Закон Ньютона    Fdt d m dp   , где   

2 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 
Основные законы и формулы 
 
2.1 Второй закон Ньютона



Fdt
d m
dp


(
)

, 
где 



m
p

– импульс тела,
dt
F

- импульс силы.
2.2 Если масса 
m
постоянна, то
F=
dt
md

=ma
2.3 Сила упругости (
k
-жесткость пружины; 
x 
- абсолютная деформация) 
F=-kx 
2.4 Сила тяжести


P mg

,
P=mg
2.5 Сила гравитационного взаимодействия
2
2
1
r
m
m
G
F

2.6 Сила трения
F
тр
=kN ,
где 
N 
- сила нормального давления 
222.7 Закон сохранения импульса


p
m
i
i
n
i i
i
n





1
1

=
const
2.8 Работа переменной силы 
F
на пути 
S




S
S
S
dS
F
dS
F
A

cos
2.9 Для постоянной силы
A=F

 S

 
cos

2.10 Мощность
N=
dt
dA
=F

 


cos

2.11 Кинетическая энергия движущегося тела
E
k
=
2
2

m
2.12 Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту 
h
E=m

 g

 h 
2.13 Потенциальная энергия упруго деформированного тела
E
п
=
2
2
x

2.14 Закон сохранения механической энергии
E
k
+E
n
=E=
const 
 

2.2 Примеры решения задач 
 
Задача 1. Две гири, имеющие массы 
m
1
=3кг и 
m
2 
=6,8кг, висят на концах 
нити, перекинутой через неподвижный блок. Легкая гиря находится на 2м ниже 
тяжелой. Гири пришли в движение без начальной скорости. Через какое время 
они окажутся на одной высоте? 
Решение. 
m
1
=3кг 
m
2
=6,8кг 
h
=2м
t
- ?
Если не учитывать растяжение нити, то 
можно считать, что в каждый момент 
времени грузы на ее концах имеют 
одинаковые по модулю ускорения. Если 
пренебречь трением на блоке, то можно 
считать силы натяжения Т нити одинаковыми 
в любом ее сечении. 
Запишем для первого груза уравнение второго закона Ньютона в векторной 
форме:
a
m
T
g
m



1
1


Проецируя силы и ускорение на ось 
y
, направленную так же как ускорение 
груза 
m
1
, получаем:
T-m
1
g=m
1
a
(1) 
Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме для второго 
груза:
a
m
T
g
m



2
2


. 
Проецируем силы и ускорение на ось 
y
, направление которой совпадает с 
направлением ускорения второго груза, получаем: 
m
2
g -T=m
2
a
(2) 
(Положительное направление оси каждого груза разное и его удобнее 
выбирать в направлении ускорения тел).
Сложим почленно уравнения (1) и (2):
m
2
g-m
1
g=
(
m
1
+
m
2
)
a
,
откуда
a 
=
2
1
1
2
)
(
m
m
m
m
g


В момент времени 
t
обе гири окажутся на одной высоте
h
1
=
h
2
=
2
h
Из формулы
h
1
=
2
2
at
найдем:
g
m
m
m
m
h
a
h
t
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
1




Анализ единиц: [
t
]=
2
2
/
с
с
м
кг
кг
м



= 
с
Вычисления:
t



 
2 6 8 3
6 8 3 9 8
( ,
)
( ,
) ,
=0,73 
с
Ответ
: t 
=0,73 
с. 

Задача 2. Шарик массой 300 г, привязанный нитью к подвесу, описывает в 
горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Определить 
скорость шарика и период его вращения по окружности, если длина нити 1м, а 
ее угол с вертикалью составляет 30
о
. 
Решение. 
m
=300г=0,3кг 
 l
=1м 

=30

На шарик действуют сила натяжения 
F
н
и сила тяжести 
mg
. 
Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной 
форме:



F
mg
ma
н



 -
? 
T-
? 
Спроецируем уравнение на оси 
x
и 
y
:
F
н
sin

=
ma
x
(1) 
-mg
+ 
F
н
cos

= 
ma
y
(2)
Учитывая, что 
a
x
=a
n
=

2
/
R
, 
a
y
=0, 
R
= 
l

 
sin

и под-
ставляя выражения для 
a
x
, 
a
y
, 
R
в уравнения (1) и (2),
получим
)
3
(
sin
sin
2
2







l
m
R
m
F
H
F
н 
cos

 
=
mg
(4) 
Разделив почленно уравнение (3) на уравнение (4),
найдем




gl
cos
sin
. 
При равномерном движении шарика его период вращения
T=


R
2
=



sin
2


l
Анализ единиц: [

]=[

с
м
с
м
м
с
м



2
2
2
, [ 
T 
]=[
c
м
м
/
]= с. 
Вычисления:

 =
0 5
9 8 1
0 87
,
,
,

=1,7 м/с, Т=
7
,
1
5
,
0
1
28
,
6


=1,9 с. 
Ответ:
 

 
=1,7 м/с, Т=1,9с. 
 

Задача 3. Шар массой 4кг движется со скоростью 5м/с и сталкивается с 
шаром массой 6кг, который движется ему навстречу со скоростью 2м/с. Какая 
работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно 
неупругим, прямым, центральным. 
Решение. 
m
1
=4кг 

1
=5м/с 
m
2
=6кг 

1
=2м/с 
Работа, совершаемая при деформации шаров, равна изменению 
кинетической энергии шаров:
А= 

Е
k 
=E
k 
- E
k
'
(1) 
где
E
m
m
k


1 1
2
2 2
2
2
2


- суммарная кинетическая энергия шаров до 
A-
?
 
удара, 
E
m
m u
k
'
(
)


1
2
2
2
- кинетическая энергия шаров после удара. Скорость 
u
шаров найдем по закону сохранения импульса:
m
m
m
m u
1 1
2 2
1
2








(
)
Так как шары движутся навстречу друг другу, то 
m
1

1
- m
2

2 
= (
m
1
+
m
2
)
u
,
откуда
u
=
2
1
2
2
1
1
)
(
m
m
m
m




Найдем
E
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
k
'
(
)
(
)
(
)
(
)








1
2
1 1
2 2
2
1
2
2
1 1
2 2
2
1
2
2
2




Подставляя выражения для
E
k
и 
E
k
'
в уравнение (1), получим:
A
m
m
m
m
m
m





1 1
2
2 2
2
1 1
2 2
2
1
2
2
2
2




(
)
(
)
Анализ единиц: [
A
]=[
2
2
с
м
кг

=Н

м]=Дж. 
Вычисления:
A
=
)
6
4
(
2
)
2
6
5
4
(
2
4
6
2
25
4
2









=58,8Дж 
Ответ:
A
=58,8 Дж. 

Задача 4. Груз массой 100кг поднимают по наклонной плоскости длиной 3м, 
угол её наклона к горизонту 30
0
, коэффициент трения 0,1, ускорение при подъеме 
1м/с
2
. У основания наклонной плоскости груз находился в покое. Определить 
работу подъема груза по наклонной плоскости и среднюю мощность подъемного 
устройства. 
Решение. 
m
=100кг
l
=3м
k
=0.1
а
=1м/с
2 
А-
? <
P
>
-
? 
На 
груз, 
движущейся 
по 
наклонной 
плоскости 
действуют сила тяжести
mg

, 
сила тяги

F
, сила нормальной 
реакции 

N
, сила трения 

F
тр
. 
Запишем для груза уравнение второго закона Ньютона в векторной форме
mg F
N
F
ma
т





 


р
и проецируя его на оси 
x
и 
y
, получим
-mg

sin

+ 
F - F
тр
= 
ma
(1) 
-mg

cos

+ 
N 
= 0
(2) 
Из уравнения (1) находим
F
= 
ma
+ 
mg

sin

 
+ 
F
тр
.
Из уравнения (2) находим
N 
= 
mg

cos

.
Т.к.
F
тр
=k

N= k

mg

cos

, то
F
= 
ma 
+
mg

sin

 
+ 
k

mg

cos

,
или
F
= 
m

(
a 
+
g
sin

 
+ 
kg
cos

) 
Найдем работу по подъему груза
A
=
F

l
=
m

l

(
a 
+
g

sin

 
+ 
k

g

cos

) 
Средняя мощность подъемного устройства <
P
>=
t
А
Время 
t
подъема груза найдем из уравнения равноускоренного движения
l=
2
2
at
, откуда
t
=
2
l
a
и
l
a
A
a
l
A
Р
2
2


Анализ единиц: [
A
]=[H

м]=Дж, [
P
]=[Дж

м
c
м
2
/
=
с