7-тақырып. Сандық қатарлар. Қосындысы және жинақтылығы. Қатардың қажеттілік шарты
жүктеу/скачать 84,81 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Қатар жинақтылығының қажетті белгісі.
|
7-тақырып. Сандық қатарлар. Қосындысы және жинақтылығы. Қатардың қажеттілік шарты қандай да бір сан тізбегі берілсе, онда (1) шексіз қосындыны сан қатары деп атайды, мұндағы сандары сан қатарларының мүшелері, ал саны жалпы мүшесі (немесе n-ші мүшесі) деп аталады. Жалпы мүшесі арқылы сан қатарын қысқаша деп жазуға болады. (1)-қатардың алғашқы мүшелерінің қосындыларын қарастырайық. қатардың дербес қосындылары деп аталады. Егер сан қатарының алғашқы мүшелерінің қосындылар тізбегінің шегі бар болса, яғни (2) саны бар болса, онда ол қатардың қосындысы деп аталады және қатар жинақты делінеді. Егер (2) шегі болмаса, онда берілген сан қатарын жинақсыз дейміз, ондай қатардың қосындысы жоқ. Мысалы, сан қатарының негізгі теоремаларын қарастырайық: а) егер қатары жинақты болса, онда алғашқы m мүшелерін алып тастағанда пайда болған (3) қатары да жинақты болады. Керісінше алғашқы m мүшелері алынып тасталынған қатар жинақты болса, онда берілген қатар да жинақты болады. (3)-қатарды берілген қатардың m-ші қалдығы деп атайды; ә) егер қатары жинақты және қосындысы S-ке тең болса, онда қатары да жинақты және қосындысы -ке тең болады; б) егер және қатарлары жинақты және қосындылары сәйкесінше және болса, онда қатары да жинақты және қосындысы -ға тең болады. Көп жағдайларда қатардың алғашқы n мүшелерінің қосындысы арқылы оның жинақты немесе жинақсыз болуын тексеру өте қиын немесе күрделі есептеуді қажет етеді. Сондықтан қатардың жинақты немесе жинақсыз болуын білу үшін жинақтылық белгілерін қарастырамыз. 1-мысал. қатарының жалпы мүшесі берілген. Алғашқы мүшелерін табу керек. Шешуі. 2-мысал. қатарының жалпы мүшесін табу керек. Шешуі. Алымында 1, 3, 5, ... сандарынан тұратын тізбек арифметикалық прогрессия құрайды, оның n-ші мүшесін формуласы бойынша табамыз. Мұнда сондықтан Бөліміндегі сандары геометриялық прогрессия құрайды, оның n-ші мүшесі -ге тең. Осыдан жалпы мүшесі 3-мысал. қатарының жалпы мүшесін табу керек. Шешуі. Осыдан болады. 4-мысал. Мүшелері геометриялық прогрессия болатын сан қатарының жинақтылығын зерттеу керек. Шешуі. Мектеп бағдарламасынан белгілі: Егер болса, онда қосынды Олай болса, қатар жинақты. Егер болса, онда берілген қатар жинақсыз, себебі: сондықтан Егер болса, онда қатардың алғашқы n мүшелерінің қосындысы Осыдан яғни қатар жинақсыз. Егер болса, онда қатарды түрінде жазуға болады. Егер тақ болса, онда оның алғашқы n мүшесінің қосындысы , ал егер жұп болса, онда болады. Бұл жағдайда қатардың қосындысы анықталмаған, яғни қатар жинақсыз. Сонымен, егер болса, онда қатар жинақты, ал егер болса, онда қатар жинақсыз болады. 5-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек. Шешуі. Берілген қатар шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелерінен құралған. Олай болса, қатар жинақты. Оның қосындысын табайық, мұнда Қатар жинақтылығының қажетті белгісі. қатары жинақты болсын. Онда болады, олай болса, теңдігі де орындалады, себебі Онда Осыдан мынадай тұжырымға келуге болады. Егер қатар жинақты болса, онда -да оның жалпы (n-ші) мүшесі нөлге ұмтылады, яғни (3) Бұл қатар жинақтылығының қажетті белгісі болып табылады. Ал егер болса, онда қатар жинақсыз болады. 6-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек. Шешуі. Қатардың жинақтылығының қажетті белгісі орындалмағандықтан, қатар жинақсыз болады. 7-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек. Шешуі. Қатардың жинақтылығының қажетті белгісі орындалады, бірақ қатар жинақсыз болады. Себебін кейінірек түсіндіреміз. Осыдан, қатардың жинақтылығының қажетті белгісі орындалғанымен оны жинақты деп айтуға болмайды, жеткілікті емес. Келесі тақырыпта қатардың жинақтылығының жеткілікті белгісін қарастырамыз. жүктеу/скачать 84,81 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|