Теория и методика обучения математике

теоремой или определением и назы ваться 
посылкой
или 
обоснованием
данного ш ага;
2) данные из условия теоремы, обоснованные с опорой 
на посы лку ш ага или следствия из преды дущ их ш агов;
3) выводы, сделанные при использовании обоснования 
ш ага к условию теоремы или к полученным ранее след­
ствиям.
Рассмотрим доказательство следующей теоремы: “Если 
в треугольнике медиана явл яется и высотой, то треуголь­
ник равносторонний” .
Д а н о
: А 
АВС, СД
— медиана и высота.
Д оказат ь: А АВС
— равносторонний (рис. 7).
Д оказат ельст во:
I 
с и л л о ги з м :
а) Больш ая посы лка (БП). М едиана треугольника делит 
сторону треугольника пополам.
б) М алая посы лка (МП). 
СБ —
медиана А 
АВС.
в) Заклю чение (3). АО = 
Б В .
Рис. 7
II 
силлогизм:
а) БП: Высота треугольника перпендикулярна стороне 
треугольника, к которой опущ ена.
б) МП: В 
ААВС СБ 1 А В .
в) 3: 
ААЛС
= 
/_ВВС.
III 
силлогизм:
а) БП : Если в одном треугольнике две стороны и угол 
меж ду ними будут соответственно равны двум сторонам 
и углу меж ду ними другого треугольника, то углы будут 
равными.
б) МП: В треугольниках АОС и 
ВБС:
АХ) = В Б
(I 
силлогизм),
СІ) — общ ая сторона.
/УШС = А В Б С
(II 
силлогизм).
в) 3: ДАОС = 
АВБС.
147

IV 
с и л л о г и з м
:
а) БП : Если тр еу го л ьн и к и равн ы , то равны соответ­
ствую щ ие стороны и соответствующие углы .
б) МП: А
АВ С =
А
В В С
(III 
си л л о ги зм
).
в) 3: АС = 
ВС,
следовательно, Д
АВС
— равнобедренный.
Отметим, что больш ими посы лкам и могут быть д о ка­
занны е ранее утверж дения, теоремы и аксиом ы , сформу­
лированны е определения. В малой посы лке — условие до­
казы ваем ой теоремы или заклю чения преды дущ их шагов, 
полученны х в процессе доказательства. М алая посы лка 
явл яется промеж уточным связую щ им звеном меж ду боль­
шой посы лкой и заклю чением ш ага.
Обычно при доказательстве термин 
си ллогизм
не упот­
ребляется, вместо него используется вы раж ение 
шаги до­
ка за т е льс т ва теоремы,
которые нумерую тся.
Н ап р и м е р , р ассм о тр и м д о к а за те л ь с т в о следую щ ей 
тео р ем ы : “ Е сли д и а г о н а л и п а р а л л е л о г р а м м а п е р п е н ­
д и ку л яр н ы , то он — ромб” (рис. 8).
В 
С
Дано: А В С В
—параллелограм м , АС 
п В В
= О, АС _]_ 
В Б .
Д оказат ь: А В С В
— ромб.
Доказат ельст во:
1. 
А В С В
— п ар ал л ел о гр ам м . Д и агон али п ар ал л ел о ­
грам м а пересекаю тся и в точке пересечения делятся попо­
лам , т.е. 
АО = ОС; ВО = ОВ.
2.АОВ, ВОС, СОВ, БО А
— прямоугольные треугольники 
(по условию теоремы);
АО = ОС; 
ВО
= 
О Б
(по первому заклю чению );
Треугольники с равными катетам и равны:
ДАОВ = А 
ВОС
= А 
СОВ =
А 
ВОА;
3. А
АО В
= А
ВОС = АСОВ =
А 
ВО А
(по второму заклю че­
нию);
148

А АО В = /1ВОС = АСОБ - /_ООА
(по условию теоремы — 
прямы е углы).
В равны х треугольниках против равны х углов леж ат 
равные стороны:
ВС = С О = А О = АВ.
4. 
А В С Б
—п ар а л л е л о гр а м м (по услови ю теорем ы ); 
А В
= 
ВС
= 
СИ =
АО (по заклю чению третьего ш ага). Вывод: 
АВСО
— ромб.
М. В. М етельский считает, что обучение учащ и хся до­
казательству теорем, представленных в ш кольн ы х учеб­
н иках в упрощ енном виде, с помощью силлогизмов спо­
собствует усвоению ими логики м атем атических д о к аза­
тельств (39).
В процессе доказательства теорем составные части ш а­
гов могут быть располож ены по-разному: вначале дается 
обоснование, а затем в соответствии с этим формулируется 
заклю чение теоремы, или вначале ф ормулируется зак лю ­
чение, затем дается его обоснование.
Методы доказательства теорем.
Ранее было отмечено, что доказательства бывают п р я ­
мые и косвенные. П рям ы е доказательства, в свою очередь, 
делятся на 
а н а ли т и ч еск и е
и 
с и н т е т и ч е с к и е .
О них было 
р ассказано при рассм отрении темы о м етодах обучения 
м атем атике. Здесь ограничим ся приведением отдельны х 
примеров.
I
.А н а л и т и ч е с к и й метод доказат ельст ва.
Восходящий а н а л и з {анализ П аппа).
П риведем доказательство теоремы: “Если в ч еты р ех ­
угольнике противополож ны е стороны попарно равны , то 
ч еты рехугольник — параллелограм м ” методом восходя­
щего анализа.
Д а н о : А ВС В
— четы рехугольник, 
А В — ОС
и 
ВС — АТ).
Д оказат ь: А В С В
— параллелограм м.
Д оказат ельст во:
Д ля доказательства того, что четы рехугольник 
А С В Б
я в л я е т с я пар а ллело гр а м м о м ,
достаточно д о к азать, что 
А В
|| 
ОС
и ВС|| 
АО.
(Ах)
Д ля доказательства параллельности сторон ч еты р ех ­
угольника достаточно доказать равенство накрест л е ж а ­
щ их углов, образуем ы х при пересечении двух п р ям ы х
третьей. 
(А2)
149

Т аки е накрест л еж ащ и е углы можно получить, если 
провести диагональ АС: 
/ А С В
и 
/ С А В ; / В А С
и 
/ А С В .
(А3) 
Д ля д о казательства равенств 
/ А С В
и 
/ С А В ; /.В АС
и 
/ А С В
достаточно доказать равенство треугольников 
АВС
и 
СВА.
(А4)
Д л я д о к азател ьства равенства треугольн и ков 
А В С
и 
С В А
достаточн о у стан о в и ть сп р авед л и во сть равен ств: 
АО = 
ВС, А В = ВС, АС
= 
АС,
а эти равенства вы полняю тся, 
что и требовалось доказать.
С хем атично д о к азател ьство данной теоремы м ож но 
представить следую щ им образом:

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: