Дипломдық ЖҰмыс 5В070400 Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету шымкент 2022 ф-19-01/02


Біртекті сызықты жүйелерді матрицалық әдіспен интегралдау



бет19/30
Дата29.04.2022
өлшемі2.42 Mb.
#32830
түріДиплом
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   30
1.4.Біртекті сызықты жүйелерді матрицалық әдіспен интегралдау

Матрица теориясынан кейбір мәліметтер



Біртекті сызықты жүйені қарастырайық

 () . (1)

Болжап көрейік,  () коэфициенттері (a,b) интервалында үзіліссіз. Онда (1) жүйе шешімдерінің фундаментальді жүйесі бар, оны келесі таблица түрінде жазуға болады:



. . . . . . . . (2)



немесе


 (),

мұндағы барлық функциялар анықталған және (a,b) аралығында үзіліссіз.

(2) кестеде функцияның әрқайсысы белгіленген орында тұр, олар екі индекспен анықталған. Бірінші индекс жолдың номерін (шешімнің номерін), ал екінші индекс баған номерін (ілделініп отырған функцияның номерін) білдіреді. Және де біз оның құрамына кіретін функциялардың орнын өзгертпей, (2) кестені жалпы біртұтас ретінде қарастыруымыз керек. Сондай кестені матрица деп атайды.

n-ретті квадрат матрица деп



түрде берілген кестені айтамыз.Шамасы



Aматрицасының элементтері деп аталатын, рет-ретімен қатаң нақты орналастырылған сандар немесе функциялардың мәні. Бұл рет екі индекспен көрсетіледі, бірінші индекс жолдың номерін, ал екіншісі- бағанның номерін білдіреді, қиылысуларында қарастырылып отқан матрицаның элементі тұр.



 матрицасынан біз барлық элементтері a-ға тең екенін түсінеміз. Сондай-ақ  – барлық элементтері нөлге тең матрица. Ол нөлдік матрица деп аталады.

A матрицасының біртұтас оң дәрежесі



 матрицасының біртұтас оң дәрежесі рекурентті байланыспен анықталады



 матрицасының 0 дәрежесі A реті сияқты жалғыз матрицаны айтады, анықтауы бойынша

Диагональ және квазидиогональ матрицалардың дәрежелері мына формулалармен есептелінеді:







 – ерекше емес матрица болсын, онда көбейтуді қанағаттандыратын жалғыз матрица болады

Бұл матрица  матрицасына кері матрица деп аталады және ол  деп жазылады, сондықтан





 матрицасының элементтерін  арқылы белгілейміз және көрсетеміз, олар  матрицасының  элементтерінің жалғыз түрімен көрсетіледі



Мұнда  тіркеп, n теңдеуінің  n белгісізбен бірге біртекті емес сызықты жүйені аламыз,  матрицасының  бағанының элементтері болып табылатын. Бұл жүйенің анықтауышы -ға тең бола, 0-ден өзгеше, өйткені  матрицасы өзгеше емес. Көрсетілген жүйенің жалғыз шешімі болады, оны белгілі Крамер ережесімен табуға болады. Мынаны аламыз



Мұндағы -  анықтауышында  элементінің алгебралық толықтауышы.

Байқайық,  матрицасы да теңдеудің шешімі болады



,

сондықтан





 кері матрицаны қолданып, біз өзгерісті мына түрде жаза аламыз

.

Бұл үшін (1) теңдікті ескере отырып,  теңдігінің екі жағында сол жағынан -ге көбейтеміз.



Белгілі,

.

Сенуге қиын емес, диагональды және квазидиагональды матрицалар үшін кері матрицалар мына формулаларда тұрады:





Егер  – ерекше емес матрицалар, онда *



яғни матрица,  матрицасының туындысына қарама-қарсы, кері тәртіпте алынған, кері матрицаның туындысына тең.

Ерекше емес матрицаның біртұтас теріс дәрежесі мына теңдікпен анықталады

Диагональды және квазидиагональды матрицалардың біртұтас теріс дәрежесі мына формулалармен есептелінеді:







Тағы матрицаларды транспонирлеулер операциясын қарастырайық. -дан алынған матрица ,жол мен бағанның орны ауыстырылған, матрицасына қатысты транспонирленген матрица деп аталады. Оны былай белгілей отырып , мынаны аламыз

Егер  симметриялы болса, онда .

Егер  кососимметриялы болса, онда .

Транспонирлену операциясы мына заңға бағынатыны айқын



Матрицаның сандық сипаттамалары. Матрицаның элементарлық бөлгіштері.



Матрица берілсін

.

элементтерінің мәні заттай сандар.



Матрица құрайық

.

Бұл матрица,  матрицасы үшін матрицаның сипаттамасы деп аталады. Матрица сипаттамасының анықтауышы





 матрицасының сипаттамалық анықтауышы немесе сипаттамалық полиномасы деп аталады, λ-ның n дәрежесінің полиномы болып табылатын. Мына теңдеу

 матрицасының сипаттамалық теңдеуі деп аталады, ал оның түптері  -  матрицасының сипаттамалық сандары деп аталады. матрицасының қарапайым бөлгіштері туралы түсінік берейік. -  еселігінің сипаттамалық саны болсын. Онда сипаттамалық анықтауыш , -не (қалдықсыз) бөлінеді.

 сандарын қарастырайық,

теңдіктерімен анықталатын.

Осы сандардың барлығы 1-ден кіші емес, ал олардың соммасы  –ға тең, яғнисипаттамалық санының еселігі.

Өрнек құрастырайық





Бұл өрнектер, әлбетте, сипаттамалық анықтауыштың бөлгіштері болып табылады. Олар  матрицасының қарапайым бөлгіштері деп аталады,  сипаттамалық санына тиісті. Ескертейік, барлық қарапайым бөлгіштердің сомма көрсеткіші, көрсетілген сипаттамалық санға сәйкес, оның еселіктері тең.  матрицасында қарапайым бөлгіш болуы мүмкін. Осындай қарапайым бөлгіш жай деп аталады.  түрінде берілген қарапайым бөлгіш жай емес деп аталады.

Егер  матрицасында бірнеше әртүрлі сипаттамалық сандары болса, онда, қарапайым бөлгіштерді салып беріп, олардың әрқайсысына сәйкес,  матрицасының барлық қарапайым бөлгіштерінің жиынтығын аламыз, оны мына түрде жазамыз





мұндағы  сандарының арасында теңдері де болуы мүмкін, ал  – бүтін сан, әрі олардың соммасы  матрицасының ретіне тең



1мысал. Матрицаны қарастырайық

Мұнда






Сондықтан матрица бір үш есе сипаттамалық санға ие  Ортақ ең көп екінші ретті анықтауыштардың бөлгіші λ матрицасының бір элементі, яғни нақты , λ-ге бөлінбейді. Сондықтан

Және  матрицасының қарапайым бөлгіштері



болады.


Мұнда  матрицасында бір жай емес және бір жай қарапайым бөлгіші бар.

2мысал. Матрицаның қарапайым бөлгіштерін табу

Бізге берілгені



Барлық сипаттамалық сандары жай болғандықтан, онда  матрицасының қарапайым бөлгіштері



болады.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   30




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет