6 Аналитикалық механика негіздері Жалпылама координаталар мен жалпылама жылдамдықтар

Механикадағы негізгі ұғымдардың бірі материалдық нүкте. Материалдық нүкте қозғалысын сипаттау кезінде матералдық нүкте ретінде қарастырылатын дененің өлшемі ескерілмейді. Материалдық нүкте кеңістіктегі орнынрадиус арқылы анықтайды. Бұл радиус векторының өзі декарттық координатта x,y,z координатасы анықтайды.

(1)

Радиус вектордан алынатын бірінші ретті матералдық нүкте жылдамдығы болып табылады.

N материалдық нүктеден тұратын жүйенің кеңістіктегі орнын анықтау үшін, N радиус векторы қажет. Сәйкесінше 3N координата көмегімен анықталады.

Жүйенің кеңістіктегі орнын анықтауға қажет болатын бір – бірінен тәуелсіз шамалардың саны еркіндік дәрежесі деп аталады. Біздің жағдайда ол 3N – ға тең. Бұл шамалар міндетті түрде декарттық координатта анықталуы шарт емес. Сондықтан есептің шартына сәйкес ыңғайлы басқа да координаталар қолданылуы мүмкін ( сфералық, циллиндрлік, полярлық т.б).

Жалпылама координаталар деп – еркіндік дәрежесі S болатын жүйенің орнын толық сипаттауға мүмкіндік беретін шамаларын айтамыз.

Жалпылама координатадан алынған бірінші ретті туынды жалпылама жылдамдықтар деп аталады.

Бір мезгілде координаталар мен жылдамдықтар берілген жағдайда жүйенің күйін толық сипаттауға болады және алдағы кез келген уақыт мезетіндей күйін де анықтауға болады. Координаталар мен жылдамдықты үдеу мен байланыстыратын қатынас қозғалыс теңдеуі деп аталады.

Қозғалыс теңдеуі q(t) екніші ретті диферециялды болып табылады. Бұл теңдеуді интергалдау арқылы шешіп, механикалық жүйенің қозғалыс траекториясын анықтау болады.