1. 3-суретте тұйық сынық сызығы бейнеленген
жүктеу/скачать 0,76 Mb.
|
|
1-анықтама. Жазықтықта берілген нүктелерді тізбектеп қосқанда шығатын фигураны сынық сызық деп атайды. 1.1-суретте сынық сызығы бейнеленген. , , , , нүктелері сынық сызықтың төбелері деп, ал , , және кесінділері оның буындары деп аталады. 1.1-сурет. Сынық сызық Сынық сызық буындары өзара қиылыспаса, онда мұндай сынық сызықты жай сынық сызық деп (1.1сурет), ал сынық сызық буындары өзара қиылысатын болса, оны күрделі сынық сызық деп атайды. 1.2-суреттегі фигура жай сынық сызық емес, күрделі сынық сызық. 1.2-сурет. Күрделі сынық сызық Егер жай сынық сызықтың екі ұшы (бастапқы және соңғы) беттесетін болса, онда шыққан фигура тұйық сынық сызық деп аталады. 1.3-суретте тұйық сынық сызығы бейнеленген. 1.3-сурет. Тұйық сынық сызық 2-анықтама. Жазықтықтың жай тұйық сынық сызықпен шектелген бөлігін көпбұрыш деп атайды. Егер тұйық сынық сызықтың n төбесі бар болса, онда көпбұрышты n-бұрыш деп атайды. 1.3-суретте алтыбұрышы бейнеленген. Тұйық сынық сызық төбелері көпбұрыш төбелері деп, ал буындары көпбұрыштың қабырғалары деп аталады. 1.4-суретте — сегізбұрышы бейнеленген. 1.4-сурет. Сегізбұрыш Көпбұрыштың әрбір қабырғасының ұштарын оның көршілес төбелері деп атайды. Ал көпбұрыштың көршілес емес әрбір екі төбесін қосатын кесіндіні көпбұрыштың диагоналы деп атайды. 1.5-суреттегі бесбұрышының барлық диагональдары жүргізілген. 1.5-сурет. Бесбұрыш диагональдары Көпбұрыштың барлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысын көпбұрыштың периметрі деп атайды. 1.5-суреттегі бесбұрышының периметрі қосындысына тең. 3-анықтама. Дөңес көпбұрыштар. Төртбұрыштар. Егер көпбұрыш оның кез келген қабырғасы арқылы өтетін түзудің бір жағында ғана, яғни бір жарты жазықтықта жатса, онда мұндай көпбұрыш дөңес көпбұрыш деп аталады. 1.6-суретте бейнеленген көпбұрышы – дөңес көпбұрыш, ал дөңес емес. 1.6-сурет. Дөңес және дөңес емес көпбұрыштар Көпбұрыштың ортақ төбесі бар екі қабырғасының арасындағы бұрыш осы көпбұрыштың бұрышы деп аталады. Дөңес -бұрыштың әрбір төбесінен жүргізілген диагональдары оны үшбұрыштарға бөледі. 1.7-суретте бесбұрышы үшбұрышқа, ал алтыбұрышы үшбұрышқа бөлінген. 1.7-сурет. Үшбқрыштарға бөлінген көпбұрыштар 1-теорема. Дөңес -бұрыштың бұрыштарының қосындысы -қа тең. Дәлелдеу. Дөңес -бұрыш бір төбесінен шығатын диагональдармен үшбұрыштарға бөлінеді. Ал үшбұрыш бұрыштарының қосындысы -қа тең болғандықтан, -бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -қа тең. 4-анықтама. 4 төбесі бар көпбұрыш төртбұрыш деп аталады. Төртбұрыштың 4 төбесі, 4 қабырғасы және 2 диагоналы бар. Ортақ төбелері болмайтын қабырғалар қарама-қарсы қабырғалар деп, ал көршілес емес екі төбесі оның қарама- қарсы төбелері деп аталады. 1.8-суреттегі – дөңес төртбұрыш, ал – дөңес емес төртбұрыш. Көпбұрыштың ішкі бұрышына сыбайлас бұрышты оның сыртқы бұрышы деп атайды. 1.8-сурет. Дөңес және дөңес емес төртбұрыштар 2-теорема. Дөңес көпбұрыштың әрбір төбесінен бір-бірден алынған сыртқы бұрыштарының қосындысы -қа тең. Дәлелдеу. Көпбұрыштың әрбір төбесіндегі сыртқы және ішкі бұрыштарының қосындысы -қа тең (1.9-сурет), ал оның барлық төбелеріндегі осындай қос бұрыштардың қосындысы -қа тең. Көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -қа тең. Онда сыртқы бұрыштарының қосындысы -қа тең. 1.9-сурет. Көпбұрыштың сыртқы және ішкі бұрыштары Егер берілген көпбұрышта: 1) барлық бұрыштары өзара тең; 2) барлық қабырғалары өзара тең болса, онда бұл көпбұрыш дұрыс көпбұрыш деп аталады. 1.10-суретте дұрыс бесбұрыш, алтыбұрыш және сегізбұрыштар бейнеленген. 1.10-сурет. Дұрыс бесбұрыш, алтыбұрыш және сегізбұрыштар 5-анықтама. Шаршы — дұрыс төртбұрыш болып табылады. Көпбұрыш дұрыс көпбұрыш болуы үшін 1) және 2) шарттардың екеуін де қанағаттандыруы қажет. Олардың тек біреуі ғана орындалуы жеткіліксіз. Ескерту. Көпбұрыш бұрыштарының қосындысы туралы теорема дөңес емес көпбұрыштар үшін де орындалады. Параллелограмм және оның қасиеттері. Параллелограмның қасиеттері. 6-анықтама. Қарама-қарсы қабырғалары параллель болып келген төртбұрыш параллелограмм деп аталады. 3-теорема. Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең және қарама-қарсы бұрыштары да тең. – параллелограммы 1.11-суретте келтірілген. 1.11-сурет. Параллелограмм Дәлелдеу. — параллелограмм, — диагоналы. , — айқыш бұрыштар , себебі ортақ қабырғаға іргелес бұрыштары тең (Үшбұрыштар теңдігінің II белгісі). , . , . 4-теорема. Параллелограмның диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді. – параллелограмм, және диагональдары нүктесінде қиылысады, , (1.12-сурет). 1.12-сурет. Параллелограммның дигональдарының қиылысуы Дәлелдеу. параллелограмм, . болғандықтан, , және 3-теорема бойынша . Онда үшбұрыштар теңдігінің ІІ белгісі бойынша , . Параллелограмның белгілері. 1-белгі. Егер төртбұрыштың қарама-қарсы екі қабырғасы тең және параллель болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады: төртбұрышында , – параллелограмм. 2-белгі. Егер төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары қос-қостан тең болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады: төртбұрышында , – параллелограмм. 3-белгі: Егер төртбұрыштың диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінсе, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады: төртбұрышында , , – параллелограмм. Тіктөртбұрыш, ромб, шаршы және олардың қасиеттері. Тіктөртбұрыш. 7-анықтама. Тіктөртбұрыш деп барлық бұрыштары тік болатын параллелограмды айтады. 5-теорема. Тіктөртбұрыштың диагональдары тең. – тік төртбұрыш (1.13 -сурет). 1.13-сурет. Тіктөртбұрыштың диагональдары Дәлелдеу. – тіктөртбұрыш, , — диагональдары (1.13-сурет). (катеттері тең , ал ортақ) . 6-теорема. Диагональдары тең параллелограмм тіктөртбұрыш болады. параллелограмында – тік төртбұрыш. Дәлелдеу. параллелограмының диагональдары тең: (1.13-сурет) (үш қабырғасы бойынша) . — параллелограмның бір қабырғасына іргелес бұрыштар. Онда . Осы сияқты . – тіктөртбұрыш. Салдар: Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына жүргізілген медиана гипотенузаның жартысына тең. — тік бұрышты, , медианасы . 8-анықтама: Барлық қабырғалары тең параллелограмды ромб деп атайды. 7-теорема. Ромбының диагональдары өзара перпендикуляр және оның бұрыштарын қақ бөледі. – ромб , диагоналы және бұрыштарының биссектрисасы, ал диагоналы және бұрыштарының биссектрисасы. Қабырғасының ұзындығы -ға ромбының диагональдары: , формуласымен есептеледі. 8-теорема (Кері теорема). Диагональдары перпендикуляр әрбір параллелограмм ромб болады: параллелограмда – ромб (1.14-сурет). 1.14-сурет. Ромб Дәлелдеу. – параллелограмм және диагональдары бір-бірінің орта перпендикуляры. Олай болса, параллелограмның көршілес төбелері бір-бірінен бірдей қашықтықта орналасқан, яғни – ромб. 9-анықтама. Барлық қабырғалары тең тіктөртбұрыш шаршы деп аталады (1.15–сурет). Шаршы – әрі тік төртбұрыш, әрі ромб. Сондықтан: 1) Шаршының барлық бұрыштары тік; 2) Шаршының барлық қабырғалары тең; 3) Шаршының диагональдары тең, өзара перпендикуляр, қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді және олар шаршы бұрыштарының биссектрисасы да болады (1.15-сурет). 1.15-сурет. Шаршы 9-теорема (Фалес теоремасы). Егер бұрыш қабырға- ларын қиып өтетін параллель түзулер оның бір қабыр- ғасынан тең кесінділер қиып өтсе, онда бұл түзулер бұрыштың екінші қабырғасынан да тең кесінділер қиып өтеді. Дәлелдеу. Берілгені: , түзулері; ; ; ; , ; ; . Дәлелдеу керек . нүктесі арқылы болатындай түзуін жүргіземіз: , (1.16-сурет). және – параллелограмдар. және , ал . – вертикаль бұрыштар. – айқыш бұрыштар. Онда . 1.16-сурет. Фалес теоремасын дәлелдеу 10-анықтама. Екі қабырғасының орталарын қосатын кесіндіні үшбұрыштың орта сызығы деп атайды: (1.17-суретте). , – орта сызық. 1.17-сурет. Үшбұрыштың орта сызығы 10-теорема. Үшбұрыштың орта сызығы оның үшінші қабырғасына параллель және осы қабырғаның жартысына тең: үшбұрышында – орта сызық. Онда және (1.18-сует). 1.18-сурет. Үшбұрыштың орта сызығына тұрғызылған параллелограмм Дәлелдеу. болсын (1. 81-сурет). болатындай түзуін жүргіземіз: Фалес теоремасы бойынша , яғни – орта сызық. нүктесі арқылы болатындай, түзуін жүргіземіз: . Фалес теоремасы бойынша , ал – параллелограмм. Сондықтан . жүктеу/скачать 0,76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|