Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни
Смешивание стратегий в неантагонистических играх
жүктеу/скачать 4,03 Mb. Pdf көрінісі
|
|
Смешивание стратегий в неантагонистических играх До сих пор мы рассматривали в этой главе только антагонистические игры, в которых интересы игроков полностью противоположны: игры с нулевой суммой или игры с посто- янной суммой. Однако мы неизменно подчеркиваем, что в реальной жизни интересы людей могут совпадать, а могут и противоречить друг другу. Играет ли смешивание стратегий зна- чимую роль в играх с ненулевой суммой? Да, но с некоторыми условиями. В качестве иллюстрации еще раз рассмотрим охотничью версию игры «семейный спор», о которой шла речь в главе 4 . Вспомните наших отважных охотников Фреда и Барни, которые решают (каждый в своей пещере), на какого зверя им охотиться – на оленя или на бизона. Удачная охота требует совместных усилий обоих охотников, поэтому, если они выберут противоположные варианты, никто из них не добудет мяса. И Фред, и Барни заин- тересованы в том, чтобы предотвратить такой итог. Однако помимо двух вариантов благо- получного исхода (при условии, что они охотятся на одном участке) нужно учесть, что Фред отдает предпочтение мясу оленя и оценивает результат совместной охоты на этого зверя как четыре вместо трех единиц мяса, тогда как у Барни противоположные предпочтения. Сле- довательно, таблица их выигрышей выглядит так: Как мы уже убедились, в этой игре есть два равновесия Нэша; в таблице они выделены серым цветом. Теперь мы назвали бы их равновесиями в чистых стратегиях. Но возможно ли такое равновесие в игре со смешанной стратегией? По каким причинам Фред выбрал бы смешанную стратегию? Возможно, он не уверен в том, что именно выберет Барни. Если под влиянием этих субъективных сомнений Фред оценивает число случаев, когда Барни выберет охоту на оленя и на бизона, как y и (1 – у) соответственно, тогда он рассчитывает на выигрыш в размере 4y + 0(1 – y) = 4y, если он сам выберет охоту на оленя, и 0y + 3(1 – y), если он сам выберет охоту на бизона. Если y имеет значение, при котором 4y = 3(1 – y), или 3 = 7y, или y = 3∕7, тогда Фред получит один и тот же выигрыш, выбрав стратегию охоты на оленя или на бизона, а также если он решит использо- вать обе стратегии в любой пропорции. Предположим, что Фред смешивает стратегию охоты на оленя и на бизона в таких пропорциях, что для Барни не имеет значения, какую из чистых стратегий выбрать. (Эта игра симметрична, поэтому вы можете предположить – и подтвер- дить это предположение расчетами, – что Фред должен смешивать свои стратегии, выбирая охоту на оленя в x = 4∕7 случая.) При этом Барни тоже мог бы смешивать свои стратегии по такому принципу, чтобы Фреду было все равно, какую стратегию выбрать, а значит, Барни сам мог бы выбрать оптимальную стратегию. Эти два варианта смешивания стратегий – x = 4∕7 и y = 3∕7 – образуют равновесие Нэша в смешанных стратегиях. А. Диксит, Б. Д. Нейлбафф. «Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни» 129 Всегда ли такое равновесие обеспечивает удовлетворительный результат? Нет. Про- блема в том, что два охотника делают свой выбор независимо друг от друга. Следовательно, Фред выберет охоту на оленя, тогда как Барни выберет охоту на бизона, в 4∕7 × 4∕7 = 16∕49 случаях, и наоборот – в 3∕7 × 3∕7 = 9∕49 случаях. Таким образом, в 25∕49 или немногим более половины случаев два охотника окажутся на разных участках и получат нулевой выиг- рыш. Воспользовавшись приведенными формулами, мы увидим, что каждый из них полу- чит выигрыш в размере 4 × 3∕7 + 0 × 4∕7 = 12∕7 ≈ 1,71, что меньше выигрыша 3 в случае неблагоприятного равновесия в чистых стратегиях. Для того чтобы избежать таких ошибок, Фреду и Барни необходимо согласовать свои действия в плане смешивания стратегий. Могут ли они сделать это, находясь в отдаленных пещерах и не имея никаких средств связи? Возможно, охотники могли бы заранее догово- риться о согласовании действий, опираясь на то, в каких условиях оба будут собираться на охоту. Предположим, в их местности половину дней в году по утрам идет дождь. Фред и Барни могут договориться, что оба отправятся охотиться на оленя, если в тот день пойдет дождь, и на бизона – если будет сухо. В таком случае каждый из них получит средний выиг- рыш в размере ½ × 3 + ½ × 4 = 3,5. Таким образом, скоординированная рандомизация обес- печивает охотникам изящный способ найти нечто среднее между благоприятным и неблаго- приятным равновесием Нэша в чистых стратегиях, иными словами, воспользоваться таким инструментом, как переговоры. Нескоординированное равновесие Нэша в смешанных стратегиях не только обеспечи- вает игрокам низкий выигрыш, но и является хрупким и нестабильным. Если оценка Фредом вероятности того, что Барни выберет охоту на оленя, хотя бы немного превысит значение 3∕7 ≈ 0,42857 и составит, скажем, 0,43, тогда выигрыш Фреда от выбора охоты на оленя, а именно 4 × 0,43 + 0 × 0,57 ≈ 1,72, превысит выигрыш от выбора охоты на бизона – 0 × 0,43 + 3 × 0,57 ≈ 1,71. Следовательно, Фреду нет смысла смешивать стратегии, а лучше выбрать чистую стратегию охоты на оленя. В таком случае лучший ответный ход Барни – чистая стратегия охоты на оленя, а это значит, что равновесие в смешанных стратегиях нарушено. В заключение хотелось бы обратить ваше внимание на то, что у равновесия в сме- шанных стратегиях есть необычное свойство, не совсем понятное интуитивно. Предполо- жим, выигрыш Барни изменится с 3 и 4 на 6 и 7 единиц соответственно, а выигрыш Фреда останется неизменным. Как это повлияет на пропорции смешивания стратегий? Снова обо- значим символом y относительное число случаев, когда Барни, по мнению Фреда, должен выбрать охоту на оленя. В данной ситуации Фред все равно получит выигрыш в размере 4y от выбора чистой стратегии охоты на оленя и 3(1 – y) – от выбора чистой стратегии охоты на бизона. В итоге при значении y = 3∕7 для Фреда не будет иметь значения, какую стратегию выбрать, и он будет готов к смешиванию стратегий. С другой стороны, присвоив значение х относительному числу случаев выбора охоты на оленя в смешанной стратегии Фреда, Барни получит выигрыш 6x + 0(1 – x) = 6x за счет чистой стратегии охоты на оленя и 0x + 7(1 – x) = 7(1 – x) за счет чистой стратегии охоты на бизона. Приравняв эти два выражения, получим x = 7∕13. Таким образом, изменение выигрыша Барни никак не скажется на равновесии в его смешанной стратегии, но изменит пропорции в смешанной стратегии Фреда! Поразмышляв еще немного, вы поймете, что это не так уж и странно. Возможно, Барни готов смешивать свои стратегии только потому, что он не уверен в действиях Фреда. Сле- довательно, в приведенных расчетах учтен выигрыш Барни и вероятность выбора, который сделает Фред. Если мы приравняем два итоговых выражения и решим полученное урав- нение, то увидим, что вероятность того, какую именно пропорцию смешивания стратегий выберет Фред, зависит от выигрыша Барни, и наоборот. Однако это настолько тонкие и на первый взгляд непривычные рассуждения, что во время проведения экспериментов большинство игроков не могут понять этого даже тогда, А. Диксит, Б. Д. Нейлбафф. «Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни» 130 когда им предлагают рандомизировать выбор стратегий. Они меняют вероятность смешива- ния стратегий, когда меняется их собственный выигрыш, а не выигрыш другого игрока. жүктеу/скачать 4,03 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|