4.Ляпуновтың орнықтылық теоремасы бойынша , шартын қанағаттандыратын
(1)
теңдеуін орнықтылыққа зерттеу керек.
Шешуі: Берілген (1) теңдеу сызықтық біртексіз теңдеу. Оның жалпы шешімі . бастапқы шарты бойынша
(2)
теңдеуі (1) теңдеуді қанағаттандырады. бастапқы шартын
(3)
шешімі қанағаттандырады.
(3) және (2) теңдеулердің айырмасын қарастырып, (1) теңдеуді келесідей жазамыз:
Барлық үшін бар болады (мысалы, ), что для всякого решения уравнения (1), начальные значения которых удовлетворяют условию , выполняется неравенство
для всех . Анықтағанымыздай шешімі орнықты.
Более того, поскольку
решение является асимптотически устойчивым.
Это решение является неограниченным при .
Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.
5. Рассмотрим уравнение (2):
(4)
Оно имеет очевидные решения
(5)
Интегрируем уравенение (4)
oткуда
(6)
Все решения (5) и (6) ограничены на Однако решение неустойчиво при так, как при любом имеем Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения, вообще говоря, не следует устойчивости их (31-сурет)
Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.
6. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы
(7)
удовлетворяющее начальным условиям устойчиво.
Решение. Решение системы (7) удовлетворяющаее заданным начальным условиям, есть Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям имеет вид
Возьмем произвольное и покажем, что существует такое, что при имеют место неравенства
для всех
Это и будеть означать, согласно определению, что нулевое решение системы (7) устойчиво Ляпунову. Имеем, очевидно,
для всех Поэтому, если то и подавно
для всех
Следовательно, если, например, взять то при и в силу (8) будут иметь место неравенства (9) для всех т.е. действительно нулевое решение системы (7) устойчиво по ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.
