Ту хабаршысы

● Технические науки 

 

     

                                               

№5 2014 Вестник КазНТУ  

          

246 

УДК 533.9: 536.7: 546.17   

Л.И. Курлапов, А.А. Спицын, А.Б. Касымов  

 

(Казахский национальный технический университет им. К. И. Сатпаева, 

Алматы, Республика Казахстан, lkurlapov@yandex.com) 

 

РАСЧЁТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЧАСТИЦ  

В ГАЗООБРАЗНОЙ МЕЗОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ В СИЛОВЫХ ПОЛЯХ  

 

Аннотация. 

Молекулярно-кластерные  смеси  представляют  собой  мезоскопические  системы, 

обладающие  промежуточными  свойствами  между  микрочастицами  и  макротелами.  При  определенном 

давлении и температуре в диоксиде углерода существуют кластеры, содержащие до десятка молекул, которые 

играют  роль  мезоскопических  частиц.  При  таких  условиях  проведены  расчёты  распределений  кластеров  в 

модельной центрифуге и в вертикальной трубке. Такие данные показывают, что в них проявляется особенность 

мезоскопической  системы:  тяжёлые  кластеры  вытесняют  молекулы  в  область  пониженного  давления,  а  при 

большой  скорости  вращения  тяжёлые  кластеры  как мезоскопические  частицы  скапливаются на  периферии.  В 

данной  работе  с  использованием  температурной  зависимости  вязкости  была  установлена  область 

макропараметров, в которой проявляется мезоскопия больших кластеров. 

Ключевые слова: 

мезоскопия, кластеры, молекулярно-кластерная смесь, диоксид углерода, силовое поле. 

 

В газах при высоких давлениях или низких температурах взаимодействия молекул приводят к 

образованию  кластеров  [1–3].  В  околокритической  области  макропараметров  кластеры  могут 

содержать  до  десятка  молекул.  По  размерам  массивные  кластеры  относятся  к  наночастицам,  и  их 

нельзя отнести ни к микрочастицам, ни к макротелам – они занимают промежуточное положение. Но 

основная  особенность  таких  частиц  заключается  в  том,  что  их  свойства  отличаются  от  свойств  и 

микрочастиц, и макротел – они также обладают промежуточными свойствами, т.е. они представляют 

собой  мезоскопические  частицы.  Благодаря  сравнительной  простоте  и  наглядности  исследовать 

свойства мезоскопических частиц и систем, которые их содержат, удобно на примере молекулярно-

кластерных смесей, чему и посвящена настоящая работа.   

В молекулярно-кластерной смеси массивные кластеры как мезоскопические частицы участвуют 

в  тепловом  хаотическом  движении  подобно  молекулам  газа,  но  в  результате  взаимодействий  с 

молекулами и между собой они навязывают газу свойства, которые характерны для жидкости или для 

твёрдого  тела.  При  этом  газ  остаётся  гомогенной  однофазной  системой,  так  как  столкновения 

кластеров с молекулами и между собой приводит к их разрушению или к другим изменениям. При 

определённых условиях в конкретном газе устанавливается динамически равновесное распределение 

кластеров  по  размерам.  При  изменениях  макропараметров  или  внешних  воздействий  наблюдается 

эволюция  кластерного  состава,  что  отражается  на  свойствах  мезоскопической  системы  в  виде 

молекулярно-кластерной смеси.  

Сравнительно простым воздействием является  внешнее силовое поле  в виде гравитационного 

поля  или  в  виде  поля  центробежных  сил  в  центрифуге.  Причём,  исследования  газа  в  центрифуге 

интересно  не  только  с  точки  зрения  теории,  но  и  для  практики,  так  как  центрифуги  широко 

используется  в  технике  для  разделения  смесей.  Обычно  для  описания  процессов  в  центрифуге 

используется модель идеального газа, что в своё время привело к выводу о нерентабельности таких 

способов  в  промышленности  [4].  В  настоящей  работе  показано,  что  мезоскопическая  система  в 

силовом поле обладает некоторыми свойствами, которые могут представлять интерес для техники.  

Основная  особенность  мезоскопических  частиц  связана  с  конечностью  размера  и 

существованием  внутренней  структуры  и  внутренней  энергии.  Такие  особенности  делают 

малопригодной  для  описания  их  движения  модель  материальной  точки.  В  работах  [2,3]  поведение 

мезоскопических частиц описывается следующим уравнением движения мезоскопических частиц,  в 

котором  взаимодействия  мезоскопических  частиц  и  внешние  воздействия  на  них  определяются 

потоками действия: 

)

(

2

1



















WW

d

q

j

P

a



,                                                       (1) 

где 

a

P



 – тензор второго ранга как поверхностная плотность потока действия,  



j

 – градиент плотности необратимого потока частиц за время действия,  

● Техникалыќ єылымдар 

 

ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014  

 

247



q

 – градиент поверхностной плотности теплового  потока,  



WW

 – диада из скоростей движения центра масс  системы,  



 – массовая  плотность.  

Поток  действия  в  конкретной  задаче  отражает  особенности  рассматриваемой  системы  и 

внешних воздействий.  Применительно к описанию движения частицы  в  силовом поле (например,  в 

поле  силы  тяжести)  поток  действия  определяется  тем,  что  на  протяжении  времени  свободного 

пролёта 



  она движется с ускорением 

a

, поэтому (1) принимает вид: 

 

)

(

2

1

























WW

d

q

j

av

,                                                    (2) 

где 

v

 – скорость теплового движения частицы. 

Рассматривая  континуум  как  набор  мезоскопических  частиц  (как  мезоскопическую  систему), 

соотношение  (2)  применяется  для  нахождения  распределения  частиц  в  силовом  поле.  В 

изотермической  атмосфере  с  постоянным  ускорением  свободного  падения 

a

  в  установившемся 

состоянии  гидродинамическая  скорость  центра  масс  всей  мезоскопической  системы  равна  нулю, 

поэтому  в уравнении  (2) 

0



q

  и 

0



W

,  а  поток  частиц  диффузионной  природы уравновешивает 

силовой дрейф частиц. Тогда (2) принимает вид:  













j

av

 .                                                                   (3) 

 

Для  дальнейшего  рассмотрения  (3)  умножается  на  единичный  тензор  с  соответствующей 

сверткой,  











I

j

I

av





:

.                                                              (4) 

 

В  приближении  изотропной  среды  для  одномерного  случая  (4)  преобразуется  в  следующее 

соотношение: 

dx

dj

v

a





3

1

       или          

dx

dj

l

a





3

1

,                                     (5) 

 

так как   

l

v





 ,  где 

v

 – средняя тепловая скорость, 

l

 – средняя длина свободного пробега.  

Учитывая связь между потоком за время действия 

j

 из уравнения движения мезоскопической 

частицы (1) и диффузионным потоком для одномерного случая в виде  

m

kT

j

j

D





  соотношение (5) 

записывается в виде 

D

dj

dx

kT

m

l

a







3

1

,                                                         (6) 

 

где 

dx

dn

v

l

dx

dn

D

j

D

3

1









.  

Интегрирование (6) даёт уравнение для числовой плотности 

n

: 

 

n

x

kT

ma

ln





.                                                                    (7) 

 

После потенцирования это выражение приводится к известной барометрической формуле для 

числовой плотности  

)

exp(

)

(

0

kT

max

n

x

n





,                                                           (8) 

 

где 

)

(x

n

 – числовая плотность частиц, 

0

n

 – числовая плотность  при 

0



x

, 

m

 – масса частицы, 

a

– ускорение свободного падения, 

k

 – постоянная Больцмана, 

T

 – температура.  

● Технические науки 

 

     

                                               

№5 2014 Вестник КазНТУ  

          

248 

Из приведённых соотношений видно, что барометрическое распределение получено на основе 

баланса  потоков  частиц  разной  природы:  силового  дрейфа  и  диффузии.  Ниже  аналогичная  модель 

будет  использована  для  вывода  формулы  для  газа  в  центрифуге.  Модель,  основанная  на  балансе 

потоков,  позволяет  применять  её  к  частицам  компонентов  смеси,  в  частности,  к  молекулам  и 

кластерам  в  молекулярно-кластерных  смесях.  При  этом  важной  величиной  является  концентрация 

(числовая доля) кластеров.  

К  настоящему  времени  существуют  схемы  расчётов  концентраций  кластеров  в  газах  при 

различных условиях [1–4]. В данной работе приведены расчёты для диоксида углерода при условиях, 

когда в этом газе могут существовать кластеры, состоящие из десятка молекул, которые ведут себя 

как  мезоскопические  частицы.  На  рисунках  1-3  приведены  расчёты  по  схеме,  основанной  на 

экспоненциальном  распределении  кластеров  по  размерам.  В  расчётах  использованы  сведения  о 

свойствах газа, взятые из справочника [5].  

2

4

6

8

10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

p=10 MPa

1 - T=400 K

2 - T=360 K 

3 - T=340 K 

3

2

1

CO

2

  C

g

(c

)

   

    

  g     

 

Рис. 1.

 Распределение концентрации 

)

(c

g

C

 кластеров по размерам в диоксиде углерода 

 при давлении 10 МПа 

 

Точки  и  линии  –  расчёты  по  формулам  кластерной  модели  с  использованием  табличных 

данных [5]. 

g

 – размер кластера (число молекул, которые включены в кластер).  

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,2

0,4

0,6

p = 8,0 MPa

2 - T=330 K

1 - T=390 K 

3 - T=310 K 

3

2

1

CO

2

  C

g

(c)

       

  g     

 

Рис. 2.

 Распределение концентрации 

)

(c

g

C

 кластеров по размерам в диоксиде углерода при давлении 8.0 МПа 

 

Как  видно  из  рисунков  1  и  2,  в  диоксиде  углерода  при  низких  температурах  могут 

существовать в заметном количестве кластеры до десятого размера, которые существенно влияют на 

свойства  газа.  В  частности,  на  вязкости  газа  это  влияние  приводит  к  тому,  что  температурная 

зависимость  газа  соответствует  такой  зависимости  для  жидкости,  т.е.  тяжёлые  кластеры  являются 

мезоскопическими  частицами.  В  данной  работе  это  используется  для  выявления  области 

макропараметров, где молекулярно-кластерная смесь представляет собой мезоскопическую систему.  

● Техникалыќ єылымдар 

 

ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014  

 

249

На  рисунке  3  приведены  данные  по  вязкости,  из  которого  видно,  что  в  околокритической 

области  наблюдается  мезоскопический  фазовый  переход:  вязкость  газа  от  температуры  зависти  по 

закону для жидкости. Подобные результаты позволяют выявить области температур и давлений, при 

которых молекулярно-кластерная смесь представляет собой мезоскопическую системы.  

400

600

800

1000

20

30

40

    CO

2

 

p= 8,0 MPa 

5

4

3

2

1







Pa s 

T, K

 

Рис. 3.

 Вязкость диоксида углерода как функция температуры при давлении 8,0 МПа 

 

1  –  расчёты  по  формулам  кинетической  теории  молекулярно-кластерной  смеси,  2  –

экспериментальные  данные  из  справочника  [5],  3  –расчёты  по  формуле  кинетической  теории 

плотного  газа  Энскога  с  учётом  неидеальности  газа  через  фактор  сжимаемости  [6],  4  –  расчёты  по 

формуле кинетической теории плотного газа Энскога без учёта неидеальности путём учёта фактора 

сжимаемости, 4 – расчёты по формуле элементарной кинетической теории.  

 

Существование  области  мезоскопики  проявляется  и  на  других  свойствах.  В  частности,  на 

барической зависимости, что видно из рисунка 4. 

 

0

10

20

30

40

50

22

44

66

88

6

5

4

6 - T =673 K

4 - T =423 K

CO

2

5 - T =573 K

2 - T =353 K

1 - T =313 K  

3 - T =373 K 

3

2

1

 



 , 

мкПа

xс

    

p, МПа 

 

 

Рис. 4.

 Барическая зависимость вязкости диоксида углерода 

 

1  –  6  линии  –  расчёты  по  формулам  кинетической  теории  молекулярно-кластерной  смеси; 

точки – экспериментальные данные [5]. 

  

Как видно из рисунка, в околокритической области (Т

кр

=304,19К , р

кр

=7,382МПа ) наблюдаются 

существенные изменения барической зависимости вязкости, так как на вязкость оказывают большое 

влияние тяжёлые кластеры как мезоскопические частицы.  

Как видно из формулы (8), в силовом поле распределение частиц в пространстве зависит от их 

массы, что должно приводить к некоторому расслоению молекулярно-кластерной смеси. На рисунке 

5 приведены расчёты по формуле (8) для молекулярно-кластерной смеси диоксида углерода.  

● Технические науки 

 

     

                                               

№5 2014 Вестник КазНТУ  

          

250 

0

5

10

15

20

25

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

CO

2

 

3

2

1

n(

x)

 / n(0)  

x, km

 

Рис. 5.

 Распределение кластерных субкомпонентов диоксида углерода по высоте в поле силы тяжести земли   

1 – мономеры (молекулы), 2– димеры, 3 – тримеры  

 

Чтобы  проводить  сравнение  распределений  в  поле  силы  тяжести  и  в  центрифуге,  удобнее 

описывать  распределение  по  координате,  начало  которой  совпадает  с  периферией  (как  показано  на 

рисунке 6). 

 

 

Рис. 6.

 Схема модельной центрифуги в виде трубки длиной 

L

2

 

 

С  учетом  направления  оси,  распределение  числовой  плотности  частиц  можно  описывать 

формулой: 



















kT

x

m

n

n

2

exp

2

2

0

,                                                        (9) 

 

где 

n

  –  числовая  плотность  частиц, 

0

n

  –  числовая  плотность  частиц  на  периферии, 

m

  –  масса 

частицы, 

T

  –  температура, 



  –  угловая  скорость, 

x

  –  размерная  координата,  направленная  от 

периферии к оси вращения как аналог высоты в барометрической формуле (8).  

0

5

10

15

20

25

30

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

CO

2

 

3

2

1

n(

x)

 / n(

0)

  

x, cm

 

жүктеу/скачать 15,98 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: