Заголовок

Математика пәнi бойынша
Республикалық оқушылар олимпиадасының
екiншi (аудандық) кезеңi (2022-2023 оқу жылы)
11-сынып
Жұмыс уақыты: 2 сағат 30 минут.
Әр есеп 7 ұпайға бағаланады.
1.
𝑎 + (𝑏,𝑐) = 𝑏 + (𝑐,𝑎) = 𝑐 + (𝑎,𝑏)
болатындай барлық натурал 𝑎, 𝑏, 𝑐 табыңыз.
Бұл жердегi (𝑥,𝑦)− 𝑥 және 𝑦 сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi.
2. 𝐴𝐵𝐶 үшбұрышы берiлген және 𝐺 – центроид, медианалардың қиылы-
су нүктесi болсын. 𝐺 нүктесiне 𝐵𝐶 қабырғасына қатысты симметриялы
нүкте 𝐴𝐵𝐶 үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң бойында жата-
тыны белгiлi.
𝐴𝐺
𝐵𝐶
қатынасын табыңыз.
3. Кез келген нақты 𝑎,𝑏 сандары үшiн келесi теңсiздiктi дәледеңiз
𝑎
2
+ 141𝑎𝑏 + 5476𝑏
2
⩾ 5𝑎 + 1364𝑏 − 512.
4. 0, 1, . . . , 9 цифрларын қолданып (қайталануы мүмкiн) әр қатардың
және әр бағанның цифрларының қосындысы 5-ке тең болатындай 3 × 3
тақтасын қанша әдiспен толтырып шығуға болады?
Второй (районный) этап
Республиканской олимпиады школьников
по математике (2022-2023 учебный год)
11 класс
Время работы: 2 часа 30 минут.
Каждая задача оценивается в 7 баллов.
1. Найдите все натуральные 𝑎,𝑏,𝑐 такие, что
𝑎 + (𝑏,𝑐) = 𝑏 + (𝑐,𝑎) = 𝑐 + (𝑎,𝑏).
Здесь (𝑥,𝑦)− наибольший общий делитель чисел 𝑥 и 𝑦.
2. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 и пусть 𝐺 – центроид, точка пересечения меди-
ан. Известно, что точка симметричная точке 𝐺 относительно 𝐵𝐶 лежит
на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. Найдите отношение
𝐴𝐺
𝐵𝐶
.
3. Докажите, что для любых действительных 𝑎,𝑏 справедливо неравен-
ство
𝑎
2
+ 141𝑎𝑏 + 5476𝑏
2
⩾ 5𝑎 + 1364𝑏 − 512.
4. Сколькими способами можно заполнить цифрами 0, 1, . . . , 9 (можно с
повторениями) таблицу 3 × 3 так, чтобы сумма цифр в каждой строке и
каждом столбце равнялась 5?