Айталы©,
AB = BC = CA = a,
BE
?AK
болатындай, E ? AK ніктесiн
алайы©. ?ABE = ?.
P N ? M K
болатындай, N ? MK
ніктесiн алай©.
?CAK = 90
0
? ?

 ? 60
0
= 30
0
? ?,
?ACK = 90
0
? 30
0
? ?

 = 60
0
+ ?,
?BCM = 180
0
? 60
0
? 60
0
+ ?

 = 60
0
? ?.
M K = BE = a · cos ?,
BM = a · sin 60
0
? ?

 ,
AK = a · sin 60
0
+ ?


P N =
1
2
(BM + AK) =
1
2
a sin 60
0
? ?

 + sin 60
0
+ ?


 =
=
1
2
a·2·sin
60
0
? ?

 + 60
0
+ ?


2
·cos
60
0
+ ?

 ? 60
0
? ?


2
= a·sin 60
0
·cos ? =
=
?
3
2
a · cos ?
82