Леонард Эйлер атындағы VIII олимпиаданың дистанционды кезеңінің бірінші туры Осы

Леонард

 Эйлер атындағы VIII олимпиаданың  

дистанционды

 кезеңінің  бірінші туры 

Осы

 турдың есептері Удмуртияның Анисимов олимпиадасында беріледі. Бұл 

олимпиадада

 Удмуртияның оқушылары қатыса алмайды.  

1. Қабырғалары  11,  9,  7  жəне  5  болатын  квадраттар 

суреттегідей  орналасқан.  Сонда  сұр  түсті  аудандардың 

қосындысы  қара  түсті  аудандардың  қосындысынан  екі  есе 

үлкен  болып  шыққан.  Ақ  түсті  аудандардың  қосындысын 

табыңыздар.  

Жауабы. 42. Шешуі. Ақ аудандардың қосындысы x ал қара аудандардың қосындысы y 

болсын. Онда ақ жіне қара аудандардың қосындысы 

2

2

9

5

106

x

y

+ =

= +

 

болады, ал ақ 

жəне  сұр  аудандардың  қосындысы 

2

2

11

7

170

2

x

y

+

=

= +

 

болады.  Сонда  екінші 

теңдеуден 

64

y

=

 

екенін табамыз. Демек, 

106

42

x

y

=

− =

.    

2. Су  асты  патшалығында  тұратын  сегізаяқтардың  тек  6,  7  немесе  8  аяғы  ғана бар.  7 

аяғы  бар  сегізаяқтар  əрқашан  да  өтірік  айтады,  қалғандары  əрқашан  шындықты 

айтады.  Төрт  сегізаяқтарды  кездестірген  кезде  оның  Көгі  айтты:  «біздің 

барлығымыздың  аяқтар  саны  25-ке  тең»,  Жасылы  қарсы  шығып:  «жоқ,  барлығы  26 

аяқ» деді, ал Қызылы «барлығы 27», ал Сарысы «28 аяқ» деді. Əр сегізаяқта шынында 

қанша аяқтан бар? 

Жауабы. Қызылда 6 аяқ, қалғандарында 7 аяқтан. Шешуі. Егер барлығы өтірік айтса, 

онда  барлығы  өтірікші  деген  сөз.  Демек  оларда  барлығы  28  аяқ  болу  қажет.  Яғни 

Жасыл  дұрыс  айтты.  Қарама-қайшылық.  Яғни  осы  төртеуінің  арасында  шындықты 

айқан сегізаяқ бар жəне де сондай сегізаяқ (шындықты айтқан)  жалғыз ғана, өйткені 

кез келген екі айтылымдар бір-біріне қара-қайшы. Сондықтан үш сегізаяқта 7 аяқтан 

бар, ал біреуінде 6 немесе 8 аяқ бар. Бірақ шын айтқан сегізаяқта 8 аяқ болуы мүмкін 

емес, өйткені ешқайсысы 29 аяқ бар деп айтпады. Демек, шын айтқан сегізаяқта 6 аяқ 

бар, жəне ол 27-ні айтқан Қызыл сегізаяқ.   

3. ABC  үшбұрышында  M  нүктесі 



  AC  қабырғасының  ортасы,  жəне  BC = 2AC/3, 

∠

BMC= 2

∠

ABM екені белгілі. AM/AB қатынасын табыңыздар.  

Жауабы. 

3

2 5

AM

AB

=

. 

Шешуі. 

ABM

α

∠

=

 

болсын. 

Онда 

2

BMC

α

∠

=

, 

180

2

BMA

α

∠

=

° −

, 

180

BAM

ABM

AMB

ABM

α

∠

=

° − ∠

− ∠

= = ∠

, 

осыдан 

BM

AM

MC

=

=

 

екені  шығады.  Сонда 

BM

 

медиана 

AC

 

қабырғасының  жартысына 

тең болғаны. Демек, 

90

ABC

∠

= °

. 

Егер 

4

BM

m

=

 

деп алсақ, онда 

6

AC

m

=

, 

3

AM

m

=

, 

2

2

36

16

2

5

AB

m

m

m

=

−

=

 

екені  шығады. 

AM

-

ді 

AB

-

ға  бөле  отырып,  бізге  керек 

жауапты аламыз.  

4. Қабырғасы  2015  болатын  тор  квадраттан  тор  бойымен  қабырғасы  10  болатын 

бірнеше квадрат қиып алды. Үлкен квадраттың қалған бөлігінен: 

а) қабырғасы 1 жəне 10 болатын бір тіктөртбұрыш қиып алуға болатынын; 

б)  қабырғасы  1  жəне  10  болатын  бес  тіктөртбұрыш  қиып  алуға  болатынын 

дəлелдеңіздер.  

Шешуі.  Есептің  бірден  екінші  б)  бөлігін  дəлелдейік. 

2015 2015

×

  квадраттың 

көлденең  жатқан  ең  төмендегі  жəне  ең  сол  жақтағы   

1 10

×

  тіктөртбұрышын 

қарастырайық.  Егер  сол  тіктөртбұрыштың  ең  шеткі  оң  шаршысы  қиылмаған  болса, 

онда  сол  тіктөртбұрыштың  қалған  9  шаршысы  да  қиылмаған  болады.  Енді,  сол 

жақтан  санағандағы  10-шы  бағанды  қарастырайық. 

2015

  санын  10-ға  бөлгенде  5 

қалдық  қалғандықтан,  сол  бағанда  кемінде  5  шаршы  қиылмаған  болады.  Демек,  сол 

шаршылардан солға қарай  

1 10

×

 тіктөртбұрыштарын қиып алуға болады, ал олардың 

саны 5-тен кем емес.  

5. Екі  натурал  a  жəне  b  сандарының  қосындысы  да,  көбейтіндісі  де  натурал 

сандардың  квадраттары  екені  белгілі.    |16a–9b|  саны 



  жай  сан  емес  екенін 

дəлелдеңіз.  

Шешуі.  Егер  16a

−

9b = 0  болса,  онда  есеп  шарты  айқын.  Ары  қарай  16a

−

9b 

≠

 0  деп 

санайық.  

d = ЕҮОБ(a, b)  болсын.  Ондай  болса  қандай  бір  өзара  жай  m  жəне  n  сандары 

үшін  a = dm,  b = dn  болады.  Онда  ab = d

2

mn = c

2

.  Ал  m  жəне  n  сандарының  ортақ 

бөлгіштері  болмағандықан,  ол  сандардың  əрқайсысын  жай  сандардың  көбейтіндісі 

ретінде  келтіргенде,  əр  жай  сан  жұп  дəрежеде  болады.  Демек,  m  жəне  n    натурал 

сандардың квадраттары: m = u

2

, n = v

2

. 

Енді  d > 1 болсын.  Онда  |16a

−

9b| = d|((4u)

2

−

(3v

2

))| = d(4u+3v)|(4u

−

3v)|.  Ол  құрама 

сан, өйткені d > 1 жəне 4u+3v > 1. 

Ал d = 1 болса, онда |16a

−

9b| = (4u+3v)|(4u

−

3v)|. Егер |4u

−

3v| 

≠

 1, онда есеп щарты 

дəлелденді.  Кері  жағдайда  4u

−

3v = 

±

1  болу  керек,  яғни  4u = 3v

±

1.  Есеп  шарты 

бойынша  16(a+b) = 16f

2

 = 16u

2

+16v

2

 = (3v

±

1)

2

+16v

2

 = 25v

2

±

6v+1.  Бірақ  толық  квадрат 

болып келген 25v

2

 = (5v)

2

  санының оған көрші (5v

±

1)

2

 квадраттар арасындағы ең кіші 

қашықтық  (5v)

2

−

(5v

−

1)

2

 = 10v

−

1  санына  тең,  ал  ол  6v+1  санынан  үлкен.  Сондықтан 

(4f)

2

 = 16f

2

    саны  толық  квадрат  бола  алмайды  –  қарама-қайшылық.  Сонымен, 

4u

−

3v = 

±

1 жағдайы мүмкін емес.