Лекция 3. Дисперсия света. Групповая скорость

Опыт показывает, что скорость распространения гармонической волны (фазовая скорость) в одной и той же среде зависит от частоты коле­баний. Это явление называют дисперсией волн.

Дисперсия обусловлена свойствами среды, в которой волна рас­пространяется. В некоторых средах дисперсии волн не происходит, например в воздухе -у звуковых волн и в вакууме (приближенно оказывающей быстроту изменения скорости у волны в данной среде с изменением частоты: D= dυldv.

Уравнение волны s=Asinω(t-x/υ) описывает гармонический колебательный процесс, распространяющийся в среде вдоль направ­ления оси X без ограничения во времени и пространстве, т. е. беско­нечную плоскую монохроматическую волну.

Если рассматривается волна сложной формы или гармоническая волна, сосредоточенная в ограниченной области пространства (на­пример, волновой импульс, с помощью которого передается опре­деленный сигнал), то, по теории Фурье, они могут быть представлены как совокупность не ограниченных в пространстве гармонических волн с частотами, кратными частоте основной волны; эти волны в среде, обладающей дисперсией, распространяются с различными фазовыми скоростями. В этом случае за скорость распространения реальной волны принимают скорость переноса энергии волной и называют ее скоростью сигнала, или групповой скоростью волны.

Для пояснения понятия о групповой скорости рассмотрим неко­торую реальную волну, которая является результатом сложения двух гармонических волн, несколько отличающихся по частоте, а значит, и по длине волны (длины волн: λ₁ = λ и λ₂ = λ + dλ) и распространяющихся в дисперсионной среде со скоростями υ = υ₁ и υ₂ = υ + dυ соответственно (рис. 3.1, а).

Скорость и перемещения максимума интенсивности и соответ­ственно максимума энергии сложной волны и есть ее групповая ско­рость. Она обычно и определяется в эксперименте.

Выражение для групповой скорости и можно преобразовать. Так как

τ = (λ₂ – λ₁)/(υ₂ – υ₁) = ∆λ/∆υ или в пределе τ = dλ/dυ

следовательно,

u = υ - λ dυ/ dλ

Таким образом, групповая скорость волны отличается от фазовой тем больше, чем сильнее выражена дисперсия волн dυ/ dλ в данной среде.

Фазовая скорость у длинных волн обычно больше, чем у коротких (нормальная дисперсия). При этом dυ/dλ >0 и групповая скорость меньше фазовой. Для сред, не имеющих дисперсии, групповая и фазовая скорости волны совпадают.

Явления, обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от частоты (или длины волны в вакууме), называют дис­персией света. К дисперсии света в первую очередь относится разло­жение сложного света на простые монохроматические волны («раз­ложение в спектр»), происходящие при преломлении света на границе различных сред. •

Дисперсию света характеризуют функцией, которая описывает зависимость показателя преломления п от частоты ν (или длины волны λ): п = f(ν) или п = φ(λ) для данного вещества.

Быстроту изменения показателя преломления с изменением длины волны, т. е. величину D = dn/d λ, называют дисперсией вещества.

Для того чтобы проанализировать зависимость показателя прелом­ления от частоты света, надо связать его с данными, характеризую­щими вынужденные колебания электронов в атомах вещества. В атомах и молекулах диэлектрика под действием электрической составляющей поля волны происходит переменная по знаку поляризации. Основное значение имеет электронная поляризация, т. е. колебания ядра и электронов, так как для ориентационной поляризации моле­кул частота колебаний в световой волне слишком высока. В этих условиях атом можно рассматривать как электрический диполь, заряды которого совершают колебательное движение, т. е. как линей­ный гармонический осциллятор. Учитывая, что масса ядра почти в две тысячи раз больше массы электрона, считают, что при этом элект­рон совершает колебательное движение по отношению к ядру около своего равновесного положения.

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние электроны, наиболее слабо связанные с ядром. Для простоты рассмотрим колебания только одного электрона.

Уравнение вынужденных колебаний электрона (в простейшем виде без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишем в виде

d²sd²t + ω₀s = F_m/msinω_вt = eE_m/msinω_вt

где F_m = еЕ_m - амплитудное значение силы, действующей на элек­трон со стороны поля волны (Е_m - амплитуда напряженности поля, е - заряд электрона), ω₀ = √k/m - собственная частота колебаний электрона (k - коэффициент, характеризующий квазиупругую связь электрона с ядром, т - масса электрона), ω₀ - круговая частота колебаний вынуждающей силы, т. е. напряженности Е поля волны. Решение этого уравнения можно представить в виде

s = (еЕ_m)/( m(ω₀²- ω_в²) sinω_вt+ψ) = (еЕ)/( m(ω₀²- ω_в²), (3.1)

где Е — мгновенное значение напряженности поля волны.

Согласно теории, показатель преломления п = √εμ. Для диэлектриков μ≈1, поэтому можно принять п = √ε, где ε- диэлектрическая проницаемость вещества. Последняя численно мо­жет быть выражена через модуль вектора поляризации Р диэлектрика. В однородном поле