№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016



жүктеу 3.69 Mb.
Pdf просмотр
бет13/21
Дата15.03.2017
өлшемі3.69 Mb.
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   21

ШӘКІР Аружан Өскенқызы, 
№142 орта мектебінің 8 сынып оқушысы, Бірлестік ауылы
Шиелі ауданы, Қызылорда облысы, Қазақстан Республикасы 
 
Жетекшісі: БЕЙСБАЕВА Нургуль Базархановна, 
№142 орта мектебі «Математика» пәнінің мұғалімі, Бірлестік ауылы, 
Шиелі ауданы, Қызылорда облысы, Қазақстан Республикасы 
 
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЛОГИКА ЖӘНЕ ТЕЗ ЕСЕПТЕУ ТӘСІЛДЕРІ 
 
Ақыл – ойды тәртіпке келтіретін  математика
сондықтан оны оқу керек. 
М.В. Ломоносов 
Математиканы оқыту арқылы мәселені  талдай білуге, нақтылауға, ұғымдарды 
анықтауға,  ой  қорытулар  жасауға,  дәлелдеуге,  тағы  басқа  іс  жүзінде  қадам  сайын 
логикалық  білім  беріледі.  Математиканың  өмірмен  байланысы  анық.  Миды 
жаттықтыру үшін адамға математиканы үйрену, есеп шығару, математиканың бүкіл 
заңдарын басқа ғылымдарды оқығанда пайдаланады. 
Біздің  өміріміздегінің  бәрі  бір-бірімен  тығыз  байланысты.  Тіршілік 
құбылыстарын бір-бірінен бөліп зерттеуге болмайды. 
Математиканың басқа ғылымдармен байланысын анықтайық. Оның химиямен, 
физикамен, биологиямен, информатикамен тығыз байлыныстылығында дау жоқ. Ал 
тарихпен  ше?  Тарих  толығымен даталардан  және  оған  сәйкес  оқиғалардан  тұрады. 
Оларды  есте  сақтау  үшін  ойлау  қабілеті  немесе  оқиғалардың  логикалық тізбегін 
қадағалай білу  қажет.  Географиямен  байланысына  келсек,  қалалардың  ара 
қашықтығын анықтағанда масштаб, қолда бар карталар есепке алынады, қарапайым 
математикалық есептеулер арқылы қажетті деректерді алуға болады. 
Әдебиетпен  байланысы  көз  алдымызда  логикалық  ойлау  қабілеті  жақсы 
дамыған  адамды  келтіреді.  Егер  ол  шығарманың  авторын  жақсы  білмесе  де,  оның 
туған  жылын,  дүниеден  өткен  жылын  білу  арқылы сол  уақыт  арасында  болған 
оқиғаларды логикалық  түрде  ұштастыра  алады.  Мұндай  логикалық  ойлауды 
логикалық және математикалық есептердің көмегімен жүргізу керек. 
Логика  дегеніміз  –  спортшыға  да,  бишіге  де,  жазушыға  да  керек.  Өз  атыңды, 
сезіміңді логикалық тұрғыда жеткізе білу де үлкен өнер. Ой – әрекетті дамыту үшін 
оқу  материалдарына  теориялық  талдау  жасауға,  өз  бетінше  қорытындыға  келуге 
айрықша  мән  беріледі.  Өз  бетімен,  кітаппен  жұмыс  жасау  оқу  материалдарының 
қандай 
түрлерін 
есте 
сақтау 
керектігін 
білуге, 
өз 
бетінше 
білімді 
тәжірибеде пайдалану дағдысын арттыруға мүмкіндік береді. 
Логикалық  тапсырмалар  қарапайымнан  басталып,  біртіндеп  қиындап, 
оқушылардың  танымдық  қызметін  жақсартады.  Логикалық  есептерді  шығаруда 
шығармашылықпен  жұмыс  істеу  әрбір  оқушыға  тиімді  дер  едім.  Ең  бастысы 
шығармашылықпен  жұмыс  істеген  адамның  өзіне  және  өз  ісіне  деген  сенімі, 
жауапкершілігі артады, іскерлік дағдысы қалыптасады. 
Адамның ерекше қасиеттерінің бірі – есепті дұрыс шеше білу. Менің мақсатым 
– әр түрлі қиындықтағы есептерді дұрыс шығара білуге үйрену. 
Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. 
Сондықтан  әрбір  мектеп  оқушысының  алдында  тұрған  міндеті  –  қазіргі  заманғы 
математикалық  логиканың  негізін  түсіне  білу,  логикалық  есептерді  шеше  білу. 
Математикалық  логиканы  білмейінше,  оны  ойдағыдай  меңгеру  қиын.  Өйткені 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
105 
бүгінгі күні ғылым мен техниканың қарыштап дамуы ол адамның ойлау қабілетінің 
ең ірі жетістіктері болып табылуда. 
Арнайы формуланы қолдануға келмейтін әрқайсысына өзінше талдау жасауды 
қажет ететін есептерді логикалық есептер дейміз. 
Логикалық есептердің саны да, шығару да тәсілдері де алуан түрлі. Математика 
абстрактылы  пән  болғандықтан  қай  оқушы  болмасын  бірден  қабылдау  өте  қиын. 
Математиканы  жақсы  түсініп  алған  оқушы  алдында  тұрған  мәселені  анық  көретін 
болады.  Оның  шешімін  күні-түні  іздейді,  ақыры  табады.  Сондықтан  кез-келген 
оқушыны ауызша есептеуден бастап логикалық ойлау қабілетін жетілдіріп шыңдау 
үшін математика пәнін жан-жақты меңгеруі керек. 
Математиканы оқыту арқылы мәселені  талдай білуге, нақтылауға, ұғымдарды 
анықтауға,  ой  қорытулар  жасауға,  дәлелдеуге,  тағы  басқа  іс  жүзінде  қадам  сайын 
логикалық  білім  керек.  Математиканың  өмірмен  байланысы  анық.  Миды 
жаттықтыру үшін адамға математиканы үйрену, есеп шығару, математиканың бүкіл 
заңдарын басқа ғылымдарды оқығанда пайдаланады. Біздің өміріміздегенің бәрі бір-
бірімен  өзара  байланысты.  Тіршілік  құбылыстарын  бір-бірінен  бөліп  зерттеуге 
болмайды. 
Ой-әрекетті  дамыту  үшін  оқу  материалдарына  теориялық  талдау  жасауға,  өз 
бетінше  қорытындыға  келу  айрықша  мән  беріледі.  Өз  бетімен,  кітаппен  жұмыс 
жасау  оқу  материалдарының  қандай  түрлерін  есте  сақтау  керектігін  білуге,  өз 
бетінше  білімді  тәжірибеде  пайдалану  дағдысын  арттыруға  мүмкіндік  береді. 
Математика  пәні  ең  бірінші  оқушылардың  қызығушылығын  туғызуды  талап  етеді. 
Осы  мақсатпен  әр  тақырыпты  бастамас  бұрын  оқушының  қызығушылығы  мен 
белсенділігін арттыру мақсатында немесе сабақ ортасында, соңында шығармашылық 
есеп  ретінде  логикалық  есептер,  не  болмаса  тапсырмалар  беріледі.  Математика 
сабағында  оқушының  қызығушылығын  тудыру  үшін  логикалық  есептерді  шығару 
шығармашылық есеп түрінде бастауыш сыныптан бастап беріледі. 
Математиканың сан алуан сырын, сандар әлемінің қызық құбылысын, осылай 
өрнектеген  сабақ,  не  сабақтан  тыс  жұмыс  қызықты  әрі  ұтымды  болады.  Сабақта 
алған  білім  дағдысы  ойлау  барысында  қолдану  мүмкіндігі  оқушының  зор  ынтасын 
тудырады, білгенін тереңдетіп, жаңа іс-қимылға жетелейді. Белсенді емес оқушылар 
жолдастарынан кейін қалмау үшін алға ұмтылады. Өз ойыңды, сезіміңді логикалық 
тұрғыда  дұрыс  жеткізе  білу  –  үлкен  өнер.  Сонымен  математика  сабақтарында 
оқушының логикалық ойлау қабілетін арттыру  – теориялық білімдерін тереңдетуге, 
практикалық  есептеу  дағдыларын  жетілдіруге,  ғылым  сырын  ұғуға  икемдейді. 
Оқушының  шығармашылық  іс-әрекетін  бейімдейтін,  ақыл-ойын  дамытатын 
құралдардың  бірі  –  логикалық  есептер.  Логикалық  ойлау  арқылы  оқушының  пәнге 
деген  қызығушылығы  артады.  Білсем,  үйренсем  дейді,  тіпті  математикаға  қабілеті 
жақсы, зерек оқушылардың өздері логикалық есептерді құрастырады. 
Логикалық  есептредің  оқу  процесіндегі  маңызы  зор.  Мұндай  есептер 
оқушының ойлау қабілетін, математикаға деген қызығушылығын арттыру үшін өте 
тиімді. Логикалық есептер математикалық олимпиадаларда, әр түрлі жарыстарда жиі 
қолданылады.  Шығармашылық  деңгейдегі  есептер  жоғары  сыныптарда  да 
беріледі. Логикалық  есептер  математикалық  олимпиадаларда,  түрлі  жарыстарда, 
«Кенгуру»,  «Ақбота»  интеллектуалды  ойындарында  көп  қолданылады.  Логикалық 
есептердің саны да, шығару тәсілдері де алуан түрлі. 
Мен  өзімнің  қызыға  да,  қинала  жүріп  жинақтап  шешімін  тапқан  осындай 
логикалық  есептердің  бірнеше  түрлерін  ұсынып  отырмын.  Логикалық  есептер 
әртүрлі тақырыптарда беріледі. 
Белгісіз сандарды табуға берілген есептер: 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
106 
1. Марал  ойлаған  саннан  3-ті  алып,  нәтижеге  ең  үлкен  екі  таңбалы  санды 
қосқанда 103 шықты. Марал ойлаған санды санды тап. 
Шешуі: (х – 3) + 99 = 103. 
х – 3 = 4. 
х = 7. 
Жауабы: 7 саны. 
2. Дымбілмес бірінші рет  сыныптағы қыздардың мұрындарын және ұлдардың 
құлақтарын  санағанда  барлығы  41  болды.  Дымбілмес  екінші  рет  сыныптағы 
қыздардың  құлақтарын  және  ұлдардың  мұрындарын  санағанда  барлығы  43  болды. 
Сыныпта неше қыз, неше ұл бар? 
1. 41 (өзін есептеген жоқ). 
2. 43 (өзін есептеді). 
Сандар тізбегі. Бұл түрдегі есептерде сандар тізбегі белгілі бір ережеге сәйкес 
қойылады.  Сол  ереже  бойынша  сұрақ  белгісінің  орынына  қай  сан  сәйкес  келетінін 
анықтау керек. 
Мысалдар: 
1) 2, 3, 5, 8, 12, 17, ? 
A) 22, B) 24, C) 23, D) 25 
+1, +2, +3, +4, +5, +6 
1) 2, 3, 5, 8, 12, 17, ?, 23 
2) 1, 1, 2, 6, 24, 19, 13, 6, 48, 39, 29, ?, ?, ?, 64, 49, 33, … 
A) 18, 6, 78, B) 18, 6, 76, C) 19, 6, 76, D) 19, 5, 78 
Шешімі: 
*1, *2, *3, *4, -5, -6, -7, *8, -9, -10 
2) 1, 1, 2, 6, 24, 19, 13, 6, 48, 39, 29, 
-11, -12, *13, -14, -15, -16 
Белгісіз санды табу.  Бұл түрдегі  есептерде  сандар тізбегі  белгілі  бір ережеге 
сәйкес  қойылады.  Сол  ереже  бойынша  сұрақ  белгісінің  орнына  қай  сан  сәйкес 
келетінін анықтау керек. Мысалдар: 
2*3 – 1 = 5 
7*3 – 1 = 20 
4*3 – 1 = 11 
?*3 – 1 = 8 
Жауабы: A) 7, B) 6, C) 4, D) 3 
Сөз есеп: 
Дүкенде көлемі екі түрлі алма бар. Кіші алманың біреуі 120 г, үлкені  – 200 г. 
Осы дүкеннен 1 кг алма алған адам ең көп қанша дана алма алуы мүмкін? 
A) 5, B) 6, C) 7, D) 8 
120x + 200y = 1000 
х = 5; y = 2 
х + у = 7 
Жауабы: 7 дана. 
Математикалық  логика  ақыл-ой  еңбегін  техникаландырудың  құралы  болып 
табылады  және  ойлау  процесін  арнаулы  математикалық  әдістер,  символдық 
аппараттар  арқылы  зерттейді.  Бірақ  дәстүрлі  математикалық  логика  пәнін 
білмейінше,  оны  ойдағыдай  меңгеру  қиын.  Өйткені  бүгінгі  күнде  ғылыми 
технологияның  дамуына  байланысты  адамзат  баласы  ой  және  дене  еңбегін 
жеңілдететін  техникалық  құрылғылардың  түр-түрін  ойлап  табуда.  Мысалы,  қазіргі 
кезде  электронды  есептеу  машинасын  қолдана  отырып,  кез-келген  күрделі  есептің 
шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады. Тіпті, қарапайым есептеу құралы 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
107 
–  калькуляторлардың  өзі  бүгінгідей  нарық  заманында  қарапайым  халық  үшін  аса 
тиімді.  Әрине,  мұның  бәрі  адамның  ойлау  қабілетінің  ең  ірі  жетістіктері  болып 
табылады. 
Алайда,  қалыптасқан  жағдайдың  пайдасымен  қатар  зияны  да  жоқ  емес.  Атап 
айтқанда,  бүгінде  кез-келген  оқушының  қарапайым  көбейту  кестесін  біле  бермеуі 
мүмкін.  Сол  себепті  де,  баланың  логикалық  ойлау  қабілетін  дамыту  бүгінгі  күннің 
өзекті  мәселелерінің  бірі  деуге  болады.  Осы  жайды  ескеріп,  мен  бұл  жұмыста 
логикалық  ойлау  қабілетін  дамытатын  шапшаң  есептеудің  кейбір  әдістерін 
мейілінше  қарастырдым.  Ендеше,  мен  секілді  математиканың  ғылымилығын  жаңа 
бастаған оқушы үшін бұл маңызды тақырып. 
Көбейту  кестесін  жаттаудың  оңай  жолы. Математикаға  кіріспе  көбейту 
кестесін  жаттаудан  басталатыны  баршаға  аян.  Оны  жаттамаған  бүлдіршін 
математиканы  оқып-үйрене  алмайды.  Алайда,  көбейту  кестесін  жаттаудың  да  оңай 
тәсілі  бар.  Мәселен,  9  санына  байланысты  көбейту  кестесін  оп-оңай  жаттауға 
болады. Ол үшін әуелі, 9 санын 1-ге көбейтуден бастап 1-ден 9-ға дейінгі сандарды 
ретімен жоғарыдан төмен қарай жазып шығамыз (1). 
Кейін дәл осылай 1-ден 9-ға дейінгі сандарды ретімен төменнен жоғары қарай 
жазып  шығамыз  (2).  Міне,  осылай  дайын  көбейту  кестесі  шыға  келеді  (төмендегі 
кесте). 
1) 9*1→0             2) 9*1→9           9*1=09 
9*2→1                  9*2 →8              9*2=18 
9*3→2                  9*3→7               9*3=27 
9*4→3                  9*4→6               9*4=36 
9*5→4                  9*5→5               9*5=45 
9*6→5                  9*6→4               9*6=54 
9*7→6                  9*7→3               9*7=63 
9*8→7                  9*8→2               9*8=72 
9*9→8                  9*9→1               9*9=81 
9*10→9                9*10→0             9*10=90 
Жалпы бұл тәсіл өте тез есептеуге мүмкіндік бергенімен, жазып отыруды талап 
етеді.  Сондықтан  бізге  бұдан  да  ойланбастан  шығарылатын  тиімді  әдіс  керек. 
Сондай  әдістердің  бірі  –  саусақпен  жылдам  есептеу  әдісі.  Бұл  тәсіл  ең  тиімді  әрі 
қарапайым саналады. Мәселен, 9×7 болсын. Бұл қарапайым көбейтудің нәтижесі 63 
екені  баршаға  аян.  Енді  осы  нәтижені  саусақпен  көбейту  арқылы  тексерсек. 
Алдымен қолыңыздың саусақтарын 7-ші саусаққа дейін санап, сосын 7-ші саусақты 
бүгіңіз.  Енді  бүгілгенге  дейінгі  саусақтардың  санына,  кейін  бүгілгеннен  кейінгі 
саусақтардың  санына  назар  аударыңыз.  Сонда  бүгілген  саусаққа  дейінгі  саусақтар 
саны шығатын мәннің ондық үлесіне тең болса, бүгілгеннен кейінгі саусақтар саны 
шығатын мәннің бірлігіне тең болады, яғни, 9×7꞊63 болады. 
Енді тағы бір мысал келтірейік: 9×10 болсын. Сонда бүгілген саусаққа дейінгі 
сандар 9-ды берсе, ал бүгілгеннен кейінгі саусақта бірлік саны жоқ. Бұндай жағдайда 
шығатын санның бірлік цифры 0-ге тең деп ұйғарылады. Міне, осылайша 1-ден 10-ға 
дейінгі сандардың нәтижесін оңай есептеуге болады. 
Ескерту: бұл тәсіл тек 1-ден 10-ға дейігі сандар үшін ғана орындалады. 
Егер байқаған болсаңыз, жоғарыдағы екі тәсіл де 9-ға байланысты орындалып 
жатыр. Ал оны өзгертетін болсақ, бұндай керемет жағдай орындалмас еді. Осындай 
ерекшелігін қазақ халқы байқаған болса керек, әйтеуір, осы санды қазақтар ерекше 
жақсы көреді. Бұл табиғаттың тылсым сыры ма, әлде жай ғана кездейсоқ оқиға ма, 
мұны  әзірге  ешкім  де  білмейді.  Әйтеуір,  осындай  сандар  көмегімен  математикада 
шапшаң есептеу әдістері жоғарыда көрсетілгендей тамаша үйлесімін тауып жатады. 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
108 
Көбейту кестесін оңай жаттаудың келесі бір оңай әдісі – Л.Н. Толстой ұсынған 
көбейту тәсілі саналады. Орыс жазушысы Л.Н. Толстой орыс мектебінде бастауыш 
сынып оқушыларына сабақ бергені бәрімізге белгілі. Ол өз шәкірттеріне көбейтудің 
мынадай  әдісін  ұсынған:  әуелі  көбейту  кестесіндегі  1-ден  5-ке  дейінгі  амалдарды 
жаттатып, 6-дан 9-ға дейінгі сандардың көбейтіндісін саусақтың көмегімен жүргізді. 
Бұл  әдіс  бойынша  әрбір  көбейткіштен  5  санын  алып  тастап,  қалдықтарды  екі 
қолдың  саусақтарын  бүге  отырып,  шығарып  алды  да,  осы  бүгілген  саусақтарды 
қосады. Бұл – көбейтіндідегі ондықтар саны. Енді бізге бірліктер санын табу керек. 
Ол үшін қалған екі қолдың бүгілмеген саусақтарын өзара көбейтіп, ондықтарға қосу 
керек. Мысалы: 9*7 көбейту керек болсын. Әр көбейткіштен 5-ті шегерсек, 2 және 4 
саны шығады. Бір қолда 2 саусақ, басқасында 4 саусақ бүгіледі. Олардың қосындысы 
– 6, бұл ондықтар. Қалған бүгілмеген саусақтар өзара көбейтіледі: 1 3 3. Олай болса, 
көбейтінді 9*7=63-ке тең. 
Саусақпен шапшаң көбейту әдісі. Саусақтарды бүгіп санау ерте заманда кең 
қолданылып  келді.  Адамның  саусақтары  мен  олардың  буындары,  сондай-ақ 
саусақтарын  бүгу  және  жазу,  қолдарын  бүгу  мен  жазу  олардың  ондаған  және 
жүздеген  мыңға  дейін  санай  алуына  ғана  емес,  сол  сияқты  кейбір  арифметикалық 
амалдарды  орындауына  да  мүмкіндік  берді.  Мысалы,  ежелгі  римдіктер  5  пен  10 
сандарының арасындағы сандарды саусақпен былайша көбейткен. 
Айталық,  6-ны  7-ге  көбейту  керек  болсын.  Сол  қолымыздың  жұдырығын 
жазбастан,  бір-бірлеп  саусағымызды  жаза  отырып,  6-ға  дейін  санаймыз.  Ал  оң 
қолымыздың  саусақтарымен  дәл  соны  қайталап,  7-ге  дейін  санаймыз.  Оң  қолдың 
жазылған  екі  саусағын  сол  қолдың  жазылған  бір  саусағынан  үстіне  саламыз. 
Жазылған  саусақ  небары  3-еу  болады,  бұл  –  3  ондық,  яғни,  30  болады.  Қалған 
төртеуі  (сол  қолдың  бүгілулі  тұрған  саусақтары)  3-ке  (оң  қолдын  бүгілулі 
саусақтарына) көбейтіледі, сонда 12 шығады. Сөйтіп, 6•7=42 мәнін аламыз. 
Осылайша: 
6•8=(1+3)•10+4•2=48   
 
6•9=(1+4)•10+4•1=54 
7•7=(2+2)•10+3•3=49   
 
7•8=(2+3)•10+3•2=56 
7•9=(2+4)•10+3•1=63   
 
8•8=(3+3)•10+2•2=64 
8•9=(3+4)•10+2•1=72   
 
9•9=(4+4)•10+1•1=81 
cандарының мәндерін ойша табуға болады. 
Ескерту: •белгісі көбейту амалын білдіреді. 
Санның  бөлінгіштік  белгісімен  есептеуді  жеңілдету.  Кейде  есептеу 
барысында мынадай есептер жиі ұшырасады: 
3-ке бөлінетін түріндегі ең кіші натурал санды табыңдар. Мұндай есепті шешу 
үшін сандардың бөлінгіштік белгісін жақсы білу керек. 
Кейбір сандардың бөлінгіштік белгілері: 
4-ке  бөлінгіштік  белгісі:  тек  соңғы  екі  цифрымен  таңбаланған  сан  4-ке 
бөлінетін сандар ғана, тек сол сандар ғана 4-ке бөлінеді. Мысалы, 83745656 саны 4-
ке  бөлінеді,  өйткені,  56  саны  4-ке  бөлінеді;  5349741414  саны  4-ке  бөлінбейді, 
өйткені, 14 саны 4-ке бөлінбейді. 
6-ға бөлінгіштік белгісі: тек 2-ге және 3-ке бөлінетін сандар ғана 6-ға бөлінеді. 
Мысалы,  10202010  саны  6-ға  бөлінеді,  өйткені,  бұл  санның  соңғы  цифры  0 
болатындықтан, 2-ге бөлінеді және 1+0+2+0+2+0+1+0=6 саны 3-ке бөлінеді, ал 2012 
саны 6-ға бөлінбейді, өйткені, бұл сан 2-ге бөлінгенімен 3-ке бөлінбейді. 
8-ге бөлінгіштік белгісі: тек саны 8-ге бөлінетін сандар ғана, тек сондай сандар 
ғана  8-ге  бөлінеді.  Мысалы,  437258112  саны  8-ге  бөлінеді,  өйткені  112  саны  8-ге 
бөлінеді, ал 256124 саны 8-ге бөлінбейді, өйткені 124 саны 8-ге бөлінбейді. 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
109 
10-ға  бөлінгіштік  белгісі:  тек  нөлмен  аяқталатын  сандар  ғана,  тек  сол  сандар 
ғана 10-ға бөлінеді. Мысалы, 1234567890 саны 10-ға бөлінеді, өйткені 0 саны 10-ға 
бөлінеді, ал 2012 саны 10-ға бөлінбейді, өйткені 2 саны 10-ға бөлінбейді. 
11-ге  бөлінгіштік  белгісі:  тек  санның  құрамындағы  тақ  орындағы 
цифрларының  қосындысы  мен  оның  жұп  орындағы  цифрларының  қосындысының 
айырмасы  0-ге  тең  немесе  11-ге  бөлінетін  сандар  ғана,  тек  сол  сандар  ғана  11-ге 
бөлінеді. Мысалы, 43715265 саны 11-ге бөлінеді, өйткені (4+7+5+6) – (3+1+2+5)=22-
11=11  саны  11-ге  бөлінеді,  ал  12922120  саны  11-ге  бөлінбейді,  өйткені  (1+9+2+2)-
(2+2+1+0) = 14-5=9 саны 11-ге бөлінбейді. 
25-ке  бөлінгіштік  белгісі:  тек  соңғы  екі  цифрларымен  таңбаланған  сан  25-ке 
бөлінсе немесе сан екі нөлмен аяқталса, тек сол сандар ғана 25-ке бөлінеді. Мысалы, 
4381997550 саны 25-ке бөлінеді, өйткені 50 саны 25-ке бөлінеді, ал 1112221740 саны 
25-ке бөлінбейді, себебі 40 саны 25-ке бөлінбейді. 
Енді осы анықтамаларды пайдаланып, жоғарыда берілген есепті шығарайық (3-
ке бөлінетін түріндегі ең кіші натурал санды табыңдар). 
Шешуі:  мұндай  түрдегі  берілген  санның  цифрларының  қосындысы  мынаған 
тең: 1+2+3+4+3+х+у=13+x+y. Берілген 3 сан 3-ке бөлінетін бұл қосындының ең кіші 
мәні  15-ке  тең,  яғни  х+у=2-ге  тең.  х+у=2  шартын  қанағаттандыратын  есептің 
шартында  берілген  түрдегі  сандардың  үш  түбірі  бар:  1230432,  1232430,  1231431, 
бұлардың ішіндегі ең кішісі а = 1230432-ге тең. 
2-ден  басқа,  берілген  түрдегі  сандар  үшін  х+у  қосындысы  3-ке  бөлінетін 
мынадай сандар бар: 5, 8, 11, 14, 17. 
Егер  х+у=5  болса,  онда  ең  кіші  сан  1230435-ке  тең,  ал  х+у=8  болса,  онда  ең 
кіші  санның  1230438-ге  тең  болатындығы  айқын.  Бұл  табылған  екі  санның  мәні  а-
дан артық. Бар қалған 3 жағдайларда да (x+y=11, x+y=14, x+y=17) шығатын ең кіші 
сандардың  а  санынан  артық  болатындығына  оңай  көз  жеткізуге  болады.  Сонымен, 
ізделінді сан a=1230432-ге тең. 
2 мысал: 12 қосындысы қосындысы 3-ке бөлінетін ең үлкен х цифрын анықтау 
керек болсын. 
Шешуі:  12  саны  және  берілген  қосынды  3-ке  бөлінетіндіктен,  саны  олардың 
айырымы ретінде 3-ке бөлінеді. 5x3-ке бөлінетін ең үлкен цифр 7-ге тең, яғни, х=7. 
Жауабы: х=7. 
11  санына  шапшаң  көбейту  әдісі. Есептеуді  тездетудің  өзгеше  бір  әдісі  – 
санды  11-ге  көбейту  әдісімен  танысайық.  Мысалы,  26-ны  11-ге  көбейту  керек 
болсын.  Oл  үшін  әуелі  26  санын  құрайтын  2  және  6  цифрларын  қосып,  2  шыққан 
қосындыны 2 және 6 цифрларының арасына  «сыналап»  енгізіп жазамыз, сонда 286 
саны пайда болады. 
Cанды  құрайтын  цифрлардың  қосындысы  екі  таңбалы  сан  болуы  да  мүмкін, 
алғашқы цифры 1 болмақ. Осы 1-ді санның ондық орында жазылған цифрына қосу 
керек  те,  цифрлардың  арасына  қосындының  бірлік  орындағы  цифрын  «сыналап» 
енгізу  шарт.  Мысалы,  75-ті  11-ге  көбейткен  кезде  75  санын  құрайтын  цифрларды 
қосып  (7+5=12),  пайда  болған  нәтиженің  алдыңғы  цифрын  7-ге  қосамыз.  Сонда  85 
саны, ал 2 цифрын жаңадан пайда болған 85 санының 8 бен 5 цифрларының арасына 
«сыналап» ендіріп жазсақ, 825 саны пайда болады. 
11-ге лезде көбейту тәсілін мына теңдеуден аңғаруыңызға болады: 
(10a+b)11=110a+11b=100a+10b(a+b)+b. 
2-мысал: 
 
 
3-мысал: 
124*11=? 
 
 
3765*11=? 
а) 4*1=4 
 
 
а) 5*1=5 
б) 2*4=6 
 
 
б) 6+5=11, 1-ді жазып, 1-ді ойға аламыз. 

№№1-12(104-115), қаңтар-желтоқсан, январь-декабрь, January-December, 2016          ISSN 2307-0250 
Žas ġalymdar žaršysy – Vestnik molodyh učenyh – Messenger of young scientist 
______________________________________________________________
 
 
 
110 
в) 1+2=3 
 
 
в) 7+6=13, 13-ті жазып,13-ке 1-ді қосамыз. 
г) 1*1=1 
 
 
г) 13+1=14, 4-ті жазып, 1-ді ойға аламыз. 
124*11=1364   
 
д) 7+3=10, оған ойдағы 1-ді қосамыз. 
д) 10+1=11, 1-ді жазып,1-ді ойға аламыз. 
е) 3*1=3, 3-ті жазып оған 1-ді қосамыз. 
ж) 3+1=4 
Сонымен нәтиже 3765*11=41415 болады. 
11-ге көбейту үшін санды екі құрамда қарастырамыз: 
1) Санның бірлік цифры
2) Оның бірліктен кейінгі цифрлары. 
Сонда  көбейту  кезінде  бірлік  цифр  өзгеріссіз  жазылады  да,  бірліктен  кейінгі 
цифрларға оң жақтағы көрші цифры қосылып жазылып отырады. 
 
Санның 
құрамы 
Ереже 
Мысал 
Цифрларды табу 
Бірлік цифр 
Өзгеріссіз 
жаз 
0258*11 

8-ді өзгертпей жаздық. 
Бірліктен 
кейінгі 
цифрлар 
Көршісін 
қосып 
жаз 
0258*11 
2838 
1) 5+8=13,3-ін жаздық, 
1-і ойда; 
2) 2+5=7; 7+1=8; 
3) 0+2=2 
 
4836 санын 11-ге көбейту керек. 
1) 04836*11; Алдына нөл тіркеп, астын сыздық; 
2)04836*11; 6-ны өзгеріссіз, өзінің дәл астына жаздық
            6 
3) 01836*11; 3+6=9; 3-тің астына 9-ды жаздық; 
          96 
4) 04836*11; 8+3=11; 8-дің астына 1-ді жаздық 1-і ойда; 
        196 
5)04836*11; 4+8=12;12+1=13/4-тің астына 3 жаздық,1-і ойда; 
      3196 
6)04836*11; 0+4=4;4+1=5; 0-дің астына 5-ті жаздық. 
   53196 
Жауабы: 53196 
Каталог: docs
docs -> Қазақстан республикасының білім және ғылым министрлігі ы. Алтынсарин атындағЫ Ұлттық білім беру академиясы
docs -> Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі ы. Алтынсарин атындағЫ Ұлттық білім беру академиясы
docs -> Гуманитарлық Ғылымдар кәсіби қҰзыреттіліктің негізінде студенттердің Өзіндік әрекет ету дайындығын қалыптастыру
docs -> Бағдарламасы бойынша шығарылып отыр Редакция алқасы
docs -> C m y k газет 2008 жылдың қазан айынан бастап шығады
docs -> Жылдық есебі кафедраның тәрбие жетекшілерінің жұмысы
docs -> Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   21


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет