Векторлық өрістің циркуляциясы (шыр айналасы). Вектор өрісінің нүктедегі циркуляциясын есептеу

А жазық вектор өрісі берілсін және өрістің дара нүктелері арқылы өтпейтін бағытталған (яғни қай бағытта өтетіні көрсетілген) соңғы L сызығы берілсін. Содан кейін А өрісінің L түзуі бойымен айналуы 2p -ге бөлінген бұрыш деп аталады, оның көмегімен М нүктесі L түзуінен оның бағдарына сәйкес өтеді. Бұл жағдайда сағат тіліне қарсы айналу оң деп саналады, ал оның бойымен - теріс. Егер вектор бір бағытта немесе басқа бағытта айналса, онда сәйкес айналу бұрыштары олардың белгілерімен қорытындыланады (біз спиральді серіппенің орамасы туралы айтып тұрғандай). А өрісінің L түзуінің бойымен айналуын g (L; A) немесе жай ғана g (L) деп белгілейміз, егер әңгіме қай өріс туралы екені анық болса.

(Сонымен қатар жалпы қабылданған «векторлық өрістің айналуы» термині толығымен сәтті емес екенін ескеріңіз: әрине, А өрісінің өзі айналмайды, M нүктесі қозғалған кезде А (M) векторы айналады.)

Төменде қысқаша түсіндірумен айналудың кейбір қасиеттері берілген.

1. L жолының бағытын қарама-қарсы мәнге өзгерту кезінде g (L; A) -1-ге көбейтіледі.

2. Егер L сызығы L бағыты бойынша бағдарланған бірнеше бөлікке бөлінсе, онда өрістің L бойымен айналуы оның барлық бөліктер бойынша айналуының қосындысына тең.

3. Егер L сызығы жабық болса, онда g (L; A) бүтін сан болып табылады, L нүктесінің қайсысы бастапқы ретінде алынғанына қарамастан.

4. Егер L тұйық сызығы деформация процесінің кез келген сәтінде өрістің сингулярлық нүктелері арқылы өтпейтіндей үздіксіз деформацияланса, онда өрістің деформацияланған сызық бойымен айналуы өзгеріссіз қалады.

Шынында да, деформация кезінде қарастырылып отырған түзу жабатын жазықтықтың сол бөлігінде А (М) векторының бағыты үздіксіз М нүктесіне байланысты. Демек, деформация кезінде өрістің сызық бойымен айналуы өзгерсе, онда бұл өзгеріс үздіксіз болады. Бірақ үздіксіз өзгеретін және тек бүтін мәндерді алатын шама (3 -қасиетті қараңыз) тұрақты болып қалуы керек.

5. Егер жабық L түзуінде және оның ішінде А өрісінің жеке нүктелері болмаса, онда g (L; A) = 0.

Шынында да, біз L сызығының ішіндегі M0 нүктесін таңдаймыз. Содан кейін бұл сызықты M0 -ге үздіксіз деформациялаумен жүргізуге болады, сондықтан деформацияланған сызық әр сәтте L сызығымен шектелген аймақтан шықпайды. 4 -қасиет бойынша. , процестің деформациясында өрістің сызық бойымен айналуы өзгеріссіз қалады. Егер деформацияланған сызық М0 түйінсіз нүктеге жеткілікті жақын орналасқан болса, онда өріс векторы толық айналым жасай алмайды, демек, бүтін сан болатын айналу нөлге тең.

2. Векторлық өрістің роторы (құйыны).

  векторлық өрісінің роторы (құйыны) деп

векторы аталады.

немесе

1. ;