Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Ляпуновтың екінші теоремасы (асимптотикалық орнықтылық туралы)
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
| Ляпуновтың екінші теоремасы (асимптотикалық орнықтылық туралы)
Егер (1) жүйе үшін анықталған таңбалы ақырсыз аз жоғарғы шегі бар функциясы табылып, оның (1) жүйеге сүйеніп алынған толық туындысы -мен таңбасы қарама-қарсы анықталған таңбалы функция болатын болса, онда (1) жүйенің нөлдік шешімі асимптотикалық орнықты болады. Дәлелдеу. Жай және бірқалыпты орнықтылық туралы теореманың бүкіл шарты орындалып тұрғандықтан (1) жүйенің нөдік шешімі бірқалыпты орнықты: . Енді үшін саны табылып, мына бастапқы шартты қанағаттандыратын (1) жүйенің нөлдік емес кез келген шешімі үшін теңдігі орындалатынын дәлелдейік. Анық болу үшін, теореманың шартындағы функциясын тағы да анықталған оң таңбалы деп есептейік. Ол үшін шешімінің бойында қарастырайық: Теореманың шарты бойынша Сондықтан функциясы монотонды кемімелі, бірақ төменнен шешелгендіктен ) арқылы шекке ие: Бұл санының нөлге тең екенін көрсетейік. Ол үшін бола алмайтынын дәлелдесек жеткілікті. Кері жорып болсын дейік. Онда теңсіздігінен функциясы үзіліссіз, анықталған оң таңбалы болғандықтан саны табылып, теңсіздігінің орындалатыны шығады, яғни шешімінің траекториясы радиусы -ге тең сфераның сыртында жататыны шығады (-сызба). -сызба Шынында да, егер бұлай болмаса тізбегі табылып, болғанда не болып теңдігі орындалар еді. Егер болса, яғни болса, онда мәнін бастапқы мән ретінде қарастырып нөлдік бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімі нөлдік шешім болатынын алар едік. Бұл біздің шешімі нөлдік емес деген тұжырымымызға қайшы. Егер де болса, онда функциясы ақырсыз аз шегі бар функция болғандықтан теңдігі алынар еді. Ал бұл болған жағдайда, (8) теңсіздікке қайшы. Себебі, егер функциясының болғандағы шегі болатын болса, онда кез келген тізбекше үшін де болуы керек. Сонымен . Теореманың шарты бойынша анықталған оң таңбалы. Сондықтан анықталған оң таңбалы функциясы табылып: Үзіліссіз функциясы : сақинасында өзінің ең кіші және ең үлкен мәндерін қабылдайды. болсын, онда Қарастырылып отырған мен функцияларындағы -тің орнына шешімін қойып, мына тепе-теңдікті қарастырайық: Бұдан теңсіздік негізінде болғанда теңсіздігін аламыз. Айнымалы -ның барынша үлкен мәнінде, атап айтқанда болғанда Ал бұл функциясының анықталған оң таңбалы екендігіне қайшы. Сонымен Бұл теңдіктен, анықталған оң таңбалы болғандығынан теңдігі алынады. Шынында да функциясы анықталған оң таңбалы болғандықтан, тек -тен ғана тәуелді анықталған оң таңбалы функциясы табылып теңсіздігі орындалады. Бұдан: теңдігі алынады. Ал болғандықтан айқын. Теорема толық дәлелденді. Ескере кететін жайт теңдіктің яғни шекке ұмтылудың мен бойынша бірқалыптылығы. №7 дәріс жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|