Анықтамалар мен формулалар

жүктеу/скачать 59,82 Kb.

Дата	02.04.2023
өлшемі	59,82 Kb.
	#78564

Жазықтықтың теңдеуі

Анықтамалар мен формулалар	Мысалдар
Жазықтықтың жалпы теңдеуі 𝑃₀(𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀) нүктесі арқылы өтетін, 𝑛⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐) -векторына перпендикулияр болатын жазықтықтың жалпы теңдеуін қарастырайық. (1-суреттегідей) 1-сурет 𝑛⃗ ∙ ⁽𝑃 − P₀⁾= 0 немесе 𝑛⃗ ∙ 𝑃 = 𝑛⃗ ∙ P₀ ,Мұндағы ( P₀ = ⁽𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀⁾, P = ⁽x; y; z⁾, 𝑛⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐)). 𝛼⁽x − x₀⁾+ b⁽y − y₀⁾+ 𝑐⁽z − z₀⁾= 0 немесе 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (1) мұндағы(d тұрақты сан). (1) теңдеуді жазықтықтың жалпы теңдеуі деп атайды.	Мысал1 : M₀(1; 3; 5) нүктесі арқылы өтетін, 𝑛⃗ = (2; 1; −3)-векторына перпендикулияр болатын жазықтықтың теңдеуін жазыңыз. Шешуі: 𝑛⃗ = (2; 1; −3)-векторы ізделінді жазықтыққа нормаль вектор. M₀(1; 3; 5) нүктесі ізделінді жазықтық бойындағы нүкте. Сондықтан 𝛼⁽x − x₀⁾+ b⁽y − y₀⁾+ c⁽z − z₀⁾= 0 теңдеуіне қойсақ, 2⁽x − 1⁾+ 1⁽y − 3⁾− 3⁽z − 5⁾= 0 Осыдан ізделінді жазықтықтың теңдеуін аламыз. 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 10 = 0. Жауабы: 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 10 = 0.
Үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі Бір түзу бойында жатпайтын үш нүкте яғни P₁⁽𝑥₁; 𝑦₁; 𝑧₁⁾, P₂⁽𝑥₂; 𝑦₂; 𝑧₂⁾және P₃(𝑥₃; 𝑦₃; 𝑧₃) нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі: 𝑥 − x₁ 𝑦 − y₁ 𝑧 − z₁ ^\|^𝑥2 ^{− 𝑥}1 ^𝑦2 ⁻^𝑦1 ^𝑧2 ^{− 𝑧}1^\|⁼⁰⁽²⁾ 𝑥₃ − 𝑥₁ 𝑦₃ − 𝑦₁ 𝑧₃ − 𝑧₁ (2) теңдеуді үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі деп атайды.	Мысал2: A(-1;2;0), B(3;1;1) және C(1;0;3) нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың жалпы теңдеуін табыңыз. Шешуі: (2)- формула бойынша, 𝑥 + 1 𝑦 − 2 𝑧 − 0 ^\|3 + 1 1 − 2 1 − 0^\|⁼⁰^⟹ 1 + 1 0 − 2 3 − 0 𝑥 + 1 𝑦 − 2 𝑧 ^\|4 −1 1^\|⁼⁰^⇒ 2 −2 3 −𝑥 − 10𝑦 − 6𝑧 + 19 = 0 немесе 𝑥 + 10𝑦 + 6𝑧 − 19 = 0. Жауабы: 𝑥 + 10𝑦 + 6𝑧 − 19 = 0.
Жазықтықтың векторлық теңдеуі 𝑥₀ 𝑎₁ 𝑎₂ ^𝒓⁼⁽^𝑦0^{) + 𝝀}⁽^𝑏1 ^{) + 𝝁}⁽^𝑏2 ⁾⁽³⁾ ^𝑧0𝑐₁ 𝑐₂ 𝑎₁ 𝑎₂ ^Егер^𝑃⁼^(𝑥0;^𝑦0;^𝑧0)^,^𝑎⁼⁽^𝑏1⁾^,^𝑏^⃗⁼⁽^𝑏2 ⁾ 𝑐₁ 𝑐₂ болса, онда жазықтықтың векторлық теңдеуі:	Мысал3: A(-1;2;0), B(3;1;1) және C(1;0;3) нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың векторлық теңдеуін табыңыз. Шешуі: 𝐴^⃗⃗⃗^⃗𝐵^⃗= (4; −1; 1) және 𝐶^⃗⃗^⃗^⃗𝐵^⃗= (2; 1; −2) ^⃗𝐴^⃗⃗^⃗𝐵^⃗және 𝐶^⃗⃗^⃗^⃗𝐵^⃗векторлары параллель емес, бірақ жазықтыққа параллель. Сондықтан

𝑟 = 𝑃 + 𝜆 𝑎→ + 𝜇𝑏^⃗^→. Мұндағы 𝑃-жазықтықтағы нүкте, 𝑎→ , 𝑏^⃗^→-векторлары параллель емес,бірақ жазықтыққа параллель немесе жазықтықтағы векторлар.
(3) теңдеуді жазықтықтың векторлық теңдеуі деп атайды.

^𝑥1 4 2
^𝑟⁼⁽^𝑦⁾⁼⁽0^{) +}^𝜆⁽−1⁾^{+ 𝜇}⁽1 ^),
^𝑧3 1 −2
𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅.
Жауабы:
1 4 2
^𝑟⁼⁽0^{) +}^𝜆⁽−1⁾^{+ 𝜇}⁽1 ^),3 1 −2
𝜆, 𝜇 ∈ 𝑅.

Кеңістіктегі түзудің теңдеуі

Анықтамалар мен формулалар	Мысалдар
Түзудің векторлық теңдеуі 𝑣 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) векторына параллель 𝑃 = (𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀) нүктесі арқылы өтетін L түзуінің теңдеуін қарастырайық.(1-сурет). 1- сурет L түзуі барлық 𝑄 = (𝑥; 𝑦; 𝑦) нүктелерінен тұрады, олай болса ^⃗𝑃^⃗^⃗^⃗𝑄^⃗^→векторының координаты ^⃗𝑃^⃗^⃗^⃗𝑄^⃗^→= (x − x₀; y − y₀; z − z₀). 𝑃^⃗^⃗^⃗^⃗𝑄^⃗^→векторы 𝑣 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) векторына параллель болғандықтан, ⃗_𝑃⃗⃗⃗_𝑄⃗→ ₌_𝑡𝑣 Мұндағы 𝑡 параметр. Осыдан , ⁽x − x₀; y − y₀; z − z₀⁾= ^⃗𝑃^⃗^⃗^⃗𝑄^⃗^→= 𝑡𝑣 = (𝑡𝑎; 𝑡𝑏; 𝑡𝑐) ⁽𝑥; 𝑦; 𝑦⁾− ⁽𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀⁾= (𝑡𝑎; 𝑡𝑏; 𝑡𝑐), ⁽𝑥; 𝑦; 𝑦⁾= ⁽𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀⁾+ (𝑡𝑎; 𝑡𝑏; 𝑡𝑐) Мұндағы r = ⁽𝑥; 𝑦; 𝑦⁾, r₀ = ⁽𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀⁾және 𝑣 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) болса, онда түзудің векторлық теңдеуін төмендігідей жазамыз, 𝑟 = r₀ + 𝑡𝑣 немесе x ^x₀a ^r⁼⁽^y⁾⁼⁽^y0⁾⁺^t⁽^b⁾^{. (1)} z ^z₀c (1)-теңдеуді түзудің векторлық теңдеуі деп атайды.	Мысал1: A( 1;2;3) және B(4;4;6) нүктелері арқылы өтетін түзуінің векторлық теңдеуін жазыңыз. Шешуі: ^⃗A^⃗^⃗^⃗B^⃗^→= ⁽3; 2; 3⁾ ^⃗A^⃗^⃗^⃗B^⃗^→-векторы осы түзуге бағыттаушы вектор. A( 1;2;3)-нүктесі осы түзу бойындағы нүкте. Сондықтан түзудің векторлық теңдеуі 1 3 ^r⁼⁽2⁾⁺^t⁽2⁾^. 3 3 1 3 ^{Жауабы:}^r⁼⁽2⁾⁺^t⁽2⁾^. 3 3
Түзудің параметрлік теңдеуі Түзудің векторлық теңдеуі (1)-ден, яғни ⁽𝑥; 𝑦; 𝑦⁾= ⁽𝑥₀; 𝑦₀; 𝑧₀⁾+ (𝑡𝑎; 𝑡𝑏; 𝑡𝑐) дан ⁽𝑥; 𝑦; 𝑦⁾= ⁽𝑥₀ + 𝑡𝑎; 𝑦₀ + 𝑡𝑏; 𝑧₀ + 𝑡𝑐⁾векторлардың теңдігі шартын қолданып, түзудің параметрлік теңдеуін аламыз, ол төмендегідей, 𝑥 = 𝑥₀ + 𝑡𝑎, 𝑦 = 𝑦₀ + 𝑡𝑏, 𝑧 = 𝑧₀ + 𝑡𝑐 x = x₀ + ta немесе {^y⁼^y0^{+ tb}. (2) z = 𝑧₀ + tc (2)-теңдеуді түзудің параметрлік теңдеуі деп атайды.	Мысал2: P( 1;0;-3) нүктесі арқылы өтетін және v=2 i - 4 j + 5 k векторына параллель болатын түзуінің параметрлік теңдеуін жазыңыз. Шешуі: ^⃗V^→= ⁽2; −4; 5⁾ ^⃗V^→- векторы осы түзуге бағыттаушы вектор. P( 1;0;-3) нүктесі осы түзу бойындағы нүкте. Сондықтан түзудің векторлық теңдеуі 1 2 ^r⁼⁽0 ⁾⁺^t⁽−4⁾^. −3 5

Осыдан түзудің параметрлік теңдеуін аламыз.
𝑥 = 1 + 2𝑡, 𝑦 = −4𝑡, 𝑧 = −3 + 5𝑡.
Жауабы:
𝑥 = 1 + 2𝑡, 𝑦 = −4𝑡, 𝑧 = −3 + 5𝑡.

жүктеу/скачать 59,82 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: