8.1.1 - лемма. F сызықты функционалының ядросы – сызықтық көпбейне.
Дәлелдеуі. элементтерін алайық, онда . F сызықтыфункционал болғандықтан, 8.1.4 - анықтама бойынша кез келген скалярлары үшін
Бұл элементінің де ker F жиынында жататын, яғни ker F жиыныныңсызықты көпбейне екендігін береді.
Нормаланған X және Ү кеңістіктерін, сондай-ақ жиынын жиынынабейнелейтін сызықты А операторын қарастырайық.
Нормаланған X және Ү кеңістіктерін, сондай-ақ жиынын жиынынабейнелейтін сызықты А операторын қарастырайық.
8.2.1 - анықтама. Егер D(A) = L = X, онда А операторы X кеңістігінің барлықнүктелерінде анықталған оператор деп аталады.
8.2.2 - анықтама. Егер болса, онда А операторы X кеңістігінде барлық жерде тығыз орналасқан жиында анықталған оператор деп аталады.
D(A)=X болсын.
8.2.3 - анықтама. Егер де
8.2.3 - анықтама. Егер де
яғни
болса, А операторын нүктесінде үзіліссіз оператор деп атайды, және деп белгілейді.
8.2.1 - теорема. Егер D(A) = X кеңістігін М жиынына бейнелейтін сызықты Аоператоры X кеңістігінің , - нөлдік нүктесінде үзіліссіз болса, онда А операторы Xкеңістігінің кез келген нүктесінде үзіліссіз болады.
8.2.4 - анықтама. Егер сызықты А операторы О нүктесінде үзіліссіз болса, ондаоны үзіліссіз оператор деп атайды.
8.2.4 - анықтама. Егер сызықты А операторы О нүктесінде үзіліссіз болса, ондаоны үзіліссіз оператор деп атайды.
8.2.5 - анықтама. Егер А: Х – Y операторы шенелген жиынды шенелген жиынғабейнелейтін болса, онда оны шенелген оператор деп атайды, 8.2.2 - теорема (шенелгенділік қағидасы). Сызықты A: Х-У операторы
шенелген болуы үшін
теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
8.2.3теорема (Үзіліссіз оператормен шенелген оператордыңарасындағы байланысты беретін теорема). D(A) =X кеңістігін М жиынынабейнелейтін А операторы үзіліссіз болуы үшін оның шенелген болуы қажетті және жеткілікті.
8.2.3теорема (Үзіліссіз оператормен шенелген оператордыңарасындағы байланысты беретін теорема). D(A) =X кеңістігін М жиынынабейнелейтін А операторы үзіліссіз болуы үшін оның шенелген болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілігі. А операторы шенелген оператор болсын. Онда
Демек, сызықты А операторы нүктесінде үзіліссіз. Онда 8.2.4 – анықтама бойынша А операторы X кеңістігінде де үзіліссіз.
Сызықты шенелген операторлар мен функционалдарға мысалдар
1.Нөл - оператор. X нормаланған кеңістігінің кез келген х элементін Y кеңістігінің - нөлдік элементіне бейнелейтін операторды нөл - оператор деп атайды, және оны 0 деп белгілейді:
Нөл - оператор сызықты шенелген болатындығын тексеру қиын емес.
2. Бірлік оператор. X кеңістігінің кез келген элементін өзіне бейнелейтін операторды бірлік оператор деп атайды, және оны деп белгілейді, яғни
Бірлік оператордың сызықты шенелген болатындығы оның анықтамасынан тікелей шығады.
3. Матрица. кеңістігін кеңістігіне бейнелейтін
3. Матрица. кеңістігін кеңістігіне бейнелейтін
матрица сызықты шенелген операторды анықтайды.
а) Сызықтылығы: А операторының анықталу облысы кеңістігімен беттесетін болғандықтан, оператордың сызықтылығының екінші шартын, яғни оның біртектілігімен аддитивтігін тексерген жеткілікті.