Практикум по алгебре



Pdf көрінісі
бет28/42
Дата10.12.2023
өлшемі0,63 Mb.
#135717
түріПрактикум
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   42
Байланысты:
moiseev 2

Задание
 7 
А

Составить
таблицу
Кэли
для
группы
G
:
 
1. 
G
— 
группа
движений
правильного
треугольника

2. 
G
— 
группа
подстановок
трех
элементов

3. 
G
— 
группа
функций
f
i

R
*
\{1}

R
*
\{1}, 
i=
1, ..., 6: 
f
1
(
x
)
=x
,
f
2
(
x
)
=
x
1
,
f
3
(
x
)
=
1–
x
,
f
4
(
x
)
=
1

x
x
,
f
5
(
x
)
=
x
x
1

,
f
6
(
x
)
=
x

1
1

относительно
композиции
функций

4. 
G
— 
группа
движений
правильного
тетраэдра
с
вершиной
А

оставляющих
неподвижной
вершину
А

5. 
G
— 
группа
вращений
правильного
шестиугольника

6. 
G
— 
группа
движений
квадрата

Б

Доказать

что
элементы
x
и
y
имеют
одинаковые
порядки

1. 
х
 = abcd

y = bcda

2. 
x = abcd

y = dabc

3. 
x = abc

y = bca
.
4. 
x = a

y = b
–1
ab

5. 
x = abc

y = cab

6. 
x = ab

y = ba

В

Доказать

что
следующее
множество
является
подгруппой
в
соответствую
-
щей
группе

1. 
Множество
нижних
треугольных
матриц
в
группе
всех
невырожденных
мат
-
риц
порядка
n

2. 
Множество
матриц
вида







a
b
b
a

где
a



R

в
группе
всех
невырожденных
матриц
порядка
2. 
3. 
H =
{
x

x=a
+
b
3 , 
a,b

Q

a
2
–2
ab =
1} 
в
группе

R
*

⋅〉

4.
Множество
верхних
треугольных
матриц
в
группе
всех
невырожденных
матриц
порядка
n

5. 
H=
{
π

π
(1) 
=
1} 
в
группе
подстановок
n
элементов
S
n



76 
6. 
Множество
квадратных
матриц
порядка
n

в
каждой
строке
и
каждом
столбце
которых
один
элемент
равен
1, 
а
остальные
элементы
равны
0. 
Г

Доказать
неизоморфность
групп

1. 

R
*

⋅〉
и

R
, + 


2. 

R
*
+

⋅〉
и

R
*

⋅〉

3. 

Z
, + 

и

Q
, + 


4. 

Q
*

⋅〉
и

Q
, + 


5. 

R
*

⋅〉
и

Q
*

⋅〉

6. 

Z
, +

и

R
*
+

⋅〉

Д

Пользуясь
теоремой
Кэли

выяснить

задает
ли
таблица
Кэли
группу
на
дан
-
ном
множестве

1. 

а

а
2
а
3
а
4
а
5
а
6
4. 

а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
1
а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
6
а
1
а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
2
а
2
а
1
а
4
а
3
а
6
а
5
а
2
а
2
а
1
а
4
а
5
а
3
а
3
а
3
а
5
а
1
а
6
а
2
а
4
а
3
а
3
а
5
а
1
а
2
а
4
а
4
а
4
а
6
а
2
а
5
а
1
а
3
а
4
а
4
а
3
а
5
а
1
а
2
а
5
а
5
а
3
а
6
а
1
а
4
а
2
а
5
а
5
а
4
а
2
а
3
а
1
а
6
а
6
а
4
а
5
а
2
а
3
а
1
2. 

а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
6
5. 

а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
1
а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
6
а
1
а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
2
а
2
а
3
а
4
а
3
а
6
а
1
а
2
а
2
а
1
а
5
а
3
а
4
а
3
а
3
а
4
а
5
а
6
а
1
а
2
а
3
а
3
а
4
а
1
а
5
а
2
а
4
а
4
а
5
а
6
а
1
а
2
а
3
а
4
а
4
а
5
а
2
а
1
а
3
а
5
а
5
а
6
а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
5
а
3
а
4
а
2
а
1
а
6
а
6
а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
3. 

а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
6
6. 

а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
1
а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
6
а
1
а
1
а
2
а
3
а
4
а
5
а
2
а
2
а
1
а
5
а
6
а
4
а
3
а
2
а
2
а
4
а
1
а
5
а
3
а
3
а
3
а
6
а
1
а
5
а
2
а
4
а
3
а
3
а
1
а
5
а
2
а
4
а
4
а
4
а
3
а
2
а
1
а
6
а
5
а
4
а
4
а
5
а
2
а
3
а
1
а
5
а
5
а
4
а
6
а
3
а
1
а
2
а
5
а
5
а
3
а
4
а
1
а
2
а
6
а
6
а
5
а
4
а
2
а
3
а
1


85 
Задание
 8 
1. 
Доказать

что
объединение
двух
подгрупп
группы
является
подгруппой
этой
же
группы
тогда
и
только
тогда

когда
одна
из
этих
подгрупп
содержится
в
другой
подгруппе

2. 
Доказать

что
конечная
подполугруппа
любой
группы
является
подгруппой
этой
группы

Остается
ли
верным
это
утверждение
для
бесконечных
подпо
-
лугрупп

3. 
Существуют
ли
бесконечные
группы

все
элементы
которых
имеют
конечный
порядок

4. 
Доказать

что
если
подгруппа
С
содержится
в
объединении
подгрупп
А
и
В

то
либо
С

А

либо
С

В

5. 
Доказать

что
если
коммутативная
группа
G
содержит
элементы
бесконечно
-
го
порядка
и
все
они
содержатся
в
подгруппе
H

то
H
=
G

6. 
Представить
группу
Q
в
виде
возрастающей
цепочки
циклических
подгрупп

Задание
 9 
1. 
а

Пусть
ϕ

G

G
1
— 
эпиморфизм
групп


<
G

Доказать

что
ϕ
(
H

<
G
1

б

Может
ли
группа
иметь
две
изоморфных
нормальных
подгруппы

фактор
-
группы
по
которым
не
изоморфны

2. 
а

Пусть
ϕ

G

G
1
— 
гомоморфизм
групп

H
1

G
1

Доказать

что
ϕ
–1
(
H
1
) < 
G

б

Пусть
Z
G
=
{
x
: (

a

G
)(
ax=xa
)}. 
Доказать

что
Z
G
 
<
G

Доказать

что
если
G
некоммутативная
группа

то
G
/
Z
G
не
циклическая
группа

3. 
а

Пусть
ϕ

G

G
1
— 
гомоморфизм
групп



G

Доказать

что
ϕ
(
H
) < 
G
1

б

Пусть
ϕ

G

G
1
— 
эпиморфизм
групп

Доказать

что
G
1
коммутативна
то
-
гда
и
только
тогда

когда
(

а
)(

b
)(
a
–1
b
–1
ab

Ker
ϕ
). 
4. 
а

Пусть
ϕ

G

G
1
— 
эпиморфизм
групп

H
1
<
G
1

Доказать

что
ϕ
–1
(
H
1

<
G

б

Может
ли
группа
иметь
не
изоморфные
нормальные
подгруппы

фактор
-
группы
по
которым
изоморфны

5. 
а

Пусть

<
G



G

Доказать

что
HT 
< G 
и

<
HT

б

Могут
ли
две
не
изоморфные
группы
иметь
изоморфные
нормальные
под
-
группы

фактор
-
группы
по
которым
изоморфны

6. 
а

Пусть

<
G



G

Доказать

что
H


<
T

б

Доказать

что
если
H
1
<
G
1

H
2
<
G
2

то
H
1
×
H
2
<
G
1
×
G
2



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   42




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет