С. Т. Дүзелбаев техникалық механика

 
191 
Интегралдағанда
алты
интегралдау
тұрақтылары
6
2
1
C
,
,
C
,
C

пайда
болып
, 
толық
шешімі
мынадай
түрде
жазылады
: 














.
C
,
,
C
,
C
;
t
f
z
;
C
,
,
C
,
C
;
t
f
y
;
C
,
,
C
,
C
;
t
f
x
6
2
1
3
6
2
1
2
6
2
1
1



(9.13) 
Осы
алынған
шешімдерден
уақыт
бойынша
туынды
алсақ
, 
нүкте
жылдамдығының
проекцияларын
анықтаймыз
: 


















.
C
,
,
C
,
C
;
t
f
;
C
,
,
C
,
C
;
t
f
;
C
,
,
C
,
C
;
t
f
z
y
x
6
2
1
3
6
2
1
2
6
2
1
1






(9.14) 
Əсер
етуші
күштер
бірдей
болғанмен
, (9.13) 
формуладан
шығатын
жалпы
шешімі
интегралдық
тұрақтыларға
байланысты
əртүрлі
дербес
шешім
болатыны
көрініп
тұр
. 
Интегралдаудың
белгісіз
тұрақты
шамалары
бастапқы
шарттардан
, 
яғниуақыт
0
t
болған
сəттегі
нүктенің
орны
0
0
0
z
,
y
,
x
мен
жылдамдығының
проекцияларының
z
y
x
,
,
0
0
0



шамалары
бойынша
анықталады
. 
Көбінесе
0
0

t
деп
алынады
.
Бастапқы
шарттарды
(9.13) 
жəне
(9.14) 
теңдеулеріне
қойып
, 
интегралдық
тұрақтыларды
анықтап
, 
берілген
шарт
үшін
нүктенің
қозғалыс
заңдылығы
анықталады
: 














.
,
,
,
z
,
y
,
x
;
t
f
z
;
,
,
,
z
,
y
,
x
;
t
f
y
;
,
,
,
z
,
y
,
x
;
t
f
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1









(9.15) 
Сонымен
, 
материялық
 
нүктенің
 
дифференциалдық
 
теңдеулерінің
 
бастапқы
 
шарттарды
 
қанағаттандыратын
 
шешімдері
 
нүктенің
 
нақты
 
қозғалысын
 
анықтайды
. 
Динамиканың
негізгі
есебін
шешкенде
, 
көбіне
мынадай
ретті
ұстанған
ыңғайлы
:

 
192 
1. 
Координаттар
жүйесін
қабылдағанда
, 
координаттың
бас
нүктесін
қозғалыстағы
нүктенің
бастапқы
орнымен
беттестіріп
, 
өстердің
бағыттарын
күштерді
, 
жылдамдықтармен
үдеулерді
проекциялауға
ыңғайлап
салу
керек
.
2. 
Қабылданған
координаттар
жүйесіне
қарағанда
, 
қозғалыстағы
нүктенің
бастапқы
шарттарын
жазу
керек
.
3. 
Қозғалыстағы
нүктенің
кез
келген
уақыт
аралығындағы
қозғалысының
орнын
(
көбінесе
координаты
жəне
жылдамдығы
оң
болатындай
) 
салу
керек
.
4. 
Нүктеге
əсер
етуші
активтік
күштер
мен
реакцияларды
салу
керек
.
5. 
Материялық
нүкте
қозғалысын
анықтайтын
дифференциалдық
теңдеулерді
құру
қажет
. 
6. 
Теңдеуге
кіретін
айнымалы
күштердің
қандай
шамаларға
тəуелді
екенін
көрсету
керек
.
7. 
Дифференциалдық
теңдеулерді
интегралдап
, 
шыққан
интег
-
ралдау
тұрақтыларын
бастапқы
шарттардан
анықтау
қажет
.
8. 
Есептің
шешулерін
пайдаланып
, 
іздеп
отырған
қажетті
шама
-
ларды
тауып
, 
зерттеу
керек
.
9. 
Егерде
нүкте
қозғалысы
бірнеше
аралықтан
тұратын
болса
, 
онда
əрбір
аралық
үшін
айтылған
операцияларды
бөлек
-
бөлек
істеу
керек
. 
Əрбір
аралықтың
теңдеулерін
шешкенде
, 
бастапқы
шарт
ретінде
алдыңғы
аралықтың
соңғы
нүктесінің
кинематикалық
шамалары
алынып
отырады
. 
Динамиканың
негізгі
есебін
шығарудың
іс
жүзінде
маңызының
зор
екенін
ескере
отырып
, 
нүкте
траекториясы
түзу
жəне
қисық
сызық
болғандағы
жағдайларды
жеке
-
жеке
алып
қарастыралық
. 
 
9.4. 
Есептерді
 
шешудің
 
əдістемесі
 
 
9.1-
мысал
.
Жер
бетіне
h
биіктіктен
материялық
нүкте
бастапқы
жылдамдықсыз
құлаған
(9.6-
сурет
). 
Нүктеге
жердің
тарту
күші
мен
ауаның
жылдамдыққа
пропорционал
кедергі
күші

km
R


əсер
етеді
, 
мұндағы
k
–
ауаның
қысымы
мен
температурасына
байланысты
тұрақты
коэф
-
фициент
, 

– 
нүктенің
жылдамдығы
. 
Нүкте
қозғалысының
заңдылығын
анықтап
, 
нүктенің
ең
үлкен
жылдамдығының
мəнін
есептеңіз
. 

 
193 
Шешуі
:
Нүктенің
қозғалысын
зерттеу
үшін
, 
9.6-
суретте
көрсетілгендей
, 
координат
жүйесін
таңдап
аламыз
. 
Координат
жүйесінің
басын
нүктенің
алғашқы
орнын
0
M
сəйкестендіріп
алып
, 
x
өсінің
оң
бағытын
нүкте
қозғалысы
бағытымен
бағыттайық
.
Нүкте
қозғалысының
бастапқы
шарты
.
0
,
0
,
0
0
0
0



x
x
t

Нүктеге
əсер
ететін
күштерді
ескере
отырып
, 
нүктенің
x
өсінің
бойымен
қозғалысының
дифференциалдық
теңдеуін
тұрғызайық
:
.
g
x
k
x
x
k
g
x
;
x
mk
mg
x
m















;
Бұл
теңдеу
– 
сызықты
, 
тұрақты
коэффициенті
бар
екінші
ретті
біртексіз
дифференциалдық
теңдеу
. 
Бұл
теңдеудің
шешімі
осы
теңдеудің
дербес
шешімімен
осы
теңдеуге
сəйкес
келетін
біртекті
теңдеудің
жалпы
шешімдерінің
қосындысына
тең
.
Біртекті
емес
теңдеудің
дербес
шешімі
келесі
түрде
жазылады
: 
.
1
t
k
g
x

Біртекті
теңдеуге
сəйкес
келетін
сипаттауыш
теңдеуді
тұрғызайық
: 
.
0
2





k
Оның
түбірлері
k



2
1
,
0


– 
нақты
сандар
, 
сондықтан
біртекті
теңдеудің
жалпы
шешімі
келесі
түрде
жазылады
: 
.
2
1
2
kt
e
c
c
x



Сонымен
, 
нүкте
қозғалысының
дифференциалдық
теңдеуінің
жалпы
шешімі
былай
жазылады
: 
9.6-
сурет

 
194 
.
2
1
t
k
g
e
C
C
x
kt




Бастапқы
шарттарды
қолданып
, 
тұрақты
2
1
,
C
C
белгісіздерді
анықтаймыз
: 
2
2
2
1
,
k
g
C
C
C



. 
Анықталған
тұрақты
шамалардың
мəндерін
осының
алдында
алынған
теңдеуге
қойсақ
, 
нүкте
қозғалысының
ақырғы
теңдеуін
аламыз
: 










t
e
k
k
g
x
kt
1
1
. 
Осы
теңдеуден
уақыт
бойынша
туынды
алып
, 
нүктенің
жылдамдығын
есептейміз
: 


.
1
kt
x
e
k
g
x






Уақыт


t
ұмтылғанда
, 
нүкте
жылдамдығы
өзінің
ең
үлкен
шамасына
ұмтылады
: 
.
k
g
y
max
x


жүктеу/скачать 9,99 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: