Расшифровка Заведующий кафедрой

84 
1 
23,5 
1 
8 
1 
23,5 
1 
8 
1 
23,5 
1 
8 
1 
23,5 
1 
8 
1 
23,5 
2 
33 
2 
33 
2 
33 
Ранговая сумма 1 
выборки 
333,5 
Ранговая сумма 
2выборки 
261,5 
Определяем, какая из ранговых сумм больше и обозначим её 𝑇
𝑥
: 333,5> 
261,5. 
𝑇
𝑥
= 333.5. 
Определит эмпирическое значение U-критерия Манна-Уитни можно по 
формуле:
𝑈
эмп
= (𝑛
1
∙ 𝑛
2
) +
𝑛
𝑥
∙ (𝑛
𝑥
+ 1)
2
− 𝑇
𝑥
, 
где 𝑛
1
– количество испытуемых в 1 группе; 
𝑛
2
– количество испытуемых в 2 группе; 
𝑛
𝑥
– количество испытуемых в группе с большей ранговой суммой; 
𝑇
𝑥
– большая из двух ранговых сумм. 
В нашем случае 𝑛
1
= 18, 
𝑛
2
= 16, 
𝑛
𝑥
= 18. 
𝑈
эмп
= (18 ∙ 16) +
18∙(18+1)
2
− 333,5 = 125,5. 
По таблице определяем критическое значение критерия Манна-Уитни:
𝑈
кр
= {
86, при 𝜌 = 0,05
70, при 𝜌 = 0,01
. 

85 
Сравнивая критические значения с эмпирическим, получаем, что 𝑈
эмп
>
𝑈
кр
. Значит принимаем гипотезу 𝐻
0
: уровень навыка решать задачи в 
экспериментальной группе соответствует уровню контрольной группы. 
Проведём аналогичные вычисления для вычисления критерия для 
диагностики, проведённой после эксперимента (таблица 8).
Таблица 8 – Расчёт U-критерия Манна-Уитни для итогового контроля 
Экспериментальная группа 
Контрольная группа 
Значение 
Ранг 
Значение 
Ранг 
0 
2,5 
0 
2,5 
0 
2,5 
0 
2,5 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
1 
10 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
2 
21,5 
3 
30 
3 
30 
3 
30 
3 
30 
3 
30 
4 
33,5 
4 
33,5 

86 
Ранговая сумма 1 
выборки 
419 
Ранговая сумма 2 
выборки 
176 
Большая ранговая сумма 𝑇
𝑥
= 419, значит 
𝑛
𝑥
= 18. 
𝑈
эмп
= (18 ∙ 16) +
18∙(18+1)
2
− 419 = 40. 
𝑈
кр
= {
86, при 𝜌 = 0,05
70, при 𝜌 = 0,01
. 
𝑈
эмп
< 𝑈
кр
, значит принимаем альтернативную гипотезу 𝐻
1
: уровень 
навыка решения задач экспериментальной группы не совпадает с уровнем 
контрольной группы. 
2.5.2 Критерий Крамера-Уэлча 
Критерий Крамера-Уэлча имеет прозрачный смысл - разность выборочных 
средних арифметических для двух выборок делится на естественную оценку 
среднего квадратического отклонения этой разности. Естественность указанной 
оценки состоит в том, что неизвестные статистике дисперсии заменены их 
выборочными оценками. 
Будем вычислять эмпирическое значения критерия Крамера – Уэлча по 
формуле:
𝑇
эмп
=
√𝑀 ∗ 𝑁|𝑥̅ − 𝑦̅|
√𝑀 ∗ 𝐷
𝑥
+ 𝑁 ∗ 𝐷
𝑦
, 
где M – объём первой выборки;
N – объём второй выборки;
𝑥̅ – выборочное среднее первой выборки;
𝑦̅ – выборочное среднее второй выборки;
𝐷
𝑥
– выборочная дисперсия первой выборки;
𝐷
𝑦
– выборочная дисперсия второй выборки. 
Среднее арифметическое 𝑥̅ выборки {𝑥
𝑖
}
𝑖 =1…𝑁
рассчитывается по формуле: 

87 
𝑥̅=
1
𝑁
( 
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 𝑥
3
+ ⋯ + 𝑥
𝑛−1
+ 𝑥
𝑛
)=
1
𝑁
∑
𝑥
𝑖
𝑁
𝑖=1
. 
Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
𝐷
𝑥
= 
1
𝑁−1
∑
(𝑥
𝑖
− 𝑥 
̅
𝑁
𝑖=1
)
2
. 
Рассчитаем эмпирический критерий Крамера-Уэлча для стартовой 
диагностики (таблица 9). 
M = 18; N = 16; 
𝑥̅ = 0,78, 𝑦̅ = 0,56. 
Таблица 9 – Расчёт критерия Крамера-Уэлча для стартового контроля 
№ 
Экспериментальная 
группа 
Контрольная 
группа 
(𝑥
𝑖
− 𝑥 
̅ )
2
(𝑦
𝑖
− 𝑦 
̅ )
2
1 
1 
2 
0,05 
2,07 
2 
0 
1 
0,60 
0,19 
3 
0 
1 
0,60 
0,19 
4 
1 
0 
0,05 
0,32 
5 
1 
0 
0,05 
0,32 
6 
0 
0 
0,60 
0,32 
7 
1 
1 
0,05 
0,19 
8 
2 
0 
1,49 
0,32 
9 
1 
0 
0,05 
0,32 
10 
1 
0 
0,05 
0,32 
11 
2 
1 
1,49 
0,19 
12 
0 
1 
0,60 
0,19 
13 
1 
0 
0,05 
0,32 
14 
0 
1 
0,60 
0,19 
15 
1 
1 
0,05 
0,19 
16 
0 
0 
0,60 
0,32 
17 
1 
- 
0,05 
18 
1 
- 
0,05 
Сумма 
14 
9 
7,11 
5,94 
Получаем 
𝐷
𝑥
= 0,42; 
𝐷
𝑦
= 0,14. 
𝑇
эмп
=
√18 ∙ 16|0,78 − 0,56|
√18 ∙ 0,42 + 16 ∙ 0,14
= 1,171 
𝑇
кр
= 1,96 
𝑇
эмп
< 𝑇
кр

88 
Из этого можно сделать вывод, что гипотеза о совпадении уровней навыка 
решать задачи в контрольной и экспериментальной группе до начала 
эксперимента принимается на уровне 0,05. 
Далее проведём расчёты по данным, полученным после эксперимента 
(таблица 10). 
M = 18; N = 16; 
𝑥̅ = 2,33, 𝑦̅ = 1. 
Таблица 10 – Расчёт критерия Крамера-Уэлча для итогового контроля 
№ 
Экспериментальная группа Контрольная группа 
(𝑥
𝑖
− 𝑥 
̅ )
2
(𝑦
𝑖
− 𝑦 
̅ )
2
1 
4 
2 
2,78 
1 
2 
3 
2 
0,44 
1 
3 
2 
1 
0,11 
0 
4 
2 
1 
0,11 
0 
5 
1 
0 
1,78 
1 
6 
2 
1 
0,11 
0 
7 
3 
1 
0,44 
0 
8 
2 
1 
0,11 
0 
9 
1 
0 
1,78 
1 
10 
1 
0 
1,78 
1 
11 
4 
1 
2,78 
0 
12 
2 
2 
0,11 
1 
13 
3 
1 
0,44 
0 
14 
2 
1 
0,11 
0 
15 
3 
2 
0,44 
1 
16 
3 
0 
0,44 
1 
17 
2 
- 
0,11 
18 
2 
- 
0,11 
Сумма 
42 
16 
14 
8 
Получаем 
𝐷
𝑥
= 0,82; 
𝐷
𝑦
= 0,07. 
𝑇
эмп
=
√18 ∙ 16|2,33 − 1|
√18 ∙ 0,82 + 16 ∙ 0,07
= 5,676 
𝑇
кр
= 1,96 
𝑇
эмп
> 𝑇
кр
Из данных вычислений можно сделать вывод, что уровень навыка решать 
задачи в экспериментальной группе отличается от уровня контрольной группы, 
т.е. принимается нулевая гипотеза. 

89 
2.5.3 t-критерий Стьюдента 
Традиционно для проверки однородности используют t-критерий 
Стьюдента. Основным достоинством критерия является его широта 
использования. Как и в нашем случае, он может быть использован для сравнения 
средних у связных и несвязных выборок. Можно отметить и то обстоятельство, 
что выборки могут быть не одинаковы по величине. 
Проведём расчёт t-критерия Стьюдента для входной диагностики (таблица 
11). 
Таблица 11 – Расчёт t-критерия Стьюдента для входной диагностики 
№ 
Выборки 
Отклонение от среднего 
Квадраты отклонений 
Экспериме-
нтальная 
группа 
Контрольная 
группа 
Экспериме-
нтальная 
группа 
Контрольная 
группа 
Экспериме-
нтальная 
группа 
Контрольная 
группа 
1 
1 
2 
0,28 
1,28 
0,08 
1,63 
2 
0 
1 
-0,72 
0,28 
0,52 
0,08 
3 
0 
1 
-0,72 
0,28 
0,52 
0,08 
4 
1 
0 
0,28 
-0,72 
0,08 
0,52 
5 
1 
0 
0,28 
-0,72 
0,08 
0,52 
6 
0 
0 
-0,72 
-0,72 
0,52 
0,52 
7 
1 
1 
0,28 
0,28 
0,08 
0,08 
8 
2 
0 
1,28 
-0,72 
1,63 
0,52 
9 
1 
0 
0,28 
-0,72 
0,08 
0,52 
10 
0 
0 
-0,72 
-0,72 
0,52 
0,52 
11 
2 
1 
1,28 
0,28 
1,63 
0,08 
12 
0 
1 
-0,72 
0,28 
0,52 
0,08 
13 
1 
0 
0,28 
-0,72 
0,08 
0,52 
14 
0 
1 
-0,72 
0,28 
0,52 
0,08 
15 
1 
1 
0,28 
0,28 
0,08 
0,08 
16 
0 
0 
-0,72 
-0,72 
0,52 
0,52 
17 
1 
- 
0,28 
- 
0,08 
18 
1 
- 
0,28 
- 
0,08 
Суммы: 
13 
9 
0,00 
-2,56 
7,61 
6,35 
Среднее: 
0,72 
0,56 
Для нахождения эмпирического критерия Стьюдента воспользуемся 
формулой: 

90 
𝑡
эмп
=
|𝑀
1
− 𝑀
2
|
√
𝜎
1
2
𝑁
1
+
𝜎
2
2
𝑁
2
, 
где 𝑀
1,2
– среднее арифметическое первой и второй выборки, 
𝑁
1,2
– объём выборок,
𝜎
1,2
– стандартное отклонение каждой выборки. 
Результаты для экспериментальной группы: 
𝑁
1
= 18; 
𝑀
1
= 0,72; 
𝜎
1
= √
∑(𝑥
𝑖
− 𝑀
1
)
2
𝑛−1
= 0,67. 
Для контрольной группы:
𝑁
2
= 16; 
𝑀
2
= 0,56; 
𝜎
2
= 0,65. 
𝑡
эмп
=
|0,72 − 0,56|
√0,67
2
18 +
0,65
2
16
= 0,705 
Степень свободы 𝑑𝑓 = 𝑁
1
+ 𝑁
2
− 2 = 32.
𝑡
кр
= {
2,037, при 𝜌 = 0,05
2,738 , при 𝜌 = 0,01
 
Ось значимости: 

91 
Из того, что 𝑡
эмп
< 𝑡
кр
принимается нулевая гипотеза 𝐻
0
: уровень навыка 
решать задачи в экспериментальной группе соответствует уровню контрольной 
группы. 
Аналогично вычислим t-критерий Стьюдента для диагностики после 
эксперимента (таблица 12). 
Таблица 12 – Расчёт t-критерия Стьюдента для итоговой диагностики 
№ 
Выборки 
Отклонение от среднего 
Квадраты отклонений 
Экспериме-
нтальная 
группа 
Контрольная 
группа 
Экспериме-
нтальная 
группа 
Контрольная 
группа 
Экспериме-
нтальная 
группа 
Контрольная 
группа 
1 
4 
2 
1,67 
-0,33 
2,78 
0,11 
2 
3 
2 
0,67 
-0,33 
0,44 
0,11 
3 
2 
1 
-0,33 
-1,33 
0,11 
1,78 
4 
2 
1 
-0,33 
-1,33 
0,11 
1,78 
5 
1 
0 
-1,33 
-2,33 
1,78 
5,44 
6 
2 
1 
-0,33 
-1,33 
0,11 
1,78 
7 
3 
1 
0,67 
-1,33 
0,44 
1,78 
8 
2 
1 
-0,33 
-1,33 
0,11 
1,78 
9 
1 
0 
-1,33 
-2,33 
1,78 
5,44 
10 
1 
0 
-1,33 
-2,33 
1,78 
5,44 
11 
4 
1 
1,67 
-1,33 
2,78 
1,78 
12 
2 
2 
-0,33 
-0,33 
0,11 
0,11 
13 
3 
1 
0,67 
-1,33 
0,44 
1,78 
14 
2 
1 
-0,33 
-1,33 
0,11 
1,78 
15 
3 
2 
0,67 
-0,33 
0,44 
0,11 
16 
3 
0 
0,67 
-2,33 
0,44 
5,44 
17 
2 
- 
-0,33 
- 
0,11 
18 
2 
- 
-0,33 
- 
0,11 
Суммы: 
42 
16 
0,00 
-21,33 
14,00 
36,44 
Среднее: 
2,33 
1,00 
Результаты для экспериментальной группы: 
𝑁
1
= 18; 
𝑀
1
= 2,33; 
𝜎
1
= 0,91. 
Для контрольной группы:
𝑁
2
= 16; 
𝑀
2
= 1; 
𝜎
2
= 1,56. 

92 
𝑡
эмп
=
|2,33 − 1|
√0,91
2
18 +
1,56
2
16
= 2,999 
𝑡
кр
= {
2,037, при 𝜌 = 0,05
2,738 , при 𝜌 = 0,01

жүктеу/скачать 1,52 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: