Реферат Тақырыбы: «Кристалл үшін Шредингер теңдеуі»
жүктеу/скачать 95,58 Kb.
|
Шредингер теңдеуі және оның шешімдері
- Бұл бет үшін навигация:
- Шредингер теңдеуін шешу мысалдары
| Шредингер теңдеуі
Толқындық функция микробөлшектер күйінің негізгі сипаттамасы. Кванттық механикада толқындық функция арқылы осы күйдегі берілген объекті сипаттайтын физикалық шаманының орташа мәнін есептеуге болады. Күйдің уақыт бойынша өзгеруі, яғни микробөлшектер динамикасы, релятивистік емес жағдайда, кванттық теориялардың негізі болып табылатын Шредингердің стационар емес теңдеуімен сипатталады , (11.3) мұндағы - жорамал бірлік; - бөлшек массасы; - Лаплас операторы; - микробөлшектің потенциалдық энергиясы. Бұл теңдеуді қандай да бір классикалық физиканың заңдарынан қорытылып шығарылмайды. Классикалық физикада Ньютонның екінші заңы қандай рөл атқарса, релятивистік емес кванттың механикада Шредингер теңдеуі дәл сондай рөл атқарады. Кванттық механикада микробөлшек стационар күш өрісінде орналасқан және оның потенциалдық энергиясы уақытқа тәуелді емес болатын, стационар есептер көптеп кездеседі. Бұл жағдайда Шредингердің стационар теңдеуі қолданылады . (11.4) Бұл теңдеудегі параметрінің мағынасы бөлшектің толық энергиясы, ал бұл теңдеудің шешімі кеңістіктік координатар функциясы болып табылады. Шредингер теңдеуі дербес туындылы теңдеу және оның шешімі үшін бастапқы және шекаралық шарттар берілуі қажет. Берілген жағдайда, (11.4) теңдеуін қанағаттандыратын функциясы меншікті функция, ал теңдеудің шешімінен шығатын энергия мәндері меншікті мәндер деп аталады. Шредингер теңдеуін шешу мысалдары Бірөлшемді шексіз терең потенциалдық шұңқырдағы микробөлшектің күйі. Массасы m бөлшек Ох осі бойымен ғана қозғалсын. Бөлшектің қозғалысы шұңқырдың қабырғаларымен шектеулі, қабырғалардың координаталары x=0 және x=L. Мұндай өрістегі бөлшектің потенциалдық энергиясы 11.1 - суретте көрсетілген. Бөлшектің функциясы х координатасына ғана тәуелді болғандықтан, Шредингердің (11.4) стационарлық теңдеуі мына түрде жазылады (11.5) Бөлшек шұңқырдан шыға алмайды, сондықтан және аймақтарда . Пси-функцияның үздіксіздік шартынан шығатыны, шұңқырдың шекараларында ол нөлге тең болуы қажет 11.1 сурет . (11.6) Шекаралық шарт - (11.6) теңдеуі (11.5) теңдеуіне қосымша. Шұңқырдың шектерінде (бұл аймақта ) (11.5) өрнегі мына түрде жазылады . (11.7) Бұл теңдудің шешімін табу дегеніміз, бөлшектің (знергетикалық спектр) толық энергиясының мүмкін мәндерін және осы мәндерге сәйкес келетін толқындық функциясын табу. Жоғарыдағы (11.7) теңдеуі – тербелістер теориясындағы белгілі теңдеу. Ол (11.6) шартты энергияның мына мәндерінде қанағаттандырады , (11.8) мұндағы - бүтін сандар. Бұл нәтиже микробөлшектің потенциалдық шұңқырдағы энергетикалық спектрі дискретті және бөлшек энергиясы квантталатынын көрсетеді. Ал энергияның кванттық мәндері - энергия деңгейлері, n-бас кванттық сан деп аталады. Бөлшектің меншікті функциясы (11.8) өрнегіне сәйкес, , . (11.9) Нормалау (11.2) шартынан коэффициенті табылады, 11.2 сурет және (11.9) өрнегі мына түрде жазылады . (11.10) Бөлшектің потенциалдық шұңқырдағы энергетикалық деңгейлері 11.2 –суретте (а), сонымен қатар функциясының сызбасы (б) және координатасы х нүкте айналасында бөлшектің болуының (в)- ықтималдық тығыздығының сызбалары келтірілген. Кванттық және классикалық бөлшектердің айырмашылықтары 11,2- суретте сипатталған. Классикалық бөлшек шұңқырда кез-келген энергияға ие бола алады және шұңқыр түбіндегі тыныштықтағы бөлшек үшін . Ал кванттық бөлшек спектрі дискретті, оның ең аз энергиясы n=1 мәніне сәйкес келеді және ол нөлге тең болмайды. Кванттық бөлшек тыныштықта боуы мүмкін емес. Классикалық бөлшек шұңқырдың кез келген нүктесінде болу ықтималдығы бірдей. Кванттық бөлшектің, мысалы ең төменгі n=1 энергетикалық деңгейде шұңқырдың ортаңғы бөлігінде болу ықтималдығы ең жоғары болады, ал шұңқырдың шет жағында кез-келген деңгейде бөлшектің табылу ықтималдығының тығыздығы нөлге тең. жүктеу/скачать 95,58 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|