Реферат Тақырыбы: «Пифагор теоремасын басқа тәсілмен дәлелдеу»
жүктеу/скачать 1,77 Mb. Pdf көрінісі
|
|
(580 – 500)
Реферат Тақырыбы:
Жетекшілер: Намазбаева М.К. Такирова Н.Т. Ханапия Б. Орындаған: Жас математикатер тобы Павлодар 2012 Мазмұны
І. Кіріспе ...........................................................................................................6-7 ІІ. Негізгі бөлім:
1. Пифагор теоремасы жайында ........................................................................9 2.Теореманы дәлелдеу тәсілдері..................................................................10-16 а) Теореманы дәлелдеудің бірінші тәсілі ә) Теореманы дәлелдеудің екінші тәсілі
б) Теореманы дәлелдеудің үшінші тәсілі в) Теореманы дәлелдеудің төртінші тәсілі
г) Теореманы дәлелдеудің бесінші тәсілі
д) Теореманы дәлелдеудің алтыншы тәсілі е) Теореманы дәлелдеудің жетінші тәсілі
3. Сипаттау.....................................................................................................17-24 ІІІ. Қорытынды............................................................................................ .25-26
ІҮ. Пайдаланған әдебиеттер тізімі...................................................................27
Кіріспе Еліміздің тәуелсіздігі бүгінгі күні қоғамымыздағы интеллектуалдық еңбек үлесінің өсуі нәтижесінде өмірге ертең араласатын жеткіншектердің білім деңгейіне, әр адамның қабілеті мен шығармашылық әлеуетінің дамуына, оның кәсіптік икемділігіне қойылатын талаптар да күннен күнге арта түсуде. Елбасы Н.А. Назарбаев Еуразия ұлттық университетінде оқыған лекциясында: «Білімді, сауатты адамдар – бұл ХХІ ғасырда адамзат дамуының негізгі қозғаушы күші» - деп атаған [1]. Қазіргі заманғы білім берудің перспективалық міндеті – ол сындарлы ойлай білетін және ақпараттар ағынында бағдар ала білуге қабілетті адамдарды даярлау. Орта білім белсенді, білімді және табыстарға бағдарланған тұлғаларды тәрбиелеуге жауап береді. Оқушылар «ешқашан бастауды тоқтатпа, ешқашан тоқтауды бастама» деген ақиқаттан адаспауы тиіс [2]. Математикалық ұғымдар, аксиомалар мен анықтамалар және қорытындылар (теоремалар және салдарлар) нақтылы өмірде бар болатын әртүрлі заттардың, онда болып жатқан құбылыстар мен өтіп жатқан процестердің өздеріне тән жалпы қасиеттерінің біздің санамызда бейнеленуі болып табылады. Академик А.Н. Колмогоров: «Математик әрқашан реалды құбылыстардың әртүрлі модельдерімен жұмыс жасайды. Оны, математик ретінде, қабылданған модель аясында қорытындылар орынды ма деген сұрақ ғана ойландырады. Егер де ол реалдылық пен оның математикалық моделінің арасындағы диалектикалық байланысты түсіндіру міндетінен бас тартса, бұл әсте жақсы емес» - деп көрсеткен болатын [3]. «Айтушылардың сөзіне қарағанда ғылымның бұл саласын жоғары тұрғыдан зерттеп, қиқы-шойқы жерлерін түзеп, шалағай ережелерді ширатып, ақыл парасатына жүгіндіріп,үлкен ғылымға айналдырушы Пифагор болған» [4]. Пифагор - арифметика, геометрия, астрономия, музыка ғылымдарына елеулі үлес қосқан ғалым. Оның арифметикадағы табыстары өте көп. Алайда Пифагордың есімін есімізге сала беретін, оны тарихта қалдырған ғылым геометрия болып табылады. Квадраттың диагоналы мен қабырғасы өлшемдес болмайтындығын, соған байланысты иррационал сандардың болатындығын алғаш рет Аггинанор ұлы Пифагор (580-500) тағайындаған. Пифагордың ең басты еңбегі - Пифагор теоремасы [4]. Менің осы тақырыпты таңдаған себебім , менің ойымша Пифагор теоремасы әлемдік құпиялардан да қызықтырақ. Пифагор теоремасы математика саласына елеулі үлес қосады және оның дамуына қажет. Сонымен қоса Пифагор теоремасы – геометрияның аса маңызды теоремаларының бірі. Көптеген теоремалар мен формулалар сол арқылы дәлелденеді. Пифагор теоремасы өмірде жиі қолданылады, оның кездеспейтін жері аз. Сондықтан мен осы теоремаға қызығушылық танытып, осы маңызы зор тақырыпты таңдап алдым.
Бұл жобаның мақсаты зерттеу жұмысында Пифагор теоремасын зерттеп, басқа жолдармен дәлелдеу. Пифагор теоремасы математика саласының дамуына қажет болғандықтан, бұл теореманы тереңірек ұғып, түсіну. Оқушылардың математика пәніне қызығушылығын арттыру. Пифагор теоремасын әр түрлі жолдармен дәлелдеуге болатынын көрсету. Мектеп математика курсының мазмұнында қарастырылып отырған теорема не үшін керек екендігін оқушыларға барлық кездескен жағдайларда түсінікті болатындай етіп ашу. Оқушылардың логикалық ой – қабілеттерін арттыру.
[1]
-
Назарбаев Н.Ә. Инновациялар мен оқу-білімді жетілдіру арқылы білім экономикасына // Егенмен Қазақстан, 27 мамыр, 2006, №2б [2]
жыл,2б [3] - Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе // Математика в школе. – 1971. - №6. – С. 2-3. [4] – Математика мен математиктер жайлы әңгімелер. М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров. Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет.
2.1. Пифагор теоремасы жайында Көпбұрыштардың аудандарының қасиеттерін пайдалана отырып, біз тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттерінің арасындағы тамаша қатысты тағайындаймыз. Біз дәлелдейтін теорема Пифагор теоремасы деп аталып, геометриядағы негізгі теоремаға жатады [5].
Теорема. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең [4]. Бұл сөйлем Пифагор теоремасының арифметикалық тұжырымдамасы деп ата
лады. Арифметикалық тұжырымдама бойынша гипотенузаны сипаттайтын санның квадраты катеттерді сипаттайтын сандардың квадраттарының қосындысына тең болады. Ал бұрынғы оқулықтарда теореманың толық тұжырымдамасы мынандай:
квадраттарды жоғарғы жағына келтіріп, теореманың чертёжін салсаңыз, кілең түзу кесінділерден құралған фигура пайда болады. Бұл фигура «есек көпірі» деп аталып кеткен: латынша – «понс азинорум», французша- «лес понт аукс анез» (немісше - «ди эселбрюкке», орысша - «мост ослов»). Кейбіреулер оны
шалбарды ң суреті сияқты деп
есептег ен.
Орта ғасырлардағы мектептерде Пифагор теоремас ын жыл бойы жаттайтын болған. Сонда жаттай - жаттай жалыққан шәкірттер былай деп әндетіп те қояды екен:
Осы бұрынғы оқулықтардағы теореманы негізге ала отырып, мен Пифагор теоремасын дәлелдеуді тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасын 3 – тен басталатын натурал сан, ал катеттерін нақты сандар жиынында қарастырдым. Яғни
[5]-Геометрия 7-9.Л. С. Атанасян. Орыс аудармасы (Нүсіпбаев Т.) «Рауан» , 1992 ,125 бет. [4]-Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер. М. Ө. Ысқақов. С. Н. Назаров. «Мектеп» , 1970, 316 бет.
2.2.Теореманы дәлелдеудің бірінші тәсілі
1 - сурет
Бірінші, гипотенуза 3 см болсын. Сонда Пифагор теоремасының формуласы бойынша 3? = a? + b? болады. 3 см – ге тең гипотенуза бойынша, катеттердің өлшемдерін жуықтап есептеу тәсілімен a = 2 см , b = √5 см деп аламын. Пифагор теоремасы бойынша формула немесе 9=4+5 натурал сандарына түрленеді.Бұл теңдіктің оң жағын қоса отырып, (4+5) квадраттардың аудандары 3 см – лік гипотенузаға салынған квадраттың ауданына тең шамалы екенін көреміз, яғни 9 см? = 9 см?
2. 3. Теореманы дәлелдеудің екінші тәсілі
2 - сурет Гипотенуза 5см-ге тең болса, аналитикалық теңдеу :
берілген үшбұрыш бойынша: 5?= а?+b? жуықтап есептеу тәсілі бойынша 5² = √9 + √16 = 3? + 4?, квадраттарды есептесек 25 = 9+16. Квадраттың ауданы см? түрінде берілгенде, тікбұрышты үшбұрыш гипотенузада 5 см-ге тең, оның а = 3см; b = 4см-ге тең катеттерінде құрылған.
шаршының ауданын см? түрінде аламыз. Бұл гипотенузада орналасқан шаршының ауданына тең. Яғни 25 см? = 25см? екенін дәлелдедік (2 -
2.4.Теореманы дәлелдеудің үшінші тәсілі
3 - сурет
үшбұрышқа сәйкес катеттерін жуы қтап есептейміз. Сонда катеттер ге салынған квадраттардың аудандарының қосындысын гипотенузадағы квадраттың ауданына тең болуы керек. Аналитикалық теңдеу:
мынадай түрге айналады, с? = 4² + (√ 20)? квадраттарын есептегенде 36 см? = 16 см? +20см?. Катеттердің квадраттарының ауданын қосу арқылы, үлкен квадраттың ауданын табамын, ол сөзсіз гипотенузада орналасқан квадраттың ауданына тең.
36 см? = 36 см? екені дәлелденді. (3 - сурет).
2. 5. Теореманы дәлелдеудің төртінші тәсілі
4 - сурет
Тікбұрышты ∆ АВС берілген. Оның гипотенузасы 7 см-ге
тең. Катеттердің өлшемін
есептеу ар қылы гипотенузадағы квадраттың ауданы, катеттерге салынған квадраттардың ауданының қосындысына тең екенін анықтап, төмендегідей теңдік
аламын: ; 7²=4²+(√33)²; 49 = 16+33; 49 см? = 49 см? болатыны дәлелденді. (4 - сурет).
2. 6. Теореманы дәлелдеудің бесінші тәсілі
5 - сурет
Тікбұрышты ∆ АВС берілген. Оның гипотенузасы 8 см-ге тең. Пифагордың теоремасын дәлелдей отырып, ; 8² = 4²+(√48)? ; 64 = 16 + 48 ; 64 см? = 64 см екенін дәлелдедім. (5 - сурет).
2. 7. Теореманы дәлелдеудің алтыншы тәсілі
6 - сурет
Тікбұрышты ∆ АВС берілген. Оның гипотенузасы 9 см-ге тең болғанда ; 6² + (√45)² = 9?; 36 + 45 = 81; 81см? = 81см? екенін дәлелдедім. (6 - сурет).
2. 8. Теореманы дәлелдеудің жетінші тәсілі
7 - сурет
Тікбұрышты ∆ АВС берілген. Оның гипотенузасы 10 см-ге тең. Бұл теңдікті былай шешеміз: ; 6? + 8? = 10?; 3 6 + 64 = 100; 100 см? = 100 см? екенін дәлелдедім (7 - сурет).
2. 9. Сипаттау № 1
10 - сурет Осы квадраттың S ауданы (a + b )? - қа тең. Квадрат әрқайсысының 1/2аb болатын төрт тең тік бұрышты үшбұрыштан және қабырғасы с - ға тең квадраттан тұрады, сол себепті S = 4*1/2ab + c? = 2ab + c? . Осылайша,
(a + b )? = 2ab + c? , осыдан
.
————————————————————————————————– [5]-Геометрия 7-9.Л. С. Атанасян. Орыс аудармасы (Нүсіпбаев Т.) «Рауан» , 1992 ,125 бет.
2. 10. Сипаттау № 2
11 - сурет Тікбұрышты ∆ АВС берілген. С төбесінен СD биіктік жүргіземіз (10- сурет).Косинустың анықтамасы бойынша cos (∟А)=АС . АВ Ал АСD тік бұрышты үшбұрышынан cos (∟А)=AD теңдігін аламыз. АС Осыдан АВ ∙ АD = AC? болатынын көреміз. Осы сияқты cos (∟В)=BD = BC BC AB теңдігінен АВ ∙ ВD = ВC? теңдігі шығады. Осы шыққан теңдіктерді мүшелеп қосып, АВ + ВD = АВ екенін ескерсек, AC? + ВC? = АВ ∙ АD + АВ ∙ ВD = АВ(АD + ВD) = АВ? теңдігін аламыз. Теорема дәлелденді [6].
————————————————————————————————– [6]-Геометрия 8. Ә.Н. Шыныбеков. «Атамұра», 2004, 58 – бет
2. 11. Сипаттау № 3
12 - сурет АВС — берілген тік бұрышты үшбұрыш, оның тік бұрышы С болсын Тік С бұрышының төбесінен СD биіктігін жүргіземіз (11 – сурет). Косинустың анықтамасы бойынша cos A = AD = AC. AC AB Бұдан АВ ∙ АD = AC?. Осылайша cos В=BD = BC . ВС AB Бұдан АВ ∙ ВD = ВC?. Шыққан теңдіктерді мүшелеп қосып және де АD + ВD = AB екенін ескерсек, былай болып шығады: АС? + ВC? = AB (AD + BD) = AB?. Теорема дәлелденді
[7].
————————————————————————————————— [7] - Геометрия 7 – 11. А.В. Погорелов. Қазақша аудармасы Қаниев С., Бөкейханов Р. және т.б. «Рауан», 1995 – 384 бет.
2. 12. Сипаттау № 4 13 - сурет Биіктігі горизонталь орналасқан және а + в қосындыға тең, табандары а және в катеттерге тең тік бұрышты трапеция саламыз. Трапецияны катеттері а және в болатын екі үшбұрышқа, катеттері с болатын бір тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрышқа ажыратамыз. Сонда үш тік бұрышты үшбұрыштың аудандарының қосындысы трапецияның ауданындай болуға тиіс: 1/2 (а + в) (а + в) = 1/2 ав + 1/2 с? + 1/2 ав
[4]
, .
[4] – Математика мен математиктер жайлы әңгімелер. М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров. Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет.
2. 13. Сипаттау № 5 14 - сурет АВС үшбұрышы ішінде қалатындай етіп, гипотенузаның квадратын саламыз, содан кейін түзулер жүргізіп, берілген үшбұрышқа тең 3 үшбұрыш саламыз. Үшбұрыштардың аралығында қабырғасы а - в айырмаға тең кішкене квадрат құралады. Бұлардың аудандарын салыстырып,
теңдікке келеміз, одан:
. ————————————————————————————————————— [4] – Математика мен математиктер жайлы әңгімелер. М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров. Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет.
2. 14. Сипаттау № 6 15 – сурет Тікбұрышты АВС үшбұрышының қабырғаларына ВСС`B``, ACC``A``, ABB`A` Квадраттарды салайы қ,
оларды үшбұрыштың сыртқы жа
орналастырайық. Тік бұрыштың С төбесінен гипотенузаға перпендикуляр түзу жүргізіп, оның АВ гипотенузамен қиылысатын нүктесін N әрпімен, квадраттың A`B` қабырғасымен қиылысатын нүктесін М әрпімен белгілейік. Сонда ВСС`B`` квадраттың ауданы гипотенузадағы квадраттың бір бөлігі - ВB``МN тік төртбұрыштың ауданына,
ACC``A`` квадраттың ауданы гипотенузадағы квадраттың екінші бөлігі - AA`МN тік төртбұрыштың ауданына тең болады. Алдымен
осыны дәлелдейік.
Түзулер арқылы А нүктесін B`` нүктеге, С нүктесін B` нүктеге қосайық. Мұның нәтижесінде өзара тең АВB`` және ВСВ` доғал бұрышты үшбұрыштар пайда болады. Өйткені: 1)
қабырғасына тең, екеуі де а, яғни ВСС`B`` квадраттың қабырғалары, 2)
АВB`` үшбұрышының АВ қабырғасы ВСВ` үшбұрышының ВB` қабырғасына тең, екеуі де с, яғни ABB`A` квадраттың қабырғалары, 3) ∟АВB`` = 90˚ + ∟АВС, ∟CВB` = 90˚ + ∟АВС, сондықтан ∟АВB``=∟CВB`. Олай болса, үшбұрыштардың теңдігінің бірінші белгісі бойынша жоғарыда айтылған АВB`` және ВСВ` үшбұрыштары өз ара тең, олардың аудандары да тең: ∆ АВB``= ∆ ВСВ`. B``В қабырғаны АВB`` доғал бұрышты үшбұрыштың табаны ретінде алып, оның созындысына А төбеден биіктік жүргізсек, ол биіктіктің ұзындығы ВС-ге тең болады (чертежді күрделендіріп жіберетіндіктен, биіктік көрсетілмеген, бірақ оны түсіну
оңай, ол
АА` МN тік төртбұрышының ішінде орналасады, ВС, B``С` қабырғаларға параллель және тең болады). Сондықтан : АВB`` үшбұрышының ауданы :
Демек, АВB`` үшбұрышының ауданы ВСС`В`` квадраттың ауданының жартысындай. ВВ` қабырғаны ВСВ` доғал бұрышты үшбұрыштың табаны ретінде алып, оның созындысына С төбеден биіктік жүргізсек, ол биіктік (ВN және В`М кесінділерге параллель және тең, ВСС`В`` квадраттың ішінде орналасады) ВN-ге тең болады. Сондықтан : ВСВ` үшбұрышының ауданы: S = 1/2 ВB` * ВN. Мұндағы ВB` * ВN көбейтіндісі ВB`МN тік төртбұрыштың ауданын өрнектейді. Олай болса, ВСВ` үшбұрышының ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданының жартысындай болады. Сөйтіп, ВB`МN тік төртбұрышының ауданы ВСВ` үшбұрышының ауданынан екі есе
арты қ, ВСС`В`` квадраттың ауданы АВB`` үшбұрышының ауданынан екі есе артық болып шықты. Ал айтылып отырған үшбұрыштар өз ара тең. Ендеше ВСС`В`` квадраттың ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданына тең болады. Дәл осылай, В нүктесін А`` нүктеге, С нүктесін А` нүктеге кесінділер арқылы қосып, доғал бұрышты АВА`` және АСА` үшбұрыштарының теңдігін дәлелдеуге болады.Одан әрі АСС``А`` квадраттың ауданы АВА`` үшбұрышының ауданынан екі есе артық, АА` МN тік төртбұрыштың ауданы АСА` үшбұрышының ауданынан екі есе артық болатындығын , соның салдарынан АСС``А`` квадраттың ауданы АА` МN тік төртбұрышының ауданына тең болатындығын дәледеуге болады.
ВСС`В`` квадраттың ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданына, АСС``А`` квадраттың ауданы АА` МN тік төртбұрыштың ауданына тең болып шықты. Албұл екі тік төртбұрыштың аудандарының қосындысы гипотенузаға салынған АВВ`А` квадраттың ауданына тең. Сондықтан:
Теорема дәлелденді [4].
————————————————————————————————————— [4] – Математика мен математиктер жайлы әңгімелер. М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров. Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет.
Қорытынды. Сонымен, қорытындылай келе, Пифагор теоремасы көп жағдайда өте қажет. Мысалы: есептер
шы ғаруда,
үлкен құрылыстарда, теоремаларды дәлелдегенде. Сондықтан бұл теореманың қыр – сырын толығырақ әрі тереңірек білу қызығушылық тудырады. Математика тарихшыларының зерттеулері бойынша теореманы алғаш рет Пифагор дәлелдеген. Оның нақты дәлелдемесі бізге жетпеген. Болжам бойынша Пифагор бұл теореманы ұқсас үшбұрыштар арқылы дәлелдеген болу керек. Бұл келтірілген дәлелдеулер Пифагор теоремасының сөзсіз абсолюттік шындық екенін көрсетіп, табиғаттағы теориялық есептеулер мен табиғаттағы есептеулер бір – бірімен өзара тығыз байланыста болатынына қөз жеткізеді. Табиғат пен адам санасы біртұтас принциппен байланысты болғандықтан, ежелгі ұлы ғалымдар яғни, Пифагор, Евклид, Архимед, Аристотельдердің дәлелдеген ғылым жетістіктері әлі күнге дейін адамзат баласына қызмет етіп келеді. Табиғаттың басты принциптерін түсіну арқылы бұл заңдардың табиғат пен адам санасының бір – бірімен тығыз байланыста болатынын білдім. « Байланыс » деген сөз философия категориясының құрамына кіріп, шексіз тығыз байланыста болады. Адам санасының дамуы арқылы Пифагор теоремасы дәлелденді. Пифагор теоремасы – геометрияның аса маңызды теоремаларының бірі. Көптеген теоремалар мен формулалар сол арқылы дәлелденеді. Олардың кейбіреулері: 1.
Сүйір бұрышқа қарсы орналасқан қабырға туралы теорема. 2.
Доғал бұрышқа қарсы орналасқан қабырға туралы теорема. 3.
Үшбұрыштың ауданын есептеуге арналған Герон формуласы. 4.
Екі нүктенің ара қашықтығының формуласы. 5.
Призма, параллелепипед,пирамида жөніндегі теоремалар. Бұл тізімді әрі қарай жалғастыра беруге болады. Пифагор теоремасы өмірде жиі қолданылады, оның кездеспейтін жері аз.Сондықтан оны математик қана емес, әрбір мәдениетті адам білуі қажет. Осы ғалымдардың еңбектері өмірде жиі қолданылып, математика – дәлелденген ғылым болып табылды.
1 -. Атанасян С. Геометрия 7-9.Л Орыс аудармасы (Нүсіпбаев Т.) «Рауан» , 1992 ,125 бет. 2 - Егемен Қазақстан, жалпыұлттық республикалық газет. №336 (25733), 14 қазан, 2009 жыл,2б 3 - Исқақов М.Ө., Назаров С.Н. Математика мен математиктер жайлы әңгімелер.Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет. 4 – Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе // Математика в школе. – 1971. - №6. – С. 2-3. 5- Назарбаев Н.Ә. Инновациялар мен оқу-білімді жетілдіру арқылы білім экономикасына // Егенмен Қазақстан, 27 мамыр, 2006, №2б 6- Погорелов А.В. Геометрия 7 – 11. Қазақша аудармасы Қаниев С., Бөкейханов Р. және т.б. «Рауан», 1995 – 384 бет. 7 -Шыныбеков Ә.Н. Геометрия 8. «Атамұра», 2004, 58 – бет
Қосымша 1
Қосымша 2 Қосымша 3
Қосымша 4 Қосымша 5
Қосымша 6
Қосымша 7
Қосымша 8
Қосымша 9
Қосымша 10
Қосымша 11
Қосымша 12
Қосымша 13
жүктеу/скачать 1,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|