2.10. Применение правила циклов к графу связей
Правило циклов [24] позволяет для направленного графа или структурной схемы записать передаточную функцию между любыми ее входами и выходами. В соответствии с этим правилом передаточная функция графа определяется как
, (2.34)
где – определитель графа;
– передаточная функция -го пути между заданными входом и выходом;
– определитель сокращенного графа, образующегося в результате исключения пути с передаточной функцией и вершин, через которые этот путь проходит, из исходного графа.
Определитель графа может быть записан следующим образом:
, (2.35)
где – -е произведение передаточных функций циклов для циклов графа, взятых из множества независимых циклов. Сумма берется по всевозможным таким комбинациям.
Поясним некоторые из используемых терминов. Циклом называется замкнутый контур в графе или структурной схеме. Передаточная функция цикла определяется как произведение передаточных функций всех звеньев, входящих в цикл.
Независимыми называются циклы, не касающиеся друг друга, т.е. не имеющие в структурной схеме общих точек.
В формуле (2.35) – функция -го контура, – произведение передаточных функций двух не касающихся друг друга контуров, – произведение передаточных функций трех взаимно не касающихся контуров и т.д.
Например, в структурной схеме двигателя постоянного тока, приведенной на рис. 2.27, есть два цикла и с передаточными функциями
Циклы касаются друг друга, так как имеют общий участок, включающий сумматор и звено с передаточной функцией , поэтому определитель
.
Рис. 2.27. Применение правила циклов
к структурной схеме
Прямой путь от входного воздействия к выходной величине проходит через элементы с передаточными функциями . Соответственно, передаточная функция этого пути равна
.
Этот путь касается обоих циклов, поэтому сокращенный граф циклов не имеет. Тогда , а передаточная функция двигателя определится как
.
Путь от возмущающего момента нагрузки определяется выражением
.
Этот путь не касается цикла , поэтому определитель сокращенного графа
,
а передаточная функция двигателя по возмущению
.
Вся информация, необходимая для расчета передаточной функции, есть, очевидно, и в графе связей, так как из него можно получить структурную схему, к тому же в различных вариантах. Рис. 2.28, а иллюстрирует поиск пути и циклов и в графе связей рассмотренной выше модели двигателя.
Путь в ГС проходит вдоль связей, не меняющих направления причинности в узлах графа. Изменение причинности (т.е. изменение усилия на поток и обратно) может происходить только в односвязных элементах () и в гираторе.
Рис. 2.28. Пути и циклы в графе связей
Циклы в ГС, как это показано на рис. 1.28, c, образуются цепочками связей, сохраняющими направление причинности и заканчивающимися на обоих концах односвязными элементами . Отметим, что источники энергии в циклы входить не могут. Как это показано на рис. 2.29, цикл может включать последовательность 0-узлов и 1-узлов (рис. 2.29, а), трансформаторы (рис. 2.29, b) и гираторы (рис. 2.29, c). Передаточные функции циклов на рис. 2.29, a, b, c имеют вид, соответственно:
Коэффициенты передачи трансформаторов и гираторов входят в передаточную функцию цикла в квадрате, поскольку цикл проходит через них дважды: один раз в прямом направлении, другой раз – в обратном.
Циклы, образуемые цепочками связей, называются плоскими циклами.
Рис. 2.29. Примеры плоских циклов
Рассмотрим решение задачи расчета передаточной функции механизма с редуктором, граф которого приведен на рис. 2.30.
Рис. 2.30. Циклы в графе связей
Передаточная функция единственного прямого пути , проходящего последовательно через инерционность , трансформатор , емкость и инерционность определяется произведением передаточных коэффициентов перечисленных элементов
Граф содержит 5 циклов, отмеченных штриховыми линиями в графе. Передаточные функции циклов
Для того чтобы найти все пары, тройки и т.д. не касающихся циклов, удобно построить вспомогательный граф (рис. 2.30, b), в котором каждая вершина соответствует одному из циклов, а дуга между вершинами проводится, если циклы не касаются.
Каждая дуга в этом графе соответствует паре не касающихся циклов. Таких пар пять: .
Вспомогательный граф наглядно показывает также тройку независимых циклов , которая образует в треугольник. Четверок независимых циклов, которые образовали бы четырехугольник, здесь нет. Таким образом, определитель графа связей можно записать как
Путь не касается только цикла , поэтому а передаточная функция системы имеет вид
.
После необходимых подстановок получим
При использовании правила циклов необходимо учитывать, что знак передаточной функции цикла в ГС всегда отрицательный. Это следует из того, что полустрелки на концах цепочки связей в цикле, как это видно из рис. 2.29, всегда направлены в противоположные стороны. Для определения знака передаточной функции пути тоже не обязательно просматривать все изменения знака в цепочке связей, достаточно сравнить направления полустрелок в начале и конце пути.
2.11. Общие принципы графического представления
технических систем в пакетах
автоматизированного моделирования
Аппарат графов связей представляет собой хороший инструмент для аналитического моделирования, для получения математических моделей систем и объектов. Однако использование элементов графов связей в автоматизированном моделировании имеет ряд недостатков.
Во-первых, структура в виде графа связей является слишком детальной при описании сложных систем, например механических объектов в пространственном движении. Модель становится необозримой и сложной для восприятия. Во-вторых, аппарат графов связей непривычен специалистам предметных областей. Более предпочтительными являются электрическая схема при исследовании электрических систем, или кинематическая механическая цепь, при исследовании пространственных механизмов. Эти сложности заставляют искать в рамках компонентного моделирования другие формы задания графической информации об объекте.
Проблемы моделирования систем с элементами различной физической природы неоднократно поднимались и рассматривались рядом исследователей. В России заслуживает внимания группа авторов, опубликовавших ряд работ по теоретическим проблемам моделирования сложных физически неоднородных систем и реализовавших свои идеи в виде достаточно эффективного для своего времени пакета прикладных программ [1, 6]. Эти работы тем более заслуживают внимания, что многие изложенные в них идеи явно проглядывают в современных пакетах визуального моделирования.
Практически, в разработанном пакете присутствовали все те главные особенности пакетов автоматизированного моделирования, которые допускал уровень развития технических средств, а именно, графическое представления исходной информации о моделируемой системе, использование библиотек моделей компонентов, использование компонентов как с направленными, так и не направленными связями, использование информационных и энергетических связей и т.д.
Рассмотрим вкратце основные идеи упомянутых работ и сравним их с возможностями современных пакетов визуального моделирования.
В [1] в качестве графической формы модели введена так называемая формализованная схема, являющаяся некоторым обобщением других типов схем: структурной, принципиальной, кинематической, графа связей. В рамках такой схемы каждая часть моделируемой системы представляется наиболее удобным для нее способом.
Формализованная схема может включать типовые элементы с двумя типами связей. Связи первого типа называются информационными. Такие связи отражают передачу сигналов или информации в системе и полностью соответствуют связям, используемым при построении функциональных и структурных схем. Направление передачи сигнала отображается на информационной связи стрелкой. В зависимости от направления стрелки информационная связь может быть входом или выходом элемента.
Связи второго типа отражают передачу энергии в системе и называются энергетическими. Такие связи используются при моделировании физических объектов, в частности, электрических схем, исполнительных механизмов и приводов. Эти связи подобны связям в ГС.
Формализованная схема определена как произвольная совокупность элементов, внешние связи которых соединяются в точках, называемых узлами схемы. Если пронумеровать узлы схемы числами от 0 до , то совокупности узлов можно поставить в соответствие вектор переменных , называемый по аналогии с электрическими цепями вектором потенциальных переменных.
Энергетические связи в формализованной схеме называются ветвями схемы. Совокупности ветвей, пронумерованных в схеме числами от 1 до , ставится в соответствие вектор потоковых переменных . Для потоковых переменных выполняется правило: их алгебраическая сумма в каждом узле схемы равна нулю. Таким образом, потоковые переменные – это аналог токов в электрических цепях.
Однако, в отличие от электрических цепей, потенциальные и потоковые переменные могут быть не только скалярными, но и векторами произвольной размерности.
Частным случаем формализованной схемы является структурная схема. Она строится с использованием типовых звеньев, соединенных информационными направленными связями. В структурной схеме присутствуют только потенциальные переменные, связанные с узлами схемы. Потоковых переменных в структурной схеме нет. На рис. 2.31 представлена структурная схема в нотации пакета REMOS [6].
Данная схема описывается вектором переменных схемы . Из них переменные и – переменные входа и выхода.
На рис. 2.32 аналогичная схема представлена в нотации MATLAB/Simulink. Современный графический интерфейс пакета Simulink позволил отказаться от нумерации связей в структурной схеме.
Рис. 2.31. Структурная схема в нотации пакета REMOS
Рис. 2.32. Структурная схема в нотации MATLAB/Simulink
Приведенные определения позволяют наиболее естественным образом представлять структуру объектов различной физической природы и их систем управления. Например, электрическая цепь может быть представлена своей принципиальной схемой, построенной из типовых элементов (резисторов, емкостей, транзисторов и др.). Для примера на рис. 2.33 приведена простая электрическая схема с энергетическими связями. В ней узлам с номерами 0, 1, 2 соответствуют потенциальные переменные – электрические потенциалы . Ветвям, номера которых отмечены в скобках, соответствуют потоковые переменные – электрические токи .
При моделировании механических объектов удобно использовать подход, эквивалентный методу графов связей, с учетом некоторых изменений в принятой терминологии и в условных обозначениях элементов.
Потоковыми переменными в механических системах удобно считать силы и моменты сил, а потенциальными – линейные и угловые скорости. В этом случае 1-узел графа связей может изображаться в схеме просто точкой соединения связей, т.е. узлом схемы, и жесткое соединение твердых тел (рис. 2.11) отображается в схеме более наглядно – просто соединением связей элементов в узле схемы.
Подвижное соединение твердых тел, которое на ГС отображается 0-узлом (рис. 2.12), в схеме отображается элементом, называемым одномерным кинематическим 1-узлом. В названии элемента отражается свойство узла предоставлять одну степень свободы в относительном движении.
С учетом введенных изменений любой граф связей может быть изображен в виде схемы с использованием соответствующих элементов. Для иллюстрации на рис. 2.34 приведена схема механической вращательной системы, соответствующая графу связей, построенному на рис. 2.17. В этой схеме пронумерованы узлы, которым соответствуют угловые скорости и ветви (номера ветвей даны в скобках), которыми соответствуют вращающие моменты .
Достоинством формализованной схемы является возможность использования моделей механических элементов с векторными энергетическими связями в качестве компонентов для моделирования пространственного движения механизмов. Такие элементы могут быть построены, в частности, с использованием аппарата графов связей. Примеры формирования сложных компонентов механических цепей рассмотрены в работах [1, 6].
На рис. 2.35 приведена модель вращательной кинематической пары, ось вращения которой параллельна осям и , в результате чего все звенья движутся в плоскости .
Рис. 2.35. Модель вращательной кинематической пары:
Достарыңызбен бөлісу: |
