Теория и методика обучения математике

н и я. Обе эти операции носят название 
логико-м ат ем ат и­
ческого а н а л и з а
определения.
В ш ко л ьн о м курсе встречаю тся 
к о н с т р у к т и в н ы е
и 
рекурсивные
(генетические) определения, которые раскры ­
ваю тся путем показа операций его конструирования, т.е. 
его видовые отли чи я заданы в виде действий.
К онструктивны е действия могут задаваться различно. 
В рекурсивны х определениях указы ваю тся базисные объ­
екты некоторого класса и правила, позволяю щ ие получить 
новые объекты этого ж е класса, наприм ер, определения 
ариф м етической и геометрической прогрессий.
Определение
: “А рифметической прогрессией н азы вает­
ся последовательность, в которой к аж д ы й член, начи н ая 
со второго, равен предыдущ ему, сложенному с одним и тем 
ж е членом ” .
Л о ги ч е с к и й а н а л и з определения'.
Термин — ари ф м е­
ти ческая прогрессия. Род — последовательность. Видовые 
отличия: 
а г
— дан, 
а2 = а г
+ с? (в общем виде 
ап
) — дан; 
а , = а + (І.
П +
1 
П
Д ей стви я п о л у ч ен и я последую щ его ч л е н а, если и з ­
вестен преды дущ ий член, указан ы в видовых отличиях.
В акси ом ати ческом определении (в опосредованном) 
вы деляю тся аксиом ы , описываю щ ие неопределяемые по­
н я ти я , в связи с уж е изученны м и темами. Это позволяет 
оценить зн ан и я, которы е необходимо актуализировать.
В ш кольной м атем атике встречаю тся и отрицательны е 
определения. Они не задаю т свойства объектов, а вы пол­
няю т квалиф икационн ую ф ункцию . Если класс объектов 
разбит на группы (множества) и объектам одной группы, 
обладаю щ ей определенны м и свойствам и, присвоен тер ­
м и н , это и есть о б ъ ек ты , которы е п р и н а д л е ж а т этому 
классу, но не обладают отмеченными свойствами (всеми 
и ли ч асти ч н о ). Т а к и м о б ъ ектам д ается отри ц ательн ое 
определение, прим ером которого явл я ется определение 
иррационального числа.
Т аки м образом, 
логическое дейст вие
— определение 
объекта — везде одинаково, но 
содержательные
(матема­
тические) 
дейст вия
в каж дом из отмеченных видов опре­
делений различн ы .
108

Д л я явн ы х определений сущ ествую т ф орм ально-ло- 
гические требования их корректности.
Можно такж е выделить еще одно требование, которое 
заклю чается в показе целесообразности введения п о н я ­
тия. О пределяя понятие, необходимо приводить примеры
объектов, ему не удовлетворяю щ их, и показать, что опре­
деление не я в л я е т с я б ессодерж ательн ы м . В ш кольн ом
курсе встречаю тся ситуации, когда после определения до­
казы вается теорема сущ ествования.
В п роцессе об уч ен и я н еобходим о у ч и ты в а т ь ещ е и 
методические требования: определение поняти я сформу­
лировать после всестороннего изучения предмета; изучать 
предмет не в статике, а в развитии; учиты вать критери й 
п ракти ки и принцип конкретности истины (4).
4.3. К л асси ф и кац и я понятий
Объем п о н яти я р аскры вается путем кл асси ф и кац и и . 
К л а с с и ф и к а ц и я
— си стем ати ч еско е расп ред елен и е н е­
которого множ ества на непересекаю щ иеся классы путем 
последовательного деления.
Д ел ен и е
— логическая операция, раскры ваю щ ая объем 
понятия путем вы деления в нем возмож ны х видов объек­
та. Н апример, из объема п о н яти я 
квадратное уравнение
можно выделить следующие объекты: 
полные квадратные
уравнения
; 
неполные квадратные уравнения; приведенные
квадратные уравнения.
Точно такж е из объема поняти я 
тригонометрические уравнения
можно выделить 
простые
, 
однородные
, приводимые к квадратны м уравнениям
т ри­
гонометрические уравнения.
Делимое понятие — родовое 
понятие. Основой деления являю тся видовые отличия — 
понятия.
При осущ ествлении к л асси ф и кац и и важ ен выбор ос­
нования: разны е основания дают разны е классиф икации. 
Например, выбрав в качестве основания углы треугольни­
ка, все треугольники можно разделить на остроугольные, 
тупоугольные и п рям оугольн ы е, а выбрав стороны тр е­
угольника — на равносторонние, равнобедренные, разно­
сторонние. Деление можно продолж ить, например: прям о­
угольные треугольники можно разделить на равносторон­
109

ние и неравносторонние, а равнобедренны е треугольни­
ки — на прямоугольные равнобедренные и прямоугольные 
неравнобедренные и т.д.
Д ругой п рим ер: вы брав в к ач естве основания к о л и ­
чество равны х сторон, все параллелограм м ы можно р аз­
делить на ромбы и параллелограм м ы , имею щ ие неравные 
см еж ны е стороны; а такое основание, к а к наличие п р я ­
мого угла, позволяет разделить все параллелограм м ы на 
п р я м о у г о л ь н и к и и п а р а л л е л о гр а м м ы , не я в л я ю щ и е с я
прям оугольникам и.
К ласси ф и кац и я м ож ет производиться по 
сущ ест вен­
ным свойствам
(естественная) и 
несущ ест венны м
(вспо­
м огательная). П ри естественной класси ф и кац и и , зн ая, к 
какой группе принадлеж ит элемент, можно судить о его 
свойствах.
Рассм атриваю т два вида деления:
— деление по видоизменению п ри зн ак а — это деление, 
при котором свойство — основание деления присущ е объ­
ектам выделенны х видов в разной степени;
— дихотомическое (от греч. 
сіісһа
и 
іоте
— 
делит ь на
два)
— это деление, при котором данное понятие делится на 
два вида по наличию или отсутствию некоторого свойства.
Н априм ер, в алгебре у р авн ен и я мож но к л асси ф и ц и ­
ровать по п о к азател ям степени: первой степени, второй 
степени, третьей степени и т.д. Квадратное уравнение, в 
зависимости от коэф ф ициента 
х
и отсутствия свободного 
члена, мож но классиф ицировать на полные и неполные 
квадратны е уравнения. Выбор основания классиф икации 
зависит от содерж ания м атериала и постановки цели.
К л а с с и ф и к а ц и я по ви довы м о тл и ч и я м м ож ет быть 
осущ ествлена одновременно и по нескольким свойствам. 
Н априм ер, уравнение первой степени с двум я неизвест­
ны м и, уравнение второй степени с двум я неизвестны ми 
и т.д.
Д ихотом ия дает возмож ность последовательно по не­
скольку раз осущ ествлять деление.
Н априм ер, н и ж е приведена к л асси ф и к ац и я п он яти я 
действительного числа из ш кольного курса м атем атики 
(схема 1):

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: