Байтұрсынов оқулары халықаралық Ғылыми-практикалық конференция материалдары

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫНЫҢ   БОЛАШАҒЫ МЕН НЕГІЗГІ ДАМУ БАҒЫТТАРЫ 
ПЕРСПЕКТИВЫ
 
И
 
ОСНОВНЫЕ
 
НАПРАВЛЕНИЯ
 
РАЗВИТИЯ
 
ЕСТЕСТВЕННЫХ
 
НАУК 
 
298 
 
ӘОЖ 519.2(075.8) 
                          
 
САҚТАНДЫРУ САЛАСЫНДАҒЫ КЕЙБІР АКТУАРЛЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕР 
  
Токсанбаева  К.А.  –  студент,  А.Байтұрсынов  атындағы  Қостанай  мемлекеттік  универ-
ситеті 
Ысмагул  Р.С.  –  физика-математика  ғылымдарының  кандидаты,  доцент,  А.Байтұрсынов 
атындағы Қостанай мемлекеттік университеті 
 
Мақалада аннуитеттер  төлемінің  кейбір актуарлық есептеулері қарастырылған. Сақтан-
дырылу  аннуитеттері  өмірді  сақтандыру  операцияларында  өте  маңызды  рөл  атқарады. 
Аннуитеттер төлемінің түсу жиілігі, уақыты және шамасы  арқылы ерекшелінеді. 
Түйін сөздер: аннуитеттер, постнумерандо, пренумерандо, коммутациондық сандар 
 
Сақтандырылу аннуитеттері дегеніміз ақша төлеу сериясы, кезкелген тұлға тірі кезінде, үзіліссіз 
немесе  бірдей  аралықтар  уақыттарында  (ай,  квартал,  жыл)  жүргізілетін  амалдар.  Жоғарыда  көрсе-
тілген  аралықтарда  төленулер  басында  (пренумерандо  аннуитеттері)  немесе  төленулер  соңында  
(постнумерандо  аннуитеттері)  аталынады.  Аннуитеттер  зейнетақы  жүйесінде  де  маңызды  рөл  ат-
қарады. Өмірді сақтандырудағыдай i – эффективті жылдық пайыз мөлшерлемесі (немесе 

– интен-
сивті пайыз есептелуі) тұрақты [1].  
Жыл  сайынғы    төленілетін  аннуитеттер  екі  түрге  жіктеледі,    біріншісі    жыл    басында  (прену-
мерандо аннуитеттері), ал екіншісі  жыл соңында  (постнумерандо аннуитеттері) деп аталынады. 
n-жыл ішінде, уақыты  0,1,2,…,(n-1) – моменттерінде, аннуитет шамасы    1- ге тең. Ағымдағы 
аннуитет құндылығы
 
d
n
n
n
n
a



















1
1
1
...
1
1
2
        
               (1) 
Ал аннуитет  сақтандырылушыға өмір бойы төленілсе: 0,1,2,…, К(х). Онда ағымдағы құндылығы 
кездейсоқ шама болады және анықталады: 
                           
d
k
K
a

1
..
1
1





                                            (2) 
Осы аннуитет  таза-жарнасы математикалық күтім  шамасының ағымдағы құндылығы 
 E(
)
..
1
a
K 
=
a
A
x
x
d



1
                              
 
 
   (3) 
Жоғарыдағы (3)   формуладан  1=d 
a
x
A
x

                      (4) 
Аннуитет  таза –жарнасы  анықтамасынан  
p
q
p
a
a
a
k
k
E
x
k
k
k
x
x
k
K
K
x












0
0
1
1
)
(







 
Аннуитеттерге  маңызды рекуррентті формуланы келтірелік 
                                       
a
p
a
x
x
x




1
1




                            (5) 
 Ағымдағы  дисперсия құндылығы  
Var [
d
A
A
d
a
x
x
K
K
л
Var
d
Var
2
2
1
1
1
]
2
2
[
]
[
]
1
[
]












 
 
   (6) 
Ағымдағы аннуитет құндылығы 
                      
a
a
n
n
n











...
2
                               (7) 
Таза –жарнасы 
,
)
1
(
1
.
1
d
i
K
K
a






       
d
i
A
a
x
x
)
1
(
1




 
1
1
1











a
p
q
p
a
a
x
x
k
k
k
x
x
k
K
x
k
k



 
Сонымен  қатар: 1= i
A
a
x
x
i)
1
( 

  
Егер өмірлік аннутет –пренумерандо  m- реттік төленулері болса, онда ағымдағы құндылықтың 
кездейсоқ шамасы тең: 
                                       
d
a
m
K
m
K
s
s
m
m
)
(
)
(
1







                              (8) 

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫНЫҢ   БОЛАШАҒЫ МЕН НЕГІЗГІ ДАМУ БАҒЫТТАРЫ 
ПЕРСПЕКТИВЫ
 
И
 
ОСНОВНЫЕ
 
НАПРАВЛЕНИЯ
 
РАЗВИТИЯ
 
ЕСТЕСТВЕННЫХ
 
НАУК 
 
299 
 
мұнда кездейсоқ шамалар K=[T(x)] және 
}
1
,
/
)
1
(
,...,
/
1
{
/
)
1
)]
(
([
m
m
m
m
K
T
m
s
m





 
Таза-жарна 
d
A
a
a
m
m
x
K
m
x
s
E
m
)
(
)
(
)
(
1







 
 
 
 
                                (9)                          
Осыдан  1= 
A
d
a
m
x
m
m
x
)
(
)
(
)
(



   
   
                                                         (10) 
Сонымен  таза–жарна  m-  реттік  төленулер  сақтандыру  аннуитеттерін,  одан  кейін  коммута-
циондық  сандар арқылы өрнектеуге  болады: 
                                
),
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
m
d
m
m
d
m
D
M
D
A
a
x
x
x
x
m
x












                           (11) 
мұнда n – жыл, 
)
(m

  және 
)
(m

 – коэффициенттер,  D және M коммутациондық сандар неме-
се функциялар берілген                             
a
x
– тездетілген  өмірлік аннуитет үшін, 
a
t
x:
– тездетілген шек қойылған аннуитет үшін, 
a
x
n
–  кейінге қалдырылған өмірлік аннуитет үшін, 
a
t
x
n
:
– кейінге қалдырылған шек қойылған аннуитет үшін. 
 
Аннуитет түрлері 
постнумерандо 
пренумерандо 
өмірлік тездетілген 
D
N
a
x
x
x
1


 
D
N
a
x
x
x



 
өмірлік кейінге n – жылдарға 
қалдырылған 
D
N
a
x
n
x
x
n
1



 
D
N
a
x
n
x
x
n




 
Тездетілген, шек қойылған 
(төлеу t жылдар ішінде) 
D
N
N
a
x
t
x
x
t
ч
1
1
:





 
D
N
N
a
x
t
x
x
t
x





:
 
шек қойылған, кейінге n – 
жылдарға қалдырылған  ( 
төлеу t жылдар ішінде) 
D
N
N
a
x
t
n
x
n
x
t
x
n
1
1
:







 
D
N
N
a
x
t
n
x
n
x
t
x
n







:
 
 
Үзіліссіз өмірлік аннуитеттің  ағымдағы  құндылығы интегралмен өрнектеледі 
                                     
dt
T
k
T
a


0

,                                                                    (14) 
Егер  моменттегі  уақытта  төлем  деңгейі  b
t
- тең болса, онда ағымдағы  өмірлік аннуитет 
құндылығы  тең интегралға: 
.
0
dt
k
t
b



 
Таза- жарна  интегралмен  анықталады: 
                                     
p
a
a
a
t
E
x
T
T
x




0
)
(
dt
t
x


  
 


.
1
1
A
a
A
a
x
x
x
x







 
                 
dt
t
x
t
t
x
e
e
A









0
,   
 
 
         
 
 
],
2
[
1
1
)
1
(
)
(
2
2
2
A
A
a
x
x
T
T
T
Var
Var
Var










             
 
Әдебиеттер: 
1.  Фалин Г. И., Фалин А. И. Введение в актуарную математику. –М. : Изд-во МГУ, 1994. – 86 с.  
 
 
 
 

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫНЫҢ   БОЛАШАҒЫ МЕН НЕГІЗГІ ДАМУ БАҒЫТТАРЫ 
ПЕРСПЕКТИВЫ
 
И
 
ОСНОВНЫЕ
 
НАПРАВЛЕНИЯ
 
РАЗВИТИЯ
 
ЕСТЕСТВЕННЫХ
 
НАУК 
 
300 
 
ӘОЖ 519.2(075.8) 
 
АКТУАРЛЫ МАТЕМАТИКАДА ӨМІРДІ САҚТАНДЫРУ ЕСЕПТЕУЛЕРІ 
                               
 Ысмагул Р.С. – физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент 
Бимирзина А.- 5В060100 - Математика мамандығының 4 курс студенті  
 
       
Мақалада  өмір  сүру  ұзақтығының  актуарлық  есептеулері  қарастырылған.  Өмір  сүру  ұзақ-
тығының  болашақ  уақытын  жуықталған  (жыл  бойынша)  түрі  енгізілген.  Өмірді  сақтандыру  үрді-
сінің математикалық моделі ұсынылған. Ықтималдықтарды үлестірудің стационарлық режимінде 
олардың мәндері, кіріс ағынының қарқындылығы  мен қызмет көрсету уақытының үлестірім функ-
циясының  түрінен  тәуелсіз  қызмет  көрсету  уақытының  орташа  мәнімен  анықталатын  пуас-
сондық екендігі көрсетілген. 
   
Түйін сөздер: тірі қалу функциясы, шектік жас, дискретті шамалар математикалық үміт 
 
Әрбір адам үшін оның өмір сүру ұзақтығын үзіліссіз кездейсоқ шама деп есептейміз және де X 
түрінде белгілейміз. Адам табиғи және әлеуметтік жағдайларда өмір сүре алады, қандайда болмасын 
қызмет  түрімен  айналыса  алады,  белгілі  бір  аурларға  шалдығуға  бейімділігі  бар  –  осының  барлығы 
және  басқа  да  факторлар  оның  өмір  сүру  ұзақтығына  әсер  етеді.  Сонымен  қатар,  біз,  F(x)арқылы 
белгілеп,    Х  кездейсоқ  шамасының  үлестіру  функциясын  білеміз  деп  санайық.  Іс  жүзінде,  бұл,  өмір 
сүру  шарты  мен  қызмет  түрі  бойынша  халықтың  жеткілікті  түрде  үлкен  және  бірқалыпты  болып 
топтастырылуы, жұмыс барысында, сол топ  ішіндегі  өлім-жітім статистикасы да белгілі болады. Осы 
статистика  негізінде  F  функциясы  құрылады. 
x
  жастағы  тұлғаны  қарапайым  түрде  (x)  өмір  деп 
атаймыз. 
)
(
1
x
F

  айырмасын 
)
(x
s
деп  белгілейміз  және  де  тірі  қалу  функциясы  (survival  function) 
деп атаймыз.
 
 
X кездейсоқ шаманың толық сипаттамасы болып үлестірім функциясы табылады  
)
(
)
(
x
X
P
x
F


 
Әдетте  актуарлы  математикада  үлестірім  функциясының  орнына,  тұлғаның  х  жасқа  дейін 
жетуінің ықтималдығы болатын, тірі қалу функциясын қолданады  
)
(
1
)
(
)
(
x
F
x
X
P
x
s




,                                  (1) 
Үлестірім функциясына қосымша функция ретінде тірі қалу функциясы мынандай қасиеттерге 
ие:  
1)  s(х)  кемиді  (болғанда 
0

x
); 
2)  s(0)  =  1,  
0
)
(


s
; 
3)  s(х)  оң жағынан үзіліссіз.  
Әдетте  өмір  сүру  ұзақтығының  кестелерінде 

  шектік  жас  (limiting  age)  және  сәйкесінше 


x
 болғанда s(х) = 0 бар деп есептейді. Өлім аналитикалық заңдар арқылы сипатталған кезде, 
әдетте,  өмір  сүру  ұзақтығын  шексіз  деп  есептейді,  алайда,  заңдылықтың  түрі  мен  параметрлерін 
кейбір жастан жоғары өмір сүру ықтималдығын елеусіз аз етіп таңдайды. 
Тірі қалу функцияларының қасиеттерінен 
)
(
)
(
)
(
b
s
a
s
b
X
a
P




 
шығады.  
Тұлғаның (x, x+t) интервалында өлу ықтималдығы мынаған тең: 
,
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
 
(
x
t
p
x
s
t
x
s
x
s
t
x
s
x
s
x
X
t
x
X
x
P












                           (2) 
Бұндағы, 
x
t
p
  шамасы  X  жеке  тұлғаның  (x)  өмірі  x  жасқа  дейін  жету  шарты  бойынша 
t
x 
 
жасқа дейін тірі қалу ықтималдығы. 
x
t
p
1
 айырымын  
x
t
q
 арқылы белгілейміз, бұндағы 
x
t
q
 шамасы 
(x)  өмірдің  өлімі 
t
x 
  жасқа  дейін  болуының  ықтималдығына  тең.  Қарастыру  мақсатында  T(x)  – 
болашақ уақыттың (x)   кездейсоқ шамасын енгіземіз. Сонда  
x
t
q
t
x
T
P

 )
)
(
(
                                                           (3) 
Бұл дегеніміз, 
x
t
q
 шамасы T(x) кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы болып табылады. 
x  =  0  мағынасы  бойынша, 
x
t
p
  шамасы  s(t)  мағынасына  тең  болатыны  анық.  Сонымен  қатар,  t  =  1 
мағынасын  алғанда, 
x
t
p
,   
x
t
q
  шамаларын,  сәйкесінше, 
x
p
, 
x
q
  деп  белгілейміз.  (x)  өмірдің  (x+t, 
x+t+u) жастық интервал аралығында өлу ықтималдығы мынаған тең 
 

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫНЫҢ   БОЛАШАҒЫ МЕН НЕГІЗГІ ДАМУ БАҒЫТТАРЫ 
ПЕРСПЕКТИВЫ
 
И
 
ОСНОВНЫЕ
 
НАПРАВЛЕНИЯ
 
РАЗВИТИЯ
 
ЕСТЕСТВЕННЫХ
 
НАУК 
 
301 
 
t
x
u
x
t
x
u
t
q
p
t
x
s
u
t
x
s
t
x
s
x
s
t
x
s
x
s
u
t
x
s
x
s
t
x
s
q














 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.                            (4) 
u  =  1  мәнін  қабылдағанда, 
x
t
q
1
  шамасы  жай  ғана 
x
t
q
  ретінде  белгіленеді.  Қазірге  дейін,  біз, 
жеке тұлғаның өмір сүру  ұзақтығына байланысты   үзіліссіз кездейсоқ шамаларды  ғана  қарастырдық, 
бірақ  статистикалық  кестелер  дискретті  шамалармен  де  жұмыс  жасайды,  сондықтан,  өмір  сүру 
ұзақтығының болашақ уақытын жуықталған (жыл бойынша) түрін енгіземіз: 


),
(
)
(
x
K
x
T

 бұндағы  
,
)
1
)
(
(
)
)
(
(
1
k
x
x
k
x
k
x
k
x
k
q
p
q
p
p
k
x
T
k
P
k
x
K
P











                                   (5) 
Атап айтқанда мынау шығады 




n
k
x
n
x
k
q
q
0
1
           
Тірі қалу функциясы қарапайым статистикалық мағынаға ие.  Біз, 
0
l
 жаңа туған нәрестелерді 
бақылап  отырмыз  делік  (
100000
0

l
болады),  және  олардың  өлім  сәттерін  бекіте  аламыз: 
)
(
)
2
(
)
1
(
0
,...,
,
l
T
T
T
.  
Осы топтың x жастағы тірі өкілдерін L(x) арқылы белгілейміз.  
Онда: 




0
1
)
(
)
(
)
(
l
i
i
x
T
I
x
L
 
бұндағы,  I(A) – A: I(A) = 1 оқиғасының индикаторы, егер A оқиғасы іске асырылса және I(A) = 0 болса, 
кері жағдайда. 
Бұдан біз 
)
(x
EL
l
x

 үшін мынаны аламыз:  
).
(
)
(
)
(
))
(
(
)
(
0
1
1
)
(
1
)
(
0
0
0
x
s
l
x
s
x
T
P
x
T
I
E
x
EL
l
l
i
l
i
i
l
i
i
x













                                          (6) 
Бұндағы  E  символы    математикалық  үмітті  белгілеу  үшін  қолданылады.  Сонымен,  s(x) 
функциясы  жаңа  туған  нәрестелердің  бекітілген  тобының  ішінен  x  жасқа  дейін  тірі  қалғандардың 
орташа үлесіне тең. 
Актуарлы математикада  s(x) тірі қалу функциясымен емес, ал (
0
l
 тобының алғашқы өлшемін 
бекітіп алып) 
x
l
 енгізілген шамасымен жиі жұмыс жасайды.  
(6) формуладан мыналар шығады: 
1) 
x
l
  қисығы 
0
l
  тұрақты  көбейткішіне  дейінгі  дәлдікпен  s(x)  функциясы  сияқты  x  жасқа 
байланысты өзгереді; 
2)
0
)
(
l
l
x
s
x

  -  бұл  жаңа  туған  нәрестелер  тобынан  қарастырылып  отырған  x  жасқа  дейін  тірі 
қалғандардың ортышы үлесі.  

жүктеу/скачать 8,81 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: