Теория и методика обучения математике

не делится на 9” , противоположное утверж дение обратно­
му утверж дению : “Если число 
п
не делится на 9, то сумма 
цифр этого числа не делится на 9 ” .
Теоремы ш кольного курса ф ормулирую тся в основном 
в им пли кативной (если ..., то...) или категоричной форме. 
Д ля вы деления структуры (условия, заклю чения и т. п.) 
целесообразно формулировать теорему в им пли кативной 
ф орме. У твер ж д ен и е из вы ш ерассм отрен н ого п р и м ер а 
сформулировано в им пликативной форме.
Т аким образом, выполнение ЛМА предполагает:
• установление формы формулировки;
• перевод ф орм улировки, если необходимо, в им пли- 
кативную форму;
• запись структуры теоремы, т. е. вычленение р азъ ясн и ­
тельной части, условия, заклю чения с выделением прос­
тых вы сказы ваний и содерж ания структурны х элементов;
• определение вида (простой или слож ны й);
• ф орм улирование утверж ден и я, обратного данном у, 
противоположного данному и обратного противополож но­
му (определение их истинности или лож ности).
П ример
2. А нализ теоремы “Сумма см еж ны х углов рав­
на 180°” и ф орм улировка утверж дений: а) обратного дан ­
ному; б) противоположного данному; в) противоположного 
обратному.
Теорема сф ормулирована в категоричной форме.
а) В и м п л и к ати в н о й форме она будет им еть ф орм у­
лировку: “Если углы смеж ные, то их сумма равна 180°” . 
Вид суж дения — общ еутвердительный, поэтому уточним 
ф орм ули ровку: “Если лю бые два у гл а см еж н ы е, то их 
сумма равна 180°” .
б) У тверждение, обратное данному утверждению : “Если 
сумма двух углов равна 180°, то углы см еж ны е” . Вид су ж ­
дения — общ еутвердительный.
в) У тверж дение, противополож ное данном у у т в е р ж ­
дению: “Если углы не смежные, то их сумма не равна 180"” . 
Вид суж дения — общ еотрицательный.
г) У тверж дение, обратное противополож ному у тверж ­
дению: “Если сумма двух углов не равна 180°, то углы не 
см еж ны е” . Вид суж дения — общ еутвердительный.
143

В ш кольном курсе м атем ати к и зн ан и е соотнош ений 
м еж ду п р ям ы м и и обратны м и теорем ам и способствует 
осознанному усвоению учащ и м и ся свойств и признаков 
геом етрических ф игур, суть понятий: “необходимое усло­
вие” , “достаточное условие” , “необходимое и достаточное 
условие”, “геометрическое место точек” и т.п.
К ак и прям ы е теоремы, обратные теоремы бывают ис­
тинны м и или лож н ы м и . Обратная теорема к данной ис­
тинной не всегда бывает истинной теоремой. Н апример, в 
предыдущ ем примере теорема, обратная данной, не всег­
да явл яется истинной, так к а к существуют такие два угла, 
сумма которы х равна 180°, но не см еж ны х м еж ду собой 
(рис. 6):
Рис. 6
Следующий пример: “Если четы рехугольник является 
прям оугольником , то его диагонали равн ы ” — истинное 
у т в е р ж д е н и е . О братное дан н о й теорем е у т вер ж д ен и е: 
“Если у четы рехугольника диагонали равны, то этот четы ­
рехугольник прям оугольн ы й ” — неверное утверж дение, 
так к а к в качестве контрольного примера можно привести 
равнобедренную трапецию .
Если истинны п р я м а я и обратная теоремы, их н азы ­
вают 
взаимно обратными теоремами
и обозначают сле­
дующ им символом:
А
= >
В
< = >
В
=> 
А.
В ш кольном курсе м атем атики приводятся формули­
ровки прям ы х, обратных теорем и их доказательства, од­
нако суть взаимно обратных теорем глубоко не раскры вает­
ся. В м атем атике роль взаимно обратных теорем особен­
н а я . Н ап р и м ер , рассм отрим утверж д ен и е: “Д и агон али
параллелограм м а пересекаю тся и в точке пересечения де­
л ятся пополам ” . Это истинная теорема, но представим ее в 
им пликативной форме: “Если четы рехугольник является
144

параллелограм мом , то его диагонали в точке пересечения 
делятся пополам” . Возникает следую щ ий закономерны й 
вопрос: “Если диагонали любого четы рехугольника пере­
секаю тся и в точке пересечения делятся пополам, то я в ­
л яется ли он только параллелограм м ом ?” . Ответ связан с 
доказательством истинности обратной теоремы: “Если ди а­
гонали любого четы рехугольника пересекаю тся и в точке 
пересечения делятся пополам, то он — п араллелограм м ” . 
Рассмотрение обратной теоремы связано с доказательством 
равности проти воп олож н ы х сторон ч еты р ех у го л ьн и к а, 
у которого диагонали пересекаю тся и в точке пересечения 
д елятся пополам. Следовательно, получаем на поставлен­
ны й вы ш е вопрос однозначны й ответ: “Если диагонали 
любого четы рехугольника пересекаю тся и в точке пере­
сечения делятся пополам, то он является только п аралле­
лограм мом ” .
П араллелограм м отличается от всех остальны х четы ­
рехугольников тем, что имеет свойство: “противополож ­
ные стороны попарно п ар ал л ел ьн ы ” — видовое отличие 
(структурный компонент определения) параллелограм ма. 
У параллелограм м а есть и другие п ри зн аки , по которым 
его можно выделить среди остальны х четы рехугольников. 
У тверж денная выш е обратная теорема явл яется п ри зн а­
ком п ар ал л ел о гр ам м а. А теорем а “У п ар ал л ел о гр ам м а 
диагонали пересекаю тся и в точке пересечении делятся 
пополам” является свойством.
В процессе о б у ч ен и я м а т е м а т и к е у ч а щ и х с я в аж н о
учить различать, к а к а я из взаимно обратных теорем опи­
сывает свойство, а к а к а я — при зн аки п он яти я параллело­
грамма.
Д л я этого необходим о п ровод и ть си стем ати ч еск у ю
работу по раскры тию сути взаим но обратны х теорем и 
обучению учащ ихся:
— выделять условие и заклю чение теоремы, при необхо­
димости осущ ествлять перевод из категоричной формы в 
импликативную форму;
— формулировать обратную теорему данной теореме;
— доказы вать истинность обратной теоремы;
— определять, к а к а я теорема из взаимно обратных тео­
рем является свойством, а к а к а я — признаком;
145

— 
прим енять прям ы е и обратные теоремы при решении 
задач.
В целом работа с теоремой вклю чает следующие этапы:

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: