10 Дәріс сабақ. Тақырыбы



бет1/2
Дата31.03.2022
өлшемі194.1 Kb.
#29494
түріСабақ
  1   2

10

Дәріс сабақ.

Тақырыбы: Оператордың жеке функциялары мен жеке шамалары. Шредингер теңдеуі және сақталу заңдары.

Сабақтың мақсаты: Оператордың өзіндік функциялары бір-бірінен айыру және жеке шамаларының мәнін табу. Шредингер теңдеуі мен сақталу заңдары тәжірибелерін қорытып шығару.

Тақырыптың қысқаша мазмұны:

Кванттық механикада бөлшектердің қозғалыс заңдары-ықтималдық сипатта болады. Сондықтан да, кванттық механика физикалық шамалардың (бақыланатын шамалардың) орта мәндерін анықтауға мүмкіндік жасайды. Ол үшін ықтималдық теориясындағы математикалық үміт туралы теоремасын пайдаланамыз. Нәтижесінде мынадай анықтама беруге болады:  сызықтық және өзіне түйіндес оператормен сипатталатын физикалық шаманың орта мәні, күйді сипаттайтын толқындық функция  берілсе, мына формуламен анықталады.

(6.1)

Бұл интегралды есептегенде (3.4) нормалау шарты орындалу керек. (6.1)-ге сәйкес бөлшектің координаты мен импульсінің орта мәндерін табуға болады:



,

,

мұндағы  операторлары кейін анықталады.



Орта мәндер әрқашан да нақты сандар болу керек:

 . (6.2)
Бұл пікірді дәлелдеу үшін, (6.1) формуланы операторлардың өзіне түйіндес шартын пайдалана отырып, басқаша түрде жазамыз:

. (6.3)

Енді (6.1) формуламен анықталатын орта мәннің комплексті түйіндес мәнін жазайық:


 . (6.4)

(6.3) және (6.4) қатыстарды салыстыра отырып, орта мәннің нақты сан екенін осылай анықтаймыз.Физикалық шама F жөнінде толығырақ мәлімет алуға болады. Ол үшін  шаманың орта F мәннен орташа квадраттық ауытқуын (дисперсияны) қарастырайық. Ықтималдық теориясынан алынған мәліметтер бойынша, орташа квадраттық ауытқу мынаған тең:



 ,

мұндағы  - орта мәннен ауытқу. Орташа квадраттық ауытқу теріс емес болу керек. Мұны дәлелдеу үшін (6.1) формуланы пайдаланып, орта мәннен орташа квадраттық ауытқуды есептейік:




 . (6.5)

Бұл есептеуде операторлардың өзіне түйіндестік шартын пайдаландық. Анықтама бойынша




 (6.6)

сондықтан да, орташа квадраттық ауытқу әрқашан да, оң шама немесе нөлге тең.



Алдыңғы параграфтағы толқындық функцияның көмегімен есептелген орта мәннен орташа квадраттық ауытқуды қарастырайық. Жалпы жағдайда  , бірақ, біз қарастырып отырған  шама бір ғана мәнге тең күйді қарастырсақ, онда  . Бұл күй үшін (6.5) теңдікті келесі түрде жазамыз:

 .

Интеграл астындағы шама – елеулі оң шама, сондықтан ол интеграл мына жағдайда ғана нөлге тең болады:


 .

Комплекс санның модулі нөлге тең болады, егер санның өзі нөлге тең болса. Сонымен


 ,

немесе  функциямен сипатталатын күйде F бір ғана мәнге ие болатынын және орта мәннен ауытқуды ескере отырып, мынадай теңдеу жаза аламыз:




.

Осыдан
 (7.1)



Бұл теңдік белгісіз  функцияға қатысты сызықтық теңдеу болып табылады, себебі анықтама бойынша - оператор. Көп жағдайда  дифференциалдық оператор болады, сондықтан (7.1) теңдеу біртекті, сызықтық дифференциалдық теңдеу болады. Бұл теңдеудің мардымсыз емес шешімі болады, себебі нөлдік шешімнің физикалық мағынасы жоқ.

Үшінші параграфта қарастырылғандай,  толқындық функция үзіліссіз, бірмәнді, ақырлы болу керек және белгілі бір шекаралық шарттарды қанағаттандыру керек. Бұл талаптарды орындау, (7.1) операторлық теңдеудің шешімі F физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болатындығына келтіреді. Осы белгілі бір мәндерді  оператордың өзіндік мәндері, ал оларға сәйкес келетін (7.1) теңдеудің шешімдерін оператордың өзіндік функциялары деп атайды.

Біз  шамаға мынадай талап қоя аламыз: тәжірибелерде  оператордың тек өзіндік мәндері бақыланады. Бұл постулат бойынша операторлардың өзіндік мәндері мен тәжірибенің арасындағы байланысты табуға болады.



Жоғарыда айтылғандай, операторлық теңдеудің шешімі  физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болады. Ол мәндер , , ... , , ... үзікті қатар мәндерін немесе үзіліссіз қатар мәндерін құрайды. Оператордың өзіндік мәндер жиынтығы оның спектрі деп аталынады. Егер оператор үзікті өзіндік мәндерге ие болса, онда ол үзікті спектрге ие болады. Егер оператор біраз аралықта үзіліссіз өзіндік мәндерге ие болса, онда ол үзіліссіз (тұтас) спектрге ие болады.
Оператордың өзіндік функцияларын бір-бірінен айыру үшін, олардың индекстері ретінде өзіндік мәндердің нөмірлерін алады. Мысалы, оператор үзікті спектрге ие болса, онда өзіндік мәндер , , ... , , ... қатар, ал өзіндік функциялар , , ... , , ... қатар түзеді. Кванттық механикада, өзіндік мәндер мен өзіндік функцияларды анықтайтын  бүтін сандарды кванттық сандар деп атайды.
Егер  өзіндік мәннің әрбіреуіне өзіндік функцияның бір ғана мәні сәйкес келсе, спектр тоғысқан емес болады. Егер өзіндік мәннің әрбіреуіне бірнеше өзіндік функциялар сәйкес келсе, онда спектр тоғысқан болады. Мысалы,  өзіндік мәнге  өзіндік функциялар сәйкес келсе, онда

 тоғысудың еселігі деп аталынады. Егер  болса, онда екіеселі тоғысу болады, яғни өзіндік мәннің әрбіреуіне екі толқындық функция сәйкес келеді.
Оператордың өзіндік мәні әрқашан да нақты болады. Өзіндік мән оператордың өзіндік функциясы сипаттайтын күйді анықтайтын физикалық шаманың орта мәніне сәйкес келеді, ал орта мән әрқашан да нақты:

 .

(6.2) теңдік бойынша  , сондықтан  .



Енді өзіндік функциялардың негізгі қасиеттеріне тоқталайық. Біз қарастыратын  оператор тоғысқан үзікті спектрге ие болсын, сонда мынадай операторлық теңдеуді жазуға болады:

 .

Бұл теңдеудің комплекс түйіндісі


 .  (7.2)

Басқа толқындық функцияға арналған, екінші бір операторлық теңдеуді жазайық:


 , (7.3)

мұндағы  . Бесінші параграфтағы математикалық тәсілді пайдалана отырып, (7.2) теңдеуді сол жағынан , ал (7.3) теңдеуді  - ге көбейтіп, содан соң бір-бірінен алып, алынған қатысты көлем бойынша интегралдайық:
 .
Егер операторлардың өзіне түйіндес шартын еске түсірсек, бұл теңдеудің сол жағы нөлге тең, сондықтан:

. (7.4)

Есептің шарты бойынша  , сондықтан


 . (7.5)

Бұл теңдеуден әр түрлі өзіндік мәндерге қатысты өзіндік функциялардың ортогоналдығын алдық. Егер болса, онда үзікті спектрдің өзіндік функцияларын бірлікке нормалауға болады:



 (7.6)

(7.5) және (7.6) формулаларды бір формулаға біріктірейік:


 , (7.7)

мұндағы - Кронекер символы:


 (7.8)

(7.7) теңдікті өзіндік функциялардың ортонормаланған шарты деп атайды.



 (9.2)



Достарыңызбен бөлісу:
  1   2




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет