Тіркеу нөмірі 204-ж Регистрационный №204-ж

Тіркеу нөмірі 204-ж
Регистрационный № 204-ж
№ 2 (58), мауысым, 2013
№ 2 (58), июнь, 2013
1999 жылдан бастап шығады
Основан в 1999 году
Жылына 4 рет шығады
Выходит 4 раза в год
Ғылыми журнал
Шығыстың
аймақтық хабаршысы
Региональный вестник
Востока
Научный журнал
Өскемен
С. Аманжолов атындағы
ШҚМУ баспасы
•
Усть-Каменогорск
Издательство ВКГУ
имени С. Аманжолова
 

Редакциялық-баспа кеңесі • Редакционно-издательский совет
Бас редактор • Главный редактор
Қуандықов Ә.Ө., экономика ғылымдарының докторы
Бас редактордың орынбасары • Заместитель главного редактора
Ердембеков Б.А., филология ғылымдарының докторы, профессор
Жауапты хатшы • Ответственный секретарь
Амангелді А.А., филология ғылымдарының кандидаты
Кеңес мүшелері • Члены совета
Алексеенко А.Н., тарих ғылымдарының докторы, профессор; Амреева Л.М., медицина 
ғылымдарының  кандидаты,  доцент;  Ахметжанова  К.Б.,  философия  ғылымдарының  док-
торы; Әділғазинов Ғ.З., педагогика ғылымдарының докторы, профессор; Әлімбетов У.С., 
экономика  ғылымдарының  докторы,  профессор;  Базарбеков  А.Б.,  физика-математика 
ғылымдарының  докторы;  Болғауов  Т.А.,  экономика  ғылымдарының  кандидаты,  доцент; 
Демченко Л.Н., филология ғылымдарының кандидаты; Дьячков Б.А., геология-минерало-
гия ғылымдарының докторы, ҚР ҰҒА академигі; Завалко Н.А., педагогика ғылымдарының 
докторы,  профессор;  Игібаева  А.К.,  педагогика  ғылымдарының  докторы,  доцент; 
Игібаев  С.Қ.,  тарих  ғылымдарының  докторы,  профессор;  Клочко  В.Е.,  психология 
ғылымдарының докторы, профессор (Томск қ.); Мәмбетқазиев Е.А., химия ғылымдарының 
докторы,  ҚР  ҰҒА  академигі;  Мостовенко  Г.И.,  философия  ғылымдарының  кандидаты, 
профессор;  Погребняк  А.Д.,  физика-математика  ғылымдарының  докторы,  профессор 
(Сумы  қ.);  Рахимбердин  К.Х.,  заң  ғылымдарының  кандидаты;  Ревякин  В.С.,  география 
ғылымдарының  докторы,  РФ  ЖҒА  академигі  (Бийск  қ.);  Русанов  В.П.,  педагогика 
ғылымдарының  докторы,  профессор;  Сидорович  А.В.,  экономика  ғылымдарының  док-
торы,  профессор  (Мәскеу  қ.);  Сқақов  М.К.,  физика-математика  ғылымдарының  докторы, 
профессор;  Шапиро  Н.А.,  экономика  ғылымдарының  докторы,  профессор  (Санкт-Петер-
бург қ.).
«Шығыстың  аймақтық  хабаршысы»  ғылыми  журналы  техника,  филология,  педагогика 
және  психология  ғылымдары  бойынша  диссертациялардың  негізгі  ғылыми  нәтижелерін 
жариялау  үшін    ҚР  БҒМ  Білім  беру  және  ғылым  саласындағы  бақылау  комитеті  ұсынған 
басылымдар тізіміне енгізілді.
Научный журнал «Региональный вестник Востока» включён в Перечень изданий, реко-
мендованных Комитетом по контролю в сфере образования и науки МОН РК для публика-
ции основных научных результатов диссертаций по техническим, филологическим, педаго-
гическим и психологическим наукам. 
ISSN 1683-1667 
© Восточно-Казахстанский
 
государственный университет
 
имени С. Аманжолова, 2013

Шығыстың аймақтық хабаршысы   
 
 
                                       № 2 (58), 2013
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ 
ЖӘНЕ ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ҒЫЛЫМДАРЫ
УДК 669.14:539.4
Е.А. Дубов
Алтайский государственный технический университет, г. Барнаул, Россия
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЁТОК 
УПОРЯДОЧЕННЫХ СПЛАВОВ СО СВЕРХСТРУКТУРОЙ D0
24
D0
24
  жоғарықұрылымды  реттеулі  құйындыларда  тордың  тұрақты  күйіне 
мінсіз тор түйіндері күйінен атомдардың  болымсыз орын  ауыстыруы нәтижесінде 
жетеді. Жоғарықұрылымды релаксация әсерінен болған ішкі энергияның төмендеуі АВ
3
 
құрылымдық бірлігіне ~0,01 эВ жетеді. Бос орындарды үлгілеу мысалында осы орын 
ауыстыруларды есепке алу қажеттігі көрсетіледі.
В упорядоченных сплавах со сверхструктурой D0
24
 стабильное состояние решет-
ки достигается в результате незначительных смещений атомов из положения узлов 
идеальной решетки. Понижение внутренней энергии, вызванное сверхструктурной ре-
лаксацией, достигает ~0,01 эВ на структурную единицу АВ
3
. На примере моделирова-
ния вакансии показана необходимость учета этих смещений.
In the ordered alloys with superstructure D0
24
 the stable condition of a lattice is reached 
as a result of insignificant displacement of atoms from positions of units of an ideal lattice. 
The value of downturn of the internal energy, caused by of a superstructural relaxation makes 
~0,01 eV on structural unit АВ
3
. On an example of simulation of vacancy the necessity of the 
registration of these offsets is shown.
Одним из направлений внедрения и развития инновационных технологий 
в промышленности является создание и применение новых материалов с изна-
чально заданным набором физико-механических свойств. В этом случае упорядо-
ченные сплавы вполне могут быть применены для изготовления ответственных 
деталей приборов и устройств. Однако, в процессе изготовления неизбежно по-

4
№ 2 (58), 2013   
 
 
                                   Региональный вестник Востока
явление дефектов структуры, что, безусловно, повлияет на физико-механические 
свойства материала. Проведение классических экспериментов по определению 
свойств дефектных кристаллов экономически затратно ввиду дороговизны из-
готовления образцов. Для уменьшения себестоимости и уточнения направлений 
исследования может быть применен метод компьютерного моделирования. Бур-
ное  развитие  компьютерной  техники  способствовало  созданию  и  апробирова-
нию моделей, которые позволили понять и осмыслить механизмы формирования 
физико-механических свойств упорядоченных сплавов.
Однако, достоверные данные о структуре и свойствах материала могут быть 
получены только при обеспечении адекватности модели реальному кристаллу. 
Для адекватного описания свойств низкосимметричных кристаллов необходимо 
учитывать распределенные по объему статические искажения кристаллических 
решеток. О существовании таких искажений известно еще с середины прошлого 
столетия. Количественное же их описание до сих пор не проводилось в силу ряда 
факторов:  сложности  строения  низкосимметричных  кристаллов,  неизбежных 
трудностей  вычислительного  характера,  а  также  малости  атомных  смещений. 
Между тем, игнорирование статических искажений совершенно недопустимо, 
особенно при моделировании дефекта решетки, так как в этом случае внутрен-
няя релаксация решетки, обусловленная её низкой симметрией, будет восприни-
маться как релаксация, обусловленная присутствием именно этого дефекта. В 
этой связи, необходимо приведение кристаллической решетки в равновесное со-
стояние путем её предварительной релаксации. В противном случае могут быть 
получены неадекватные результаты.
В работе [1] описано моделирование состояния кристаллических решеток 
сплавов  со  сверхструктурой  D0
24
,  с  использованием  потенциальной  функции, 
учитывающей  анизотропию  данной  сверхструктуры,  определены  энергии  об-
разования одиночных вакансий и получены «компьютерные снимки» атомных 
конфигураций кристаллических решеток вблизи них. Отмечено, что для полу-
чения  адекватных  результатов  при  моделировании,  необходимо  учитывать  не 
только низкую симметрию данной сверхструктуры, но и сверхструктурные иска-
жения кристаллических решеток сплавов, возникающие вследствие анизотроп-
ности окружения атомов. Целью настоящей работы является более подробное 
описание дополнительной стабилизации кристаллических решеток сплавов со 
сверхструктурой  D0
24 
методом  сверхструктурной  релаксации  и  необходимости 
его  применения  при  моделировании  низкосимметричных  сверхструктур.  Мо-
делирование сверхструктурной релаксации и ее влияние на расчетное значение 
энергии образования вакансий проведено для сплавов TiNi
3
, TiPd
3
, ZrPd
3
, HfPd
3
, 
ZrPt
3
, HfPt
3
.
Стехиометрическая формула сверхструктуры D0
24
 – АВ
3
. Последователь-
Е.А. Дубов

5
Шығыстың аймақтық хабаршысы   
 
 
                                       № 2 (58), 2013
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ность  укладки  слоев  в  сверхструктуре  D0
24
  соответствует  решетке  узлов  типа 
α-лантана. 
Устойчивое состояние гексагональных кристаллов при экспериментально 
наблюдаемых размерах элементарных ячеек, описывалось потенциальной функ-
цией  нецентрального  анизотропного  межатомного  взаимодействия,  зависящей 
от длины и ориентации вектора межатомной связи
 
,  
(1)
где  θ  –  угол  между  вектором  межатомной  связи  и  главной  осью  кристалла,  ξ 
– параметр анизотропии. Данная функция представляет собой функцию Морза, 
модулированную ориентационным множителем. Подробное описание модели-
рования межатомных взаимодействий в сплавах и параметры межатомных по-
тенциалов для них приведены в [1, 2], там же описана процедура моделирования 
одиночной вакансии в сплавах гексагональных сверхструктур.
В  кристаллах  низкосимметричных  сверхструктур  –  D0
19
,  D0
24
  и  других 
вследствие асимметричного расположения атомов по узлам элементарной ячей-
ки стабильное состояние кристаллической решетки достигается в результате её 
искажений. Эти искажения справедливо назвать сверхструктурными, поскольку 
они характерны для кристалла рассматриваемой сверхструктуры независимо от 
его предыстории. Смещения атомов, обусловленные сверхструктурными иска-
жениями, незначительны по сравнению с межатомными расстояниями. Величи-
на этих статических смещений атомов может быть измерена экспериментально 
с  помощью  дифрактометрических  методов.  Однако,  вследствие  малости  этих 
смещений, точность измерений должна быть высокой. В качестве «меры иска-
жения» может служить величина среднеквадратичного смещения атомов из гео-
метрически правильных положений узлов кристаллической решетки.
Сверхструктурная  релаксация  (ССР)  при  компьютерном  моделировании 
представляет собой процесс перехода кристаллической решетки в более энерге-
тически выгодное состояние. Это состояние достигается смещением всех атомов 
кристалла из узлов идеальной решетки вследствие асимметричности сил межа-
томного взаимодействия в низкосимметричных сверхструктурах. При модели-
ровании этого процесса кристаллические решетки сплавов со сверхструктурой 
D0
24
  представлялись  состоящими  из  шестнадцати  подрешеток.  Каждая  подре-
шетка смещалась в направлении действующих на неё сил до достижения ста-
бильнейшего состояния. Смещения подрешеток эквивалентны смещениям ато-
мов из узлов идеальной решетки ввиду одинаковости окружения каждого атома 
в одной подрешетке. Величины E
sr
 понижения внутренней энергии сплавов со 

6
№ 2 (58), 2013   
 
 
                                   Региональный вестник Востока
сверхструктурой D0
24
, полученные в результате сверхструктурной релаксации в 
расчете на структурную единицу АВ
3
 приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Энергия сверхструктурной релаксации (E
sr
) сплавов
Сплав
TiNi
3
TiPd
3
HfPd
3
ZrPd
3
HfPt
3
ZrPt
3
E
sr 
, эв./стр.ед.
0.0025
0.0015
0.0158
0.0464
0.0101
0.0071
Картины искажений решеток исследуемых сплавов, обусловленные сверх-
структурной релаксацией, приведены на рисунках 1-6 в виде проекций кристал-
лической решетки на плоскость заданной ориентации. Положения атомов раз-
личного сорта изображены кружками различного размера и окраски. Более «уда-
ленным» атомам сопоставлены кружки меньшего размера. Проекции векторов 
атомных смещений ввиду их малости изображены увеличенными в целое число 
раз (масштаб атомных смещений).
При попытке представить сверхструктуру D0
24
 из 32 подрешеток, картины 
атомных смещений оказываются идентичны картинам, построенным исходя из 
16 подрешеток. Наоборот, если сверхструктуру D0
24
 представить состоящей из 
8  подрешеток,  то  в  результате  сверхструктурной  релаксации  понижение  энер-
гии происходит в меньшей степени, и не проявляются некоторые особенности 
микродеформации решетки.
В  сплавах  со  сверхструктурой  D0
24
  атомы  сорта  В  смещаются  в  направ-
лении от атомов сорта А, находящихся в той же плоскости. Полученные карти-
ны атомных смещений можно трактовать как совокупность точечных дефектов 
замещения, равномерно распределенных по всему объему кристалла. Действи-
тельно, если представить, что в решетке металла один из атомов заменен атомом 
другого сорта, то такой дефект будет являться дефектом замещения и, вследствие 
нарушения изотропности связей в его окрестности вызовет искажения решетки. 
В  сплавах  гексагональных  сверхструктур  неизотропность  межатомных  связей 
заложена изначально и наблюдается по всему объему.
Из сопоставления данных таблицы 1 и картин искажений видна корреля-
ция между величиной атомных смещений и величиной энергии сверхструктур-
ной  релаксации  –  при  возрастании  E
sr 
увеличивается  и  амплитуда  смещений. 
Векторы атомных смещений упорядочены – расположены преимущественно в 
базисной плоскости под углом 60
о
 друг к другу.
Е.А. Дубов

7
Шығыстың аймақтық хабаршысы   
 
 
                                       № 2 (58), 2013
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
а)
б)
Рисунок 1 – Проекция кристаллической решетки сплава HfPd
3
 на плоскость (0001) – а) и 
плоскость 
 – б).   – атом Hf,   – атом Pd. Масштаб атомных смещений 30:1.
а)
б)
Рисунок 2 – Проекция кристаллической решетки сплава HfPt
3
 на плоскость (0001) – а) и 
плоскость 
– б).   – атом Hf,   – атом Pt. Масштаб атомных смещений 50:1.

8
№ 2 (58), 2013   
 
 
                                   Региональный вестник Востока
а)
б)
Рисунок 3 – Проекция кристаллической решетки сплава TiNi
3
 на плоскость (0001) – а) и 
плоскость 
 – б).   – атом Ni,   – атом Ti. Масштаб атомных смещений 50:1.
а)
б)
Рисунок 4 – Проекция кристаллической решетки сплава TiPd
3
 на плоскость (0001) – а) и 
плоскость 
 – б).   – атом Pd,   – атом Ti. Масштаб атомных смещений 250:1.
Е.А. Дубов

9
Шығыстың аймақтық хабаршысы   
 
 
                                       № 2 (58), 2013
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
а)
б)
Рисунок 5 – Проекция кристаллической решетки сплава ZrPd
3
 на плоскость (0001) – а) и 
плоскость 
 – б).   – атом Zr,   – атом Pd. Масштаб атомных смещений 20:1.
а)
б)
Рисунок 6 – Проекция кристаллической решетки сплава ZrPt
3
 на плоскость (0001) – а) и 
плоскость 
 – б).   – атом Zr,   – атом Pt. Масштаб атомных смещений 50:1.

10
№ 2 (58), 2013   
 
 
                                   Региональный вестник Востока
Необходимость проведения процедуры дополнительной стабилизации кри-
сталлической решетки при моделировании дефектной структуры сплавов низко-
симметричных сверхструктур можно проиллюстрировать на примере вакансий. 
Компьютерное моделирование одиночных вакансий в сплавах со сверхструкту-
рой D0
24
 с применением метода сверхструктурной релаксации для поиска равно-
весного состояния решетки подробно описано в работе [1]. Там же приведены 
значения энергий образования вакансий в сплавах рассматриваемой сверхструк-
туры и конфигурации кристаллической решетки сплава TiNi
3
 вблизи вакансии. 
Если провести моделирование вакансий в соответствии с тем же алгоритмом, но 
без учета ССР, то есть в предположении, что в стартовой конфигурации атомы 
находятся в узлах идеальной решетки, то будут получены принципиально отлич-
ные значения энергии образования дефекта (таблица 2).
Атомные конфигурации, возникающие вблизи вакансий, полученные с уче-
том сверхструктурной релаксации и без такового во всех рассматриваемых спла-
вах существенно отличаются. В качестве примера на рисунках 7-8 представлены 
атомные конфигурации, возникающие в сплаве TiNi
3
 (вакантный атом Ni в слое 
a), так как в этом случае наблюдается наибольшее релаксационное понижении 
энергии (91%) при моделировании без учета ССР и наибольшая амплитуда атом-
ных смещений. Атомные конфигурации в сплаве приводятся в виде проекций 
кристаллической решетки на плоскость заданной ориентации. Положения ато-
мов различного сорта изображены кружками различной окраски (  – атом Ni,   
– атом Ti.). Здесь же приводятся проекции векторов атомных смещений, которые 
изображаются увеличенными в целое число раз.
Таблица 2 – Значения энергий образования вакансий в сплавах
Сплав Вакантный
атом, слой
Энергия образования, (эВ)
Релаксационное пониже-
ние энергии, %
стартовая
равновесная
с учетом 
ССР
без учета 
ССР
с учетом 
ССР
без учета 
ССР
TiNi
3
Ti, a
5.411
5.049
1.345
6.7
75
Ti, b
5.668
5.237
1.689
7.6
70
Ni, a
4.400
4.053
0.399
7.9
91
Ni, b
4.628
4.267
0.804
7.8
82
TiPd
3
Ti, a
5.204
5.056
3.895
2.8
25
Ti, b
5.288
5.111
3.943
3.6
25
Pd, a
4.096
3.917
2.730
4.4
33
Pd, b
4.203
4.014
2.903
4.5
31
Е.А. Дубов

11
Шығыстың аймақтық хабаршысы   
 
 
                                       № 2 (58), 2013
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Продолжение таблицы 2
Сплав Вакантный
атом, слой
Энергия образования, (эВ)
Релаксационное пониже-
ние энергии, %
стартовая
равновесная
с учетом 
ССР
без учета 
ССР
с учетом 
ССР
без учета 
ССР
HfPd
3
Hf, a
6.795
6.692
3.470
1.5
49
Hf, b
6.850
6.709
3.869
2.1
43
Pd, a
4.357
4.269
1.228
2.0
72
Pd, b
4.500
4.406
1.459
2.1
68
ZrPd
3
Zr, a
6.308
6.256
3.348
0.8
46
Zr, b
6.304
6.255
3.780
0.8
40
Pd, a
4.182
4.159
1.412
0.6
66
Pd, b
4.315
4.293
1.592
0.5
63
HfPt
3
Hf, a
7.741
7.571
4.431
2.2
41
Hf, b
7.863
7.645
4.608
2.8
41
Pt, a
6.024
5.855
2.798
2.8
54
Pt, b
6.195
6.014
3.056
2.9
51
ZrPt
3
Zr, a
7.290
7.201
5.055
1.2
30
Zr, b
7.272
7.157
5.134
1.6
29
Pt, a
5.868
5.794
3.765
2.3
36
Pt, b
5.996
5.922
3.950
1.2
34
а)
б)
Рисунок 7 – Равновесные атомные конфигурации вблизи вакансии в сплаве TiNi
3
. Ва-
кантный атом Ni (слой a), плоскость рисунка (0001). С учетом ССР, масштаб атомных 
смещений 50:1 – а); без учета ССР, масштаб атомных смещений 20:1 – б)

12
№ 2 (58), 2013   
 
 
                                   Региональный вестник Востока
а)
б)
Рисунок 8 – Равновесные атомные конфигурации вблизи вакансии в сплаве TiNi
3
. Ва-
кантный атом Ni (слой a), плоскость рисунка (01
)
0
1
01
(
). С учетом ССР, масштаб атомных 
смещений 50:1 – а); без учета ССР, масштаб атомных смещений 20:1 – б)
Анализ атомных конфигураций, возникающих вблизи вакансий, показыва-
ет, что при моделировании с учетом сверхструктурной релаксации максимальные 
атомные смещения в сплавах незначительны и составляют ~1% от расстояния 
между ближайшими атомами. В тоже время величина атомных смещений сохра-
няется на достаточно большом расстоянии от вакансии и уменьшается до нуля 
лишь на границе модельного блока. Смещения же в направлении главной оси 
кристалла локализованы на ближайших к вакансии базисных плоскостях. Таким 
образом, незначительными вакансионными искажениями оказываются охвачены 
лишь ближайшие к вакансии базисные плоскости модельного блока кристалла. 
Моделирование вакансий без учета ССР приводит к выводам, что величина 
атомных смещений становится максимальной не в непосредственной близости от 
вакансии, а на расстоянии 1,5-2,0 параметра решетки сплава от нее и составляет 
около 5% параметра решетки сплава. Поэтому область микродеформации вблизи 
вакансии в сплаве охватывает значительный объем – из равновесных положений 
смещаются практически все атомы внутренней области модельного блока (об-
ласть микродеформаций содержит ~10
3
 атомов). Если к тому же учесть высокую 
концентрацию низкоэнергетических вакансий, то вакансионными микроискаже-
ниями оказывается охваченным практически весь объем материала. 
Вакансионные  искажения  должны  препятствовать  скольжению  дислока-
ций, и, следовательно, способствовать упрочнению кристалла. С учетом боль-
шой  величины  вакансионных  смещений  и  большого  объема  материала,  под-
вергнутого  вакансионным  искажениям,  наличие  равновесной  концентрации 
Е.А. Дубов

13
Шығыстың аймақтық хабаршысы   
 
 
                                       № 2 (58), 2013
ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
вакансий оказывается решающим фактором упрочнения сплавов со сверхструк-
турой D0
24
. Поскольку с повышением температуры равновесная концентрация 
вакансий должна возрастать, то должен возрастать и обусловленный ими эффект 
упрочнения.  Как это  ни  парадоксально,  прочность упорядоченных  сплавов  со 
сверхструктурой DO
24
, благодаря наличию в них вакансий, с ростом температу-
ры должна увеличиваться. 
Таким образом, результаты моделирования вакансий на базе совершенной 
решетки следует считать несостоятельными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дубов Е.А. Вакансионные искажения кристаллических решеток упорядочен-
ных сплавов со сверхструктурой DO
24
 / Е.А. Дубов // Региональный вестник востока. 
– 2012. – № 4. – С. 304-308.
2. Дубов Е.А. Вакансионные искажения кристаллических решеток упорядоченных 
сплавов со сверхструктурой DO
19
. Nowe technologie i osiągnięcia w metalurgii i inżynierii 
materiałowej, X Międzynarodowa Konferencja Naukowa / Е.А. Дубов. – Częstochowa, 2009. 
– S. 304-308.
УДК 517.5
Т. Батзул, Д. Гансух
Монгольский Национальный университет, г. Улан-Батор, Монголия
 
 
НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ И ВОЗМОЖНОЕ 
УБЫВАЮЩЕЕ НАПРАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
Бұл жұмыста үздіксіз функцияларға арналған кему бағытындағы бақылаудың бір 
өлшемінің дәлелдемесі берілген. Автор бұл функцияның 
}
{
0
x
 барлық көбею нүктеле­
рінде кему бағытындағы мүмкін болатын ешқандай классикалық стандартты тексеру 
әдісі жоқ деп есептейді.
В настоящей работе дано доказательство одного критерия проверки убывающе-
го направления для непрерывных функции. Автор считает, что нет никакого класси-
ческого  стандартного  метода  проверки  возможного  убывающего  направления  этой 
функции во всех точках множества 
}
{
0
x
.
In this paper we prove a criterion for checking the direction of decreasing continuous 
function. The author believes that there is no standard method of classical test the possible 
direction of diminishing the function at all points of 
}
{
0
x
.

14
№ 2 (58), 2013   
 
 
                                   Региональный вестник Востока
Summary.  In  this  work  consider  the  new  criterition  of  optimal  control  for 
continoution functions. 
Ключевые слова: Убывающее направление функции, нестандартная мо-
дель поля вещественных чисел, недифференцируемые функций. 
Введение
Пусть 
}
{x
–  непустое  подмножество  пространства 
n
R
  и 
)
,...,
,
(
2
1
n
h
h
h
h =
 
вектор из 
n
R
. Тогда направление 
0
≠
h
 называется возможным направлением в 
точке 
}
{
0
x
x ∈
, если 
}
{
0
x
h
t
x
∈
⋅
+
 для 
t
,
0
0
t
t <
<
 где 
0
t
– положительное число 
зависящее от точки 
0
x
 [1.]
  Пусть 
)
(x
f
 – числовая функция определено на множестве 
}
{x
 и 
h
 – воз-
можные направление функций 
)
(x
f
 в точке 
}
{
0
x
x ∈
. Если найдется положи-
тельное число 
a
 удовлетворяющее 
)
(
)
(
0
0
h
t
x
f
x
f
⋅
+
>
 для 
t
, 0 то направ-
ление 
h
 называется возможным направлением убывания функции в точке 
0
x
. 
Если 
)
(x
f
дифференцируема в точке 
}
{
0
x
x ∈
 то с помощью градиента этой 
функции можно легко проверить возможное убывающее направление функций 
на этой точке [1].
Если изучаемая функция непрерывна и нигде недифференцируема на дан-
ном множестве 
}
{
0
x
подмножество пространства 
n
R
, то автор считает, что нет 
никакого классического стандартного метода проверки возможного убывающего 
направления этой функции во всех точках множества 
}
{
0
x
.
В настоящей работе мы доказали однн критерий проверки убывающего на-
правления для непрерывных функции.