Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве»

85
 
 
Әдебиеттер тізімі 
1.  Қаңлыбаев  Қ.  Тригонометриялықфункциялар  және  олардың  теңдеулері  мен  теңсіздіктері:  Оқу  құралы  / 
Қанлыбаев Қ., Әбдімәжитов К., Бекбаулиева Ш. - Алматы : Респ.баспа кабинеті, 1995. - 132 б. 
2.  Фалин Г.И. Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике / -М. :БИНОМ. -2007.- 327c.  
3.  Рустюмова  И.П.,  Кузнецова  Т.А.,  Рустюмова  С.Т.  Пособие  для  подготовки  к  единому  национальному 
тестированию (ЕНТ) по математике(учебно- методическое пособие). -Алматы. :Ғылым.- 2005 
 
 
УДК 519.6 
О РЕШЕНИИ ОДНОМЕРНЫХ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ  
С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ПО ФОРМУЛЕ ВУДСА 
 
Н.Т.Данаев, Ф.С.Аменова 
 
Казахский национальный университет им. аль-Фараби 
nargozy.danaev@mail.ru
 
Восточно-Казахстанский государственный технический университет им. Д.Серикбаева 
 
Одно  из  направлений  численного  исследования  двумерных  течений  несжимаемой  жидкости 
основывается на решении уравнений Навье-Стокса, записанные в переменных «функция тока, вихрь скорости» с 
применением различных способов задания граничных условий для вихря скорости [1-6]. Для определения вихря 
скорости  на  границе  наиболее  популярными  аппроксимативными  формулами  являются  формулы  Тома  и  Вудса, 
имеющие  первый  и  второй  порядок  точности  соответственно.В  мировой  литературе  встречаются  ограниченное 
количество  теоретических  работ  по  обоснованию  использования  формулы  Тома.  Теоретические  результаты  по 
исследованию  применения  формулы  Вудса  фактически  отсутствуют.  В  данной  работе  на  примере  одномерной 
линейной  задачи  несжимаемой  жидкости  методом  априорных  оценок  исследуются  устойчивость  и  сходимость 
разностной  схемы  с  использованием  формулы  Вудса.  Приводятся  результаты  исследования  итерационных 
алгоритмов. 
Постановка  задачи.В  области 
}
1
0
{



x
D
  рассмотрим    систему  стационарных  уравнений  для 
несжимаемой жидкости следующего вида   
 
,
x
f
xx


 
 
 
 
 
 
(1) 

 
xx
, 
1
0

 x
, 
 
 
 
 
(2) 
с краевыми условиями 
 
,
0




x


 
при 
1
,
0

x
. 
 
(3) 
Для  аппроксимации  уравнений  (1),(2)  в    сеточной  области 


N
k
kh
x
D
k
h
,
0
,



рассмотрим 
одномерную разностную задачу для несжимаемой жидкости следующего вида 
,
,
k
k
x
x
f


 
 
 
 
 
 
(4) 
k
k
x
x



,
 
,
1
,
1


N
k
 
 
 
 
 
(5) 
,
0
0


N


 
с краевыми  условиями для вихря скорости по формуле Вудса, который имеет второй порядок точности  
,
3
2
1
0
,
1
0
x
h





N
x
N
N
h
,
1
3
2
1







. 
 
 
(6) 
Будем использовать следующее известное неравенство [7] 
 
),
(
,
4
0
2
2
2
1
2
0
h
h
x
D
u
u
h
u
u






 
где 
)
(
0
h
h
D

 - пространство одномерных сеточных функций, имеющие нулевые значения на граничных 
точках разностной сетки
h
D
,
2
0
)
/
)
2
/
(sin(
4
h
h

 
. 
Устойчивость и сходимость разностной задачи.Соотношение (4) умножим  на
k

 просуммируем по 
внутренним узлам сетки. В результате  имеем  тождество 








,
2
,
0
,
0
f
x
x
N
x
N
x



. 
Учитывая краевые условия (6)и после несложных преобразований получим 
 

86
 
 






















,
12
12
11
4
2
1
2
0
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
0
f
h
h
h
h
N
N
N
k
k
N
N














. 
Отсюда,  можно получить  следующую оценку устойчивости 


h
D
L
x
x
f
c
2
0


. 
Далее,  исследуем  вопрос  о  сходимости  решения  разностной  задачи  к  решению  дифференциальной 
задачи (1)-(3). 
Введем обозначения

 

k
k
z
,





k
k
.  Здесь 
k
k

 ,
-  решения  разностной  задачи  (4)-(6), 


,
 - решения дифференциальной задачи (1)-(3), вычисленные в узлах сетки 
h
D
.  
Тогда уравнения для погрешностей итерации имеют вид 
k
k
x
x
R
z

,
, 
 
 
 
 
 
(7) 
k
k
k
x
x
G
z 

,

, 
1
,
1


N
k
, 
 
 
 
 
(8) 
,
0
0


N


 
,
2
2
1
0
0
,
1
0
r
h
z
z
x




 
,
2
2
1
,
1
N
N
x
N
N
r
h
z
z






 
 
(9) 
где 
k
k
G
R ,
, 
1
,
1


N
k
  -  погрешности  уравнений  соответственно  (4)  и  (5), 
N
r
r ,
0
  -    погрешности 
краевых условий (6), которые  имеют порядок 
 
2
h
О
. 
Соотношение (7) умножая на

 и просуммируяпо узлам сетки, получим 








,
,
,
0
,
0
k
N
x
N
x
x
x
k
R
z
z
z



. 
Учитывая условия (6) и произведя  несложные  преобразования получим следующее неравенство: 


2
2
2
1
2
2
0
2
1
2
1
2
2
1
4
1
4
1
6
6
5
k
k
N
N
x
x
G
R
r
r
G
G
h




















, 
где 
2
1
,


 подберем так, чтобы  
0
6
5
2
1





.  
Отсюда имеем, что
2
0
h
c
x
x


, т.е. задача имеет второй порядок сходимости. 
 
Для численного решения (4)-(6) рассмотрим  явный итерационный алгоритм вида  
,
,
1
k
n
k
x
x
n
k
n
k
f








 
 
 
 
(10) 
,
1
1
,



n
k
n
k
x
x


   
1
,
1


N
k
, 
 
 
 
(11) 
,
0
1
1
0




n
N
n


 
),
(
0
0
kh
k

 
 
,
,
0 N
k 
 
 
 
(12) 
,
3
2
1
1
0
,
1
1
1
0





n
x
n
n
h



 
1
,
1
1
1
3
2
1







n
N
x
n
N
n
N
h



. 
 
(13) 
 Введем  обозначения
k
n
k
n
k
z

 

, 
k
n
k
n
k





.  Здесь 
n
k
n
k

 ,
  -  решения  итерационной  схемы 
(10)-(13), 
k
k

 ,
- решения разностной задачи (4)-(6). 
Тогда для погрешности итерации имеем следующие  соотношения 
,
,
1
n
k
x
x
n
k
n
k
z
z
z




 
 
 
 
 
(14) 
,
1
1
,



n
k
n
k
x
x
z

 
,
1
,
1


N
k
 
 
 
 
 
(15) 
,
0
1
1
0




n
N
n


 
 
 
 
 
(16) 
,
3
2
1
1
0
,
1
1
1
0





n
x
n
n
h
z
z

 
1
,
1
1
1
3
2
1







n
N
x
n
N
n
N
h
z
z

.   
 
(17) 
Соотношение  (14)  умножим  на 
1
2

n

  и  просуммируем  по  узлам  сетки 
h
D
.    В  результате  можно 
получить следующее энергетическое тождество: 

87
 
 




0
,
2
2
1
1
,
1
0
,
0
2
1
2
2
1












n
x
x
n
x
x
n
N
x
n
N
n
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x
z
z










. 
Учитывая краевые условия (16), (17) ,  применяя известные неравенства получим 






















h
h
n
N
x
n
N
x
n
x
n
x
n
x
n
x
2
,
1
,
2
0
,
1
0
,
2
2
2
1
6
1







 
0
6
5
4
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2





























h
z
z
h
h
h
N
k
n
x
x
n
N
n
n
x
x
N
k
n
x
n
x








. 
Следовательно, при выполнении  условия  
0
6
1
2


h

 
 
 
 
 
(18) 
имеем  
0
6
5
2
2
1
0
2
2
1












n
x
n
x
n
x
n
x






, 
0
2
2
1



n
x
n
x
q


, 
где  
1
1
1






q
, 
1
6
5
0




. 
 
 
 
(19) 
То есть  







n
q
q
x
n
n
x
n
x
,
0
)
1
(
0
)
1
(
1
)
1
(




, 
при  выполнении  условия (18)  итерации  алгоритма ((10)-(13)) сходится  к  решению (4)-(6) со скоростью 
геометрической прогрессии  и 


1
ln
1
)
(
2
0







h
o
n
. 
Далее, для разностной задачи (4)-(6) рассмотрим итерационный алгоритм следующеговида 
,
1
,
1
k
n
k
x
x
n
k
n
k
f









 
 
 
 
(20) 
,
1
1
,



n
k
n
k
x
x


 
1
,
1


N
k
 ,   
 
 
 
(21) 
,
0
1
1
0




n
N
n


 
),
(
0
0
kh
k

 
 
,
,
0 N
k 
 
 
 
(22) 
,
3
2
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h







n
N
x
n
N
n
N
h
,
1
1
1
3
2
1









.  
(23) 
Для погрешности итерации имеем следующие соотношения 
,
1
,
1




n
k
x
x
n
k
n
k
z
z
z

 
 
 
 
 
(24) 
,
1
1
,



n
k
n
k
x
x
z

 
,
1
,
1


N
k
 
 
 
 
 
(25) 
,
0
1
1
0




n
N
n


,
3
2
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
z
z





n
N
x
n
N
n
N
h
z
z
,
1
1
1
3
2
1







.     (26) 
Соотношение  (24)  скалярно  умножим  на
1
2

n

  и  просуммируем  по  узлам  сетки.  Используя  формулы 
суммирования и формулы Грина, получим энергетическое тождество 


0
2
2
1
1
,
1
1
0
,
1
0
2
1
2
2
1














n
x
x
n
N
x
n
N
n
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x
z
z









. 
Отсюда, можно получить следующее неравенство 




























1
2
2
1
2
,
1
,
2
0
,
1
0
,
2
2
2
1
2
1
N
k
n
x
n
x
n
N
x
n
N
x
n
x
n
x
n
x
n
x
h
h
h









0
6
2
2
1
1
2
1
1
2
1














n
N
n
n
x
x
z
z
h



. 
При выполнении  условия 
0
2
1
2


h

, 
 
 
 
 
 (27) 

88
 
 
имеем  
0
6
11
2
1
0
2
2
1





n
x
n
x
n
x




,
2
2
1
n
x
n
x
q




, 
где 
1
6
11
1
1
0




q
, 
 
 
 
(28) 
т.е. при выполнении условия (27) итерации алгоритма (20)-(23) сходится к решению (4)-(6) со скоростью 
геометрической прогрессии и 


1
ln
1
)
(
2
0







h
o
n
. 

жүктеу/скачать 12,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: