§26. Эйлерова характеристика двумерного многообразия

§26. Эйлерова характеристика двумерного
многообразия
Рассмотрим более подробно двумерные многообразия .
Определение 26.1. Клеткой назовем всякое двумерное многообразие с краем,
гомеоморфное простому многоугольнику.
Образы вершин многоугольника называются вершинами клетки, образы сторон -
сторонами.
Двумерное многообразие Ф разбито на клетки Ф
i
( i =1, 2,..., n ), если выполнены два
условия:
1. Клетки Ф 
i
 
образуют покрытие многообразия Ф, т.е. 
i
Ф
i
= Ф;
2. Пересечение любых двух клеток либо пусто, либо является их общей вершиной, либо
общей стороной.
Возьмем какое-либо двумерное многообразие и произведем его клеточное разбиение.
Обозначим α 
0
- число вершин разбиения, α 
1
- число сторон, α 
2
- число клеток. Число χ (Ф)
= α 
0
- α 
1
+ α 
2
называется эйлеровой характеристикой многообразия Ф. Она не зависит от
способа разбиения на клетки и является топологическим инвариантом.
Пример 1. Круг. Разобьем его на 4 клетки.
α 
0
= 5; α 
1
= 8; α 
2
= 4 .
χ 
круга
= α 
0 
- α 
1
+ α 
2
=
= 5 - 8 + 4 = 1.
Эйлерова характеристика
любой плоской фигуры,
гомеоморфной кругу, также будет
равна 1.
Пример 2. Сфера.
α 
0
= 6; α 
1
= 12; α 
2
= 8 .
χ 
сферы
= α 
0
- α 
1
+ α 
2
=
= 6 - 12 + 8 = 2.
Значит, и поверхность любого
многогранника имеет эйлерову
характеристику, равную 2.
Поверхность любого многогранника естественным образом разбита на клетки-грани.
Обозначая число вершин, ребер и граней соответственно русскими буквами В, Р и Г и
учитывая, что эйлерова характеристика многогранника равна 2, получим знаменитую
теорему Эйлера:
В + Г = Р + 2
В любом многограннике сумма числа вершин и граней на 2 единицы больше его ребер.
Вырежем в сфере дыру. Мы можем считать, что контур дыры совпадает с клеткой
разбиения и поэтому число вершин и сторон клеточного разбиения останется прежним, а
число клеток уменьшится на единицу. В результате и эйлерова характеристика уменьшится
на единицу. Итак, каждая дыра уменьшает эйлерову характеристику двумерного
многообразия на 1. Например, для сферы с одной дырой χ =1. Плоская фигура,
представляющая собой кольцо - множество точек между двумя концентрическими
окружностями - гомеоморфна сфере с двумя дырами, и ее эйлерова характеристика равна
нулю.
Определение 26.2. Ручкой называется двумерное многообразие с краем, гомеоморфное
боковой поверхности цилиндра.
Рассмотрим сферу с двумя дырами. Это - двумерное многообразие с краем, состоящим из
двух замкнутых кривых. Край ручки также представляет собой пару замкнутых кривых.
Поэтому края этих двух многообразий можно отождествить. Данная операция называется
приклеиванием ручки. В результате получится двумерное многообразие без края,
называемое сферой с одной ручкой. Сфера с ручкой гомеоморфна тору. (Тор - это
поверхность, полученная при вращении окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости
окружности и не пересекающей последнюю).
Снова возьмем сферу с двумя дырами, разобьем ее на клетки, и отождествим края дыр, то
есть, склеим края дыр между собой. В результате получится двумерное многообразие,
гомеоморфное сфере с одной ручкой. В то же время при данной операции число вершин,
сторон и клеток клеточного разбиения сохранится. Отсюда видим, что каждая приклеенная
ручка уменьшает эйлерову характеристику на две единицы.
 
Упражнения
1. Рассматривая буквы Н, Р, Ф русского алфавита, как подпространства евклидовой
плоскости, разбейте их на клетки и вычислите эйлерову характеристику каждой буквы.
2. Чему равна эйлерова характеристика сферы с двумя ручками? С одной ручкой и одной
дырой?
3. У икосаэдра 20 граней и 30 вершин. Сколько у него ребер?
4. Необходимым или достаточным условием гомеоморфности двух двумерных
многообразий является равенство их эйлеровых характеристик?
 
19.12.2022, 20:52
Стр. 1 из 1