С. Т. Дүзелбаев техникалық механика

 
195 
Бұл
теңдеулердің
екі
жағын
да
квадраттап
қосайық
: 
,
x
t
cos
2
2
2
4


2
2
2
2
y
t
sin


, 
t
cos
t
sin
y
x


2
2
2
2
4
16



. 
Соңғы
өрнектің
сол
жағы
, 
трганометриялық
функцияның
қасиеті
бойынша
1
2
2


t
cos
t
sin


, 
олай
болса
, 
нүктенің
траекториясы
: 
1
4
16
2
2


y
x
жартылай
өстері
м
a
4

, 
м
b
2

болатын
эллипс
теңдеуімен
өрнектелетінін
табамыз
. 
Нүкте
қозғалысының
дифференциалдық
теңдеулері
негізінде
əсер
етуші
күш
проекцияларын
анықтаймыз
: 
x
F
dt
x
d
m

2
2
; 
y
F
dt
y
d
m

2
2
. 
Материялық
нүктенің
теңдеулерінен
: 
t
sin
dt
dx


4


; 
t
cos
dt
dy


2

; 
t
cos
dt
x
d


2
2
2
4


; 
t
sin
dt
y
d


2
2
2
2


. 
Мұнан
нүктеге
əсер
етуші
күш
проекцияларын
t
cos
dt
x
d
m
F
x


4
5
2
2
2



; 
t
sin
dt
y
d
m
F
y


2
5
2
2
2



, 
немесе
нүкте
координаты
арқылы
өрнектесек
: 
x
F
x
2
5



; 
y
F
y
2
5



. 

 
196 
Күштің
модулі
r
у
х
F
F
F
у
х
2
2
2
2
2
2
5
5







, 
бұндағы

r
қозғалыстағы
нүктенің
радиус
-
векторы
. 
Күштің
координат
өстерімен
жасайтын
бұрыштарының
косинустары
: 
r
x
F
F
x
,
F
cos
x
x










;
r
y
F
F
y
,
F
cos
y
y










. 
Осыдан
F
күші
r
радиус
-
векторына
қарсы
бағытталғаны
көрініп
тұр
(9.7-
сурет
). 
9.3-
мысал
. 
Массасы
10 
кг
материялық
нүкте
радиусы
м
R
100

 
шеңбер
бойымен
(9.8-
сурет
) 
доғалық
координаты
м
t
,
s
1
0
3

горизонталь
жазықтықта
қозғалады
. 
Нүкте
жылдамдығы
с
м
/
30


болған
сəттегі
нүктеге
əсер
етуші
күштің
шамасы
қандай
болады
? 
 
Шешуі
: 
Материялық
нүкте
қозғалысының
дифференциалдық
теңдеулерінің
табиғи
өстерге
қатысты
формулаларын
пайдаланамыз
: 
,
F
m
,
F
dt
s
d
m
n





2
2
2
b
F

0
. 
9.7-
сурет
9.8-
сурет
 

 
197 
Бұл
теңдеулердегі
2
3
0
t
,
dt
ds



,
t
,
dt
s
d
6
0
2
2




. 


0
,
0009
,
0
100
3
,
0
4
2
2
2




b
n
t
t




. 
Есептің
шартынан
нүкте
жылдамдығы
қанша
уақытта
с
м
/
30


болатынын
анықтаймыз
: 
30
3
0
2

t
,
.
Бұл
теңдеуден
уақыт
c
t
10

 
шығады
. 
Жанама
жəне
нормальдық
үдеулердің
c
t
10

болған
сəттегі
шамалары
6



м
/
с
2
; 
9
100
30
2
2






n
м
/
с
2
. 
Нүктеге
əсер
етуші
күштің
проекциялары
: 
60





m
F
Н
;
90


n
n
m
F

H
. 
Осыдан
күштің
шамасын
анықтаймыз
: 
.
108
90
60
2
2
2
2
Н
F
F
F
п






9.4
-
мысал
. 
Массасы
кг
2
материялық
нүктенің
қозғалысы
t
cos
x

2
3

,
t
sin
y

4

теңдеулермен
берілген
. 
Нүктеге
əсер
етуші
күш
проекцияларының
нүкте
координаттарына
тəуелділігін
көрсетіңіз
. 
Шешуі
:
Алдымен
нүкте
үдеуінің
проекцияларын
табамыз
. 
Ол
үшін
есептің
шартында
берілген
қозғалыс
теңдеулерінен
уақыт
бойынша
екі
рет
туынды
аламыз
: 
t
sin
y
,t
cos
x




2
2
4
2
12








. 

 
198 
Нүкте
қозғалысының
дифференциалдық
теңдеулерін
пайдалану
арқылы
күштің
координаттар
өстеріндегі
проекцияларын
табамыз
: 
t
m
y
m
F
t
m
x
m
F
y
x




sin
4
,
2
cos
12
2
2












. 
Сан
мəндерін
орындарына
қойып
, 
нүктеге
əсер
етуші
күш
проекцияларының
нүкте
координаттарына
тəуелділігін
анықтаймыз
: 
Н
y
F
H
x
F
y
x
0197
,
0
,
0789
,
0




. 
9.5-
мысал
.
Массасы
кг
m
1

дене
тыныштық
күйінен
тегіс
горизонталь
жазықтық
бойымен
t
cos
F
2
8
6


Н
күші
əсерінен
қозғалады
(9.9-
сурет
). 
Жүктің
қозғалыс
заңдылығын
анықтаңыз
. 
Шешуі
:
Санақ
жүйесінің
О
бас
нүктесінжүктің
бастапқы
орнына
сəйкестендіріп
, 
Ох
өсін
қозғалыс
бағытымен
бағыттаймыз
(9.9-
сурет
). 
Қабылданған
санақ
жүйесіне
қара
-
ғанда
, 
нүктенің
бастапқы
шарттары
мынадай
болады
: 
0
0

t
, 
0
0

x
, 
0
0


. 
Денені
кез
келген
қозғалып
бара
жатқан
жерінде
тұрғызып
, 
əсер
етуші
активті
күшті
F
, 
ауырлық
күшін
G


mg
G

жəне
жазықтықтың
реакциясын
N
түсірейік
. 
Дененің
Ox
өсі
бойымен
қозғалысының
дифференциалдық
теңдеуін
құрамыз
: 
x
x
x
N
G
F
х
т





. 
Қарастырып
отырған
жағдайда
: 
t
cos
F
F
x
2
8
6



, 
0

x
G
, 
0

x
N
болғандықтан
, 
теңдеу
мына
түрге
келеді
: 
t
cos
x
m
2
8
6




9.9-
сурет

 
199 
Бұл
теңдеуді
интегралдасақ
, 
1
2
4
6
C
t
sin
t
x
m




. 
Бастапқы
шарт
бойынша
0
0

t
, 
0
0

x
, 
0
0


, 
сондықтан
0
1

C
. 
Шыққан
теңдеуді
тағы
да
интегралдасақ
, 
мынадай
өрнек
шығады
: 
2
2
2
2
3
C
t
cos
t
mx



. 
Бастапқы
шарт
бойынша
0
0

t
, 
0
0

x
болғандықтан
,
2
2

C
. 
Соңғы
өрнектен
, 
С
2
мəнін
ескере
отырып
, 
дененің
қозғалыс
заңын
табамыз
: 
2
2
2
3
2



t
cos
t
x
м
.
Жаттығу
 
есептері
 
1-
есеп
.
Массасы
m
материялықнүктенің
Ox
өсіндегі
қозғалыс
теңдеуі





 


t
a
a
x
0
1
ln

, 
мұндағы
a
жəне
0

 
– 
тұрақты
шамалар
. 
Нүктеге
əсер
ететін
F
күшін
уақыттың
жəне
жылдамдықтың
функциясы
болатындай
мəнін
анықтаңыз
. 

жүктеу/скачать 9,99 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: