Вопросы для самопроверки: Какие платежи считаются эквивалентными?
Что такое эквивалентная процентная ставка?
Что представляет собой финансовая эквивалентность обязательств?
Что такое средняя процентная ставка?
Что представляет собой процесс консолидирования задолженности?
Какая ставка считается критической?
Лекция 5. Финансовые ренты Вопросы для рассмотрения: Ренты. Классификация рент.
Наращенная сумма финансовой ренты постнумерандно.
Современная величина финансовой ренты постнумерандно.
Срок финансовой ренты постнумерандно.
Член финансовой ренты постнумерандно.
Наращенная сумма и современная величина других типов финансовых рент.
Определение параметров других типов финансовых рент.
Определение процентной ставки финансовой ренты.
Постоянные финансовые ренты
Проведение финансово-экономических операций в современных условиях, таких как, например, погашение средне- и долгосрочной задолженности в рассрочку, создание денежных фондов целевого назначения, выплата пенсий, инвестирование в реальные и портфельные инвестиции и т.п. в большинстве случаев предусматривает не отдельные (разовые) платежи, а выплаты, производимые через определенные промежутки времени, т.е. их некоторую последовательность. Такая последовательность платежей, или ряд платежей, называется потоком платежей,а каждый отдельный член этого ряда – членом потока.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянные, называется финансовой рентой, или аннуитетом.Финансовой рентой, например, является ряд, состоящий из выплат заработной платы или стипендий, дивидендов по акциям или погасительных взносов по потребительскому кредиту, платежей за коммунальные услуги или процентных выплат по выпущенному облигационному займу и др.
Финансовая рента (в дальнейшем просто, – рента) может быть описана следующими основными понятиями и категориями, использование которых в количественном финансовом анализе позволит реализовать поставленные исследователем цели и задачи с помощью стандартных формул и соответствующих математических выражений.
К ним, в частности, относятся следующие:
член ренты– величина каждого отдельного платежа;
период ренты– временной интервал между двумя платежами;
срок ренты– время от начала ренты до конца последнего ее периода;
процентная ставка– ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, из которых состоит рента;
число платежей в году– частота платежей по ренте;
число начисления процентов– частота начисления процентов в рамках периода ренты;
время (моменты) производства платежей– периоды времени в начале (конце, середине и т.д.) соответствующих периодов уплаты членов ренты.
Все ренты можно классифицировать в зависимости от различных признаков и особенностей расчетов.
Так, например, в зависимости от продолжительности периода ренты различают годовые рентыи р-срочные, т.е. ренты с р-числом выплат в течении года. Довольно часто в практике встречаются ренты, в которые период выплат превышает год и более (например, в инвестиционной деятельности).
По признаку непрерывности платежей ренты подразделяются на дискретные и непрерывные, то есть такие, платежи по которым производятся так часто, что, по существу, рента в этом случае практически перестает быть дискретной.
По числу начислений процентов различают ренты с начислением один раз в году, от раз в году и непрерывно.
По величине членов ренты они подразделяются на постоянные(с равными членами) и переменные(изменяющиеся во времени по какой-либо закономерности, или произвольно, несистематично).
Ренты делятся на верныеи условныес точки зрения вероятности выплаты членов. Верные подлежат безусловной выплате, а случайные – в зависимости от наступления (или ненаступления) некоторого (в т.ч. и случайного) события, поэтому число членов этой ренты заранее неизвестно.
По числу членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные,и бесконечные, или вечныеренты. Так, например, с необходимостью учета и расчета вечной ренты приходится сталкиваться при финансовых вычислениях, связанных с инвестированием денежных средств или покупкой финансового инструмента (материального объекта), если период их функционирования (возможного получения дохода) достаточно продолжительный и не оговорен конкретными сроками (отсюда и возможность получения бессрочной, т.е. «вечной» ренты), fj качестве примера можно привести инвестирование в ценные бумаги крупнейших транснациональных компаний и государства (при отсутствии срока окончания их обращения), покупку доходных гостиниц, ферм, участков земли, производств и т.п.
По признаку соотношения начала срока рента и какого-либо фиксированного момента времени (например, даты начала действия договора, контракта, исполнения решения государственного или местного органа власти или другого события) ренты делятся на немедленныеи отложенные, или отсроченные.В первом случае срок действия рент устанавливается с момента наступления указанного события (даты), а во втором – по прошествии определенного периода времени.
Наконец, очень важным признаком классификации рент являются признак момента выплаты членов ренты. Согласно этому признаку различают ренты обычные, или постнумерандо(когда платежи осуществляются в конце соответствующих периодов – года, полугодия, месяца и т.п.) и ренты пренумерандо(когда соответствующие платежи осуществляются в начале указанных периодов). Нечасто, но встречаются на практике и ренты, платежи по которым производятся в середине периодов. Такие ренты называются миннумерандо.Примером такой ренты могут служить, в ряде случаев, авансовые платежи по аренде помещений, а также полугодовые оплаты тратт по внешнеторговым контрактам.
Чаще всего в практических финансово-экономических расчетах решается, по существу, двуединая задача определения наращенной суммыили современной величины(стоимости) потока платежей. В данном контексте под современной величиной потока платежей понимается сумма всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или упреждающий его. Она может характеризовать капитализированный доход, чистую приведенную прибыль, приведенные издержки, эффективность инвестиций и валютно-финансовых условий внешнеторговых контрактов, доходность вкладов и депозитов и др. финансово-экономических и коммерческих операций.
Наращенная сумма постоянной финансовой ренты постнумерандо
На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.
Наращенная сумма ренты определяется умножением величины члена ренты Rна коэффициент наращения ренты, который характеризует сумму платежей равных единице, с начисленными на них процентами за n лет.
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:
.
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:
.
Определение процентной ставки
Для того чтобы найти значение процентной ставки, необходимо решить одно из нелинейных уравнений, решить которые можно только приближенно:
или .
Эти формулы соответствуют годовой ренте постнумерандо.
Решить такие уравнения можно несколькими способами. Рассмотрим наиболее распространенные из них:
1. метод линейной интерполяции;
2. метод Ньютона-Рафсона.
Метод линейной интерполяции состоит в том, что сначала методом подбора ищут примерную оценку верхней и нижней ставки i. Затем эти найденные ставки подставляют в уравнение и сравнивают с правой его частью. Далее производится корректировка нижнего значения ставки по следующей формуле:
,
где Sв и Sн – значение коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок iв и iн.
Затем скорректированное нижнее значение ставки подставляют в формулу и сравнивают его с правой частью. Если достигнутой точности недостаточно, повторно корректируют нижнее значение ставки (с заменой приближенной оценки ставки на более точную) по выше указанной формуле и так до момента, когда необходимая точность не будет достигнута.
Метод Ньютона-Рафсона также подразумевает подборку оценок. Этот метод разработан для нелинейных уравнений вида ƒ(х) = 0.
В данном методе алгоритм поиска приемлемого решения сводится к трем операциями на каждом шаге, которые зависят от типа ренты и исходных заданных величин.
Сначала будем считать, что известна наращенная сумма S и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб).
Если рассматривать постоянную годовую ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года (p=1, m=1), то необходимо решить следующее уравнение:
или .
Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k будет следующим:
,
,
.
Если рассматривать постоянную р-срочную ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года (p≥1, m=1), то необходимо решить следующее уравнение:
или .
Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k будет следующим:
,
,
.
Примечание:
Начальную оценку qo = 1+io следует выбирать такой, чтобы соответствующий ей множитель наращения был максимально приближен к значению S/R. Это обеспечит сходимость алгоритма и сократит количество итераций. Вычисления прекращаются, как только будет достигнута приемлемая точность при сравнении множителя наращения и отношения S/R.
Теперь будем считать, что известна современная сумма A и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб).
Если рассматривать постоянную годовую ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года (p=1, m=1), то необходимо решить следующее уравнение:
или .
Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k будет следующим:
,
,
.
Если рассматривать постоянную р-срочную ренту постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года (p≥1, m=1), то необходимо решить следующее уравнение:
или .
Алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k будет следующим:
,
,
.
