Прикладная математика численные методы


Метод скорейшего спуска (градиента) для случая системы линейных алгебраических уравнений



бет16/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

3.8. Метод скорейшего спуска (градиента) для случая
системы линейных алгебраических уравнений


В рассматриваемом ниже итерационном методе вычислительный алгоритм строится таким образом, чтобы обеспечить минимальную погрешность на шаге (максимально приблизиться к корню).


Представим систему линейных уравнений в следующем виде:
(3.38)
Запишем выражение (3.38) в операторной форме:


(3.39)

Здесь приняты следующие обозначения:




; ; . (3.40)

В методе скорейшего спуска решение ищут в виде




, (3.41)

где и - векторы неизвестных на p и p+1 шагах итераций; вектор невязок на p-ом шаге определяется выражением




, (3.42)

а (3.43)


В формуле (3.43) используется скалярное произведение двух векторов, которое определяется следующей формулой:




(3.44)
В формуле (3.43) - транспонированная матрица Якоби, вычисленная на p-ом шаге. Матрица Якоби вектор – функции f(x) определяется как


(3.45)

Нетрудно убедиться, что для системы (3.39) матрица Якоби равна




(3.46)

Как и для метода простой итерации, достаточным условием сходимости метода градиента является преобладание диагональных элементов. В качестве нулевого приближения можно взять .




Замечания

  • Как видно из выражения (3.45), матрица Якоби не зависит от шага итерации.

  • Требования минимизации погрешности на каждом шаге обусловили то, что метод градиента более сложен (трудоемок), чем методы Якоби и Зейделя.

  • В методе градиента итерационный процесс естественно закончить при достижении , вектор невязок входит в вычислительную формулу.



Обсуждение

  • В приближенных методах можно обеспечить практически любую погрешность, если итерационный процесс сходится.

  • Итерационный процесс можно прервать на любом k–ом шаге и продолжить позднее, введя в качестве нулевого шага значения x(k).

  • В качестве недостатка приближенных методов можно отметить то, что они часто расходятся, достаточные условия сходимости (преобладание диагональных элементов) можно обеспечить только для небольших систем из 3 – 6 уравнений.



Пример 3.7. Методом скорейшего спуска решим систему уравнений



Так как диагональные элементы матрицы являются преобладающими, то в качестве начального приближения выберем:





Следовательно, вектор невязок на нулевом шаге равен





Далее последовательно вычисляем








Отсюда


причем

Аналогично находятся последующие приближения и оцениваются невязки. Что касается данного примера, можно отметить, что итерационный процесс сходится достаточно медленно (невязки уменьшаются).






Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет