Қр білім және ғылым министрлігі

25 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

13. 





2

2

C

d z

,

C : z

4

z

4







; 

14. 

z i

2

C

e d z

, C : z

2,5

z

4







; 

15. 





z

2

C

z e

d z

,

C : z 1

3

z i



 





; 

16. 





z

2

C

e d z

,

C : z

4

z

i

z



 



; 

17. 





z

2

C

e d z

,

z 1 z





      

C : z 1

0,7





; 

18. 





z

C

e d z

,

C : z

2,5

z 1 z







; 

19. 





4

C

d z

, C : z 3

2,5

z 1 z









; 

20. 

2

C

z 1

d z, C : z

3

z

4









; 

21. 

z i

C

e d z

, C : z 1

3

z

i

2

 



















; 

22. 





2

2

C

sin z

d z,

C : z

2

z 1







; 

23. 





i z

5

C

e

d z,

C : z

4

z



 



; 

24. 





2

C

cos z

d z,

C : z

1

2z 1









; 

25. 

3

2

C

z

d z, z

i

2,5

z

1









; 

26. 





z

2

2

C

e d z

,

z

2

z

2z 1









; 

27. 





z

2

z

e d z

z z

2





; 

28. 





1

2

2

z

d z

z z

1







; 

29. 

z

1

z 3

2

e d z

sin z

 



; 

30. 

2

2

z 1 2

sin z

3

dz

z

2 z

 



 



. 

 

ТЕЙЛОРА және ЛОРАН қатарлары 

 

Егер   

f (z)

  функциясы 

z

R, 0

R







 

a

  дөңгелегінің  ішінде  аналитикалық  болса, 

онда ол осы дөңгелектің ішінде Тейлор қатарына жіктеледі: 

2

0

1

2

f (z)

A

A (z

)

A (z

)

...













a

a

  немесе    

n

n

n 0

f (z)

A (z

)











a

, 

 

26 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

мұндағы,   

(n )

n

n 1

C

f

( )

1

f (z)

A

d z, n

0, 1, 2, ...

n!

2 i

(z

)















a

a

. 

(). 

Егер  

f (z)

функциясы 

r

z

R







a

,  

0

r

R

 

 

сақинасында аналитикалық болса, онда 

ол осы сақинада Лоран қатарына жіктеледі: 

 

2

3

2

1

0

1

2

3

2

A

A

A

f (z)

...

A

A (z

)

A (z

)

...

(z

)

(z

)

z

































a

a

a

a

a

 

 

немесе                                               

n

n

f (z)

A (z

)











a

, 

 

где                           

n

n 1

C

1

f (z)

A

d z, n

0, 1,

2, ...

2 i

(z

)

















a

         

 

(

C

 – центрі  

a

, 

r

z

R







a

 сақинасының ішіне тиісті кез-келген шеңбер ). 

 

1

2

3

2

3

A

A

A

...

z

(z

)

(z

)



















a

a

a

 

 

қатары 

Лоран 

қатарының 

бас 

бөлігі, 

ал  

2

3

0

1

2

3

A

A (z

)

A (z

)

A (z

)

...















a

a

a

    қатары  Лоран  қатарының  дұрыс  бөлігі  деп 

аталады.. 

Тейлор және Лоран қатарларына жіктелу тек жалғыз.  

 

 

Мысалы  15. 

f (z)

функциясының 

z

дәрежелері  бойынша 

D

облысындағы Тейлор  немесе  Ло-

ран қатарын жазыңдар:  

            а)  





1

f (z)

,

D z

3 ;

3 z







 

б)  





2

1

f (z)

, D z

1 ;

(z

i)







 

в)  





z

f (z)

, D 1

z

2 .

(z 1) (z

2i)











 

Шешуі.  а) 

1

f (z)

3 z





 функциясының 

z

3



 облысындағы дәрежелік қатары Лоран қатары 

болады, себебі,  берілген функция аналитикалық болатын облыс сақина болып табылады:  

3

z



 

. 

f (z)

функциясын келесі түрде жазайық:  

1

1 z

f (z)

3 z

1 3 z



 





. 

z  

нүктесінің  маңайында 

3 z

1



теңсіздігі  орындалады,  сондықтан 

1 z

1 3 z



  бөлшегін   

бірінші  мүшесі 

1

1 z



a

,  еселігі 

q

3 z



  болатын  ақырсыз  кемімелі  геометриялық  прогрессияның 

қосындысы түрінде жазуға болады: 

27 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

2

n

n

2

3

n 1

n 1

n 0

1

3

3

3

3

f (z)

...

...

z

z

z

z

z













 











 











. 

 

б) 

2

1

f (z)

(z

i)





  функциясының 

z

1



 облысындағы жіктелуі Тейлор қатары болады, себебі 

бұл функция аналитикалық болатын облыс дөңгелек. 

Тейлор қатарының коэффициенттерін анықтайық: 

2

3

4

f (z)

(z i) ; f (z)

2(z i) ; f (z)

( 2)( 3)(z i) ; ...;















 



 





 

 

(n )

n

(n 2)

f

(z)

( 1) (n 1) ! (z i)

; ... .





 





 

 

n 2

(n )

n

(n 2)

n

n

z 0

n 2

n 2

i

f

(z)

( 1) (n 1) ! i

( 1) (n 1) !

i (n 1) !.

i

i













 



 



 





 

 

2

1

f (z)

(z

i)





 функциясының 

z

1



 облысындағы Тейлор қатары былай жазылады. 

n 2

n

2

n

n

n

n

n 0

n 0

n 0

(n 1)! i

z

f (z)

(n 1) i i z

(n 1)i z .

n!























 









 

 

в) 

z

f (z)

(z 1) (z

2i)







 функциясының 

1

z

2





  облысындағы  облысындағы дәрежелік 

қатары  Лоран  қатары  болады,  себебі,    берілген  функция  аналитикалық  болатын  облыс  сақина  болып 

табылады:  

1

r

2





. 

f (z)

 функциясын қарапайым бөлшектерге жіктейміз: 

z

A

B

1 2i

4 2i

f (z)

,

A

,

B

,

(z 1)(z

2i)

z 1

z

2i

5

5























 

және 

1

z

2





ескеріп, мынаны жазуға болады  

A

B

1 z

1 2i

f (z)

A

B

.

z 1

z

2i

1 1 z

1 z 2i

















 

Сондықтан, 

n

n

n

n 1

n 1

n 1

n 0

n 0

( 1)

( 1)

z

f (z)

A

B

,

z

2

i



























  мұндағы  

1 2i

4 2i

A

,

B

5

5









. 

Мысалы  16. 





2

1

f (z)

z

3





функциясын  Лоран  немесе  Тейлор  қатарына  келесі  нүктелердің 

маңайында жіктеу керек: а) 

0

z

1;

 

   б) 

0

z

3.



 

 

Шешуі. а) Бұл функция 

0

z

1

 

  нүктесінің маңайында Тейлор қатарына жіктеледі: 

28 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 





1

1

1 4

z 3

4 (z 1)

1

z 1 4

 

 











. 

 

Соңғы  бөлшек   

z 1

1

4





,  облысында  ақырсыз  кемімелі  геометриялық  прогрессияның 

қосындысы, яғни   

1

1

z 1

z 1

4;

; q

.

4

4



 

 



a

 









2

n 1

2

3

n

n 1

z 1

z 1

1

1

z 1

...

;

z 3

4

4

4

4

















 







 

















 

 













2

n 1

2

3

2

n 1

n 1

z 1

1

1

z 1

1

n

... ;

z 1

.

z 3

4

4

4

4

z 3





























 

































 

 

б) 

0

z

3



  нүктесінің  маңайында  берілген  функция  Лоран  қатарына  жіктеледі.  Функция  





z 3



  -тің  теріс  дәрежесі  түрінде  жазылып  қойған.  Лоран  қатарына  жіктелудің  жалғыз  ғана 

болатынын ескеріп,  





2

1

z 3



   өрнегі функцияның Лоран қатарына жіктелуі болып шығады. 

Егер   

f ( )

0



a

болса,  онда 

a

  нүктесі  функцияның нөлі  деп  аталады.  Егер 

f (z)

функциясын 

Тейлор қатарына 

a

 нүктесінің маңайында жіктейтін болсақ,    

0

1

m 1

m

A

A

...

A

0,

A

0













 

болып, және сондықтан Тейлор қатары 

m

m 1

m

m 1

f (z)

A (z

)

A

(z

)

...















a

a

, 

түрінде болса, онда 

a

 нүктесі 

f (z)

функциясының 

m

-ші ретті немесе

m

 еселі нөлі деп аталады.    

Анықтамадан, егер 

a

 нүктесі 

m

-ші ретті нөл болса, онда  

(m 1)

(m)

f ( )

f ( ) ... f

( )

0,

f

( )

0.















a

a

a

a

 

a

  нүктесі 

f (z)

  функциясының 

m

-ші  ретті  нөлі  болуы  үшін,  осы  нүктенің  маңайында  келесі 

теңдіктің орындалуы қажетті және жеткілікті: 

m

f (z)

(z)(z

)

 

 a

, 

мұндағы  

(z)



 функциясы 

a

 нүктесінде аналитикалық, 

0

)

(



z



 функция. 

 

Мысалы 17. 

f (z)

cos z



 функциясының нөлдері мен олардың ретін анықта. 

 

Шешуі.  





z

k

k

0,

1,

2, ...

2





 







 – 1-ші ретті нөлдер, себебі 





2

z

k

cos z

sin z

0



  



 



. 

 

29 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Мысалы  18. 







2

2

2

z

1 z

3z

2

f (z)

z 1











  функциясының  нөлдері  мен  олардың  ретін 

анықта. 

Шешуі. 

z

i

 

 – 1-ші ретті нөлдер;  

z 1, z

2





 – 2-ші ретті нөлдер.  

 

f (z)

функциясының  аналитикалық  болуы  шарты  бұзылатын 

,

 

a

a

нүктесі  осы 

функцияның  ерекше  нүктесі  деп  аталады.  Ерекше 

a

  нүктесі 

f (z)

функциясының  оқшауланған 

ерекше  нүктесі  деп  аталады,  егер   

0

z

R







a

маңайы  табылып,  осы  маңайда  функция 

аналитикалық болса.а. 

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: