Ф и з и к а ақпаратты тарату жылдамдығы және информациялық энтропия

14  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

где  К(t)  определяется  ниже,  обеспечивает  стабилизацию  движения  системы  (1.2)  на 

конечном отрезке времени при любой функции  



(



) из (1.3).  

Доказательство теоремы:  

действительно, поскольку CD = 0,  CB = 0,  

U(t,x)=-B

*

K(t)x+v(t,x),  v(t,x)=

Kx

D

R

R

x

H

*

2

2

1

2

*

2

~

~













, 

.

~

~

KD

H



                   (1.6)   

Поскольку фундаментальная матрица решения  

 

Ф(t) =

,

0

)

1

(

1

1



















at

at

a

e

e

 то K(t) = W

-1

(t,T) =













)

(

)

(

)

(

)

(

22

12

12

11

t

K

t

K

t

K

t

K

,                 (1.7)  

 

где 

1

11

)

(







t

K

,  





2

1

2

1

)

(

1













t

T

a

,   

),

(

1

),

(

2

1

2

2

t

T

t

T

e

e

a

e

e

a





















 

 

a

e

t

K

t

1

1

12

)

(













,    























t

t

e

e

t

T

a

t

K

1

2

2

1

22

2

)

(

1

)

(

.  

 

Тогда стабилизирующее управление (1.5) примет вид:    

)

)

(

)

(

(

2

)

)

(

)

(

(

2

3

)

,

(

2

22

1

12

2

1

2

1

2

22

1

12

x

t

K

x

t

K

x

R

x

t

K

x

t

K

x

t

U











,                      (1.8) 





T

t

,

0



, так как  u

0

(t,x) = B

*

K(t)x  =  - K

12

(t) - K

22

(t)x

2

.  

Для  численного  интегрирования  системы  (1.2)  с  учетом  управления  (1.8) 

необходимо задавать 

)

0

(

,

)

0

(

2

0

1

x

x

.  Тогда мы имеем  





)

(

)

(

2

1

T

x

T

x

 0. 

2. Рассмотрим плоский двухзвенный манипулятор, состоящий из двух абсолютно 

твердых тел Q

1

 и Q

2

 c массами m

1

 и m

2

, которые скреплены друг с другом с помощью

 

  

шарнира  О

2

  и  с  неподвижным  основанием  с  помощью

 

    шарнира  О

1

.  Оси  шарниров 

параллельны.  Манипулятор  может  двигаться  в  плоскости,  перпендикулярной  осям 

шарниров.    Управление  манипулятором  происходит  благодаря  моментам  u

1 

и  u

2 

, 

приложенным  к  осям  шарниров  О

1 

и  О

2

.    Предположим,  что  звено  манипулятора  Q

2 

статически уравновешено, т.е. его центр масс расположен на оси  О

2

. Тогда уравнения 

движения  манипулятора  имеют  вид  /2/:   





1

2

2

1

)

(







L

m

I

u

1

-u

2

,     

,

2

2

2

u

I









                                   

(2.1)    

где 

1



-  угол  между  звеном  Q

1 

и  осью  O

1

X  неподвижной  системы  координат  O

1

XY;

 

2



- угол между  Q

2  

и  O

1

X;  L – расстояние между осями шарниров O

1

 и O

2

; I

1

 и I

2

 – 

моменты  инерции  звеньев  Q

1 

и

 

Q

2

  относительно  осей  O

1

  и  O

2

.  Введя  переменные  x

1 

=

1

2

1

2

2

1

)

(



L

m

I



, x

2

=

1

2

1

2

2

1

)

(





L

m

I



, x

3  

=

2

2

1

2



I

,  x

4  

=

2

2

1

2





I

,  запишем систему (2.4) 

в виде  

 

.

,

,

,

2

4

2

1

2

4

3

2

1

u

x

u

u

x

x

x

x

x



















                                                   (2.2) 

 

Или    

0

)

0

(

,

x

x

Bx

Ax

x









,                                                      (2.3),  

 

15  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

где   

.

,

1

0

0

0

1

1

0

0

,

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

4

3

2

1

















































































x

x

x

x

x

B

A

  

Матрица управляемости  U  системы (2.3) имеет размерность 4 х 8:  

,

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

)

,

,

,

(

3

2

































B

A

B

A

AB

B

U

  

rank U = 4, следовательно, система (2.3) управляема.  

 

Фундаментальная матрица однородной системы:  

 

 

,

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

)

(





























t

t

t

det Ф(t)=1, 

,

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

)

(

1



































t

t

t

 

 

Q(t)=Ф

-1

(t)B=

,

1

0

0

1

1































t

t

t

      Q(



)Q

*

(



)=

,

1

1

1

2

2

-

2

2

2

2

2

2



































































   

 

R(t,T) =

)

(

1

2

1

2

2

)

(

3

1

2

)

(

3

1

1

2

2

)

(

2

1

)

(

)

(

)

(

3

2

2

2

2

3

1

2

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

t

T

















































































. 

 

Положим W(t,T)=Q(t)R(t,T)Q

*

(t)=

),

(

)

(

2

*

0

0

1

t

T

W

W

W

W















 

 

,

22

12

12

11

1















W

W

W

W

W

    

,

24

23

14

13

0















W

W

W

W

W

     

,

44

33

34

33

0















W

W

W

W

W

  

 

.

1

,

)

(

)

(

3

1

,

2

,

1

,

2

1

,

)

(

3

1

2

2

,

2

,

2

),

(

2

,

2

)

(

2

)

(

3

2

44

2

2

33

34

24

14

2

2

13

23

22

12

2

11































































W

t

t

T

t

t

T

W

t

T

t

W

W

t

W

t

T

t

t

t

T

W

t

t

T

W

W

t

T

t

W

t

t

T

t

t

T

W

 

Тогда по формуле Фробениуса /3/ для обратной матрицы W

-1

(t, T) имеем  

16  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

 

K(t)=W

-1

(t,T)=

,

)

(

1

2

*

0

0

1















K

K

K

K

t

T

                                                              (2.4),   

где  

,

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

*

0

1

0

1

1

1

1

1













W

W

H

W

W

W

K

 

,

,

)

(

1

2

1

0

1

1

0













H

K

H

W

W

K

,

0

det

,

0

det

,

)

(

)

(

1

0

1

1

*

0

2











W

H

W

W

W

W

H

 

или  

,

1

1





M

K

   

,

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

(

1

2

0

1

*

0

1

2

1

2

2

1

2

0

1

0





















W

W

M

W

W

W

K

W

W

M

K

 

.

0

det

,

)

(

)

(

,

0

det

*

0

1

2

0

1

2











M

W

W

W

W

M

W

 

 

Таким образом, стабилизирующее управление на конечном отрезке времени имеет 

вид:  u(t,x) = -B

*

K(t)x = 













)

,

(

)

,

(

2

1

x

t

u

x

t

u

,    

 

u

1

(t,x) = (K

12

(t) - K

14

(t))x

1

+(K

22

(t)–K

24

(t))x

2

+(K

23

(t)–K

34

(t))x

3

+(K

24

(t)–K

44

(t))x

4

,        

 

u

2

(t,x) = - K

12

(t)x

1 

- K

22

(t)x

2 

- K

23

(t)x

3 

- K

24

(t)x

4

  

 

При этом управлении имеет место  x

i

(T) = 0,   i = 1, 2, 3, 4.  

 

  ЛИТЕРАТУРА 

1.

 

Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть 1. –М.: Наука, 1972, 

-468 с.; 

2.

 

Левитский Н.И. Теория механизмов и машин. -М.: Наука, 1990, -592 с.; 

3.

 

Джолдасбеков  У.А.,  Бияров  Т.Н.  Устойчивость  и  стабилизация  движения 

механизмов и машин. Препринт №3 ИА РК, Алматы, 1993. -82 с. 

 

РЕЗЮМЕ 

В  данной  статье  рассматриваются  задачи  стабилизации  движения  на  конечном 

отрезке  времени  двух  видов  манипуляторов  -  однозвенного  и  двухзвенного  под 

воздействием управляющих моментов. 

 

ТҮЙІНДЕМЕ 

Мақалада  уақыттың  соңғы  бӛлігіндегі  манипуляторлардың  екі  түрінің  -  бір 

звенолы  манипулятор  мен  екі  звенолы  манипулятор  басқарушы  кезеңінің 

қозғалысының тұрақтылығының міндетіне ықпал етуі қарастырылады. 

 

 

17  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 

 

Дюзбенбетов Б.Д.-к.т.н., доцент, Слямова М.С. – магистр математики, старший 

преподаватель (г.Алматы, КазгосженПУ) 

 

Найдем  вероятностные  характеристики 

 

t

m

y

, 

 

t

t

K

y



,

  случайной  фукнции 

 

 





d

X

t

Y

t





0

, если известны  

 

t

m

x

, 

 

t

t

K

x



,

. 

Математическое ожидание случайной функции 

 

t

Y

 

                                  

 

 

 

 

 





 













d

m

d

X

M

d

X

M

t

m

t

Y

M

t

x

t

t

y















0

0

0

       (1) 

При  выводе  соотношения  (1)  допускается  возможность  перестановки  операций 

интегрирования  и  математического  ожидания,  которое  позволяет  от  операции 

математического  ожидания  интеграла  перейти  к  интегралу  от  математического 

ожидания  подынтегральной  функции.  Перестановка  операции  математического 

ожидания  с  другими  линейными  математическими  операциями  используется  и  в 

последующих преобразованиях. 

Корреляционная функция 

         

 

 

 





 

 









 

 





 

 













































t

x

x

y

y

y

ε

d

ε

m

ε

X

ε

d

ε

m

ε

X

M

t

m

t

Y

t

m

t

Y

M

t

t

K

0

1

1

1

,

                                                       (2) 

Произведение двух интегралов под знаком математического ожидания в формуле 

(2) равно двойному интегралу 

 

 



  

 





1

1

1

0 0













d

d

m

X

m

X

x

t t

x









, 

поэтому 

                         

 

 

 



  

 





 

 



  

 













.

,

,

1

0 0

1

1

0 0

1

1

0 0

1

1

1

































d

d

K

d

d

m

X

m

X

M

d

d

m

X

m

X

M

t

t

K

t t

x

t t

x

x

t t

x

x

y











































 (3) 

Найдем вероятностные характеристики случайной функции 

   

   

,

,

1

0







d

X

t

k

c

t

a

t

Y

t







 

где 

 



a

, 

 



,

t

k

- неслучайные функции;  c - случайная величина с известными 

c

m

 и 

c

D ; 

 



1

X

 - случайная функция с известными 

1

x

m  и  

1

x

K . 

Математическое ожидание 

 

t

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

d

m

τ

t

k

m

t

a

τ

d

X

M

τ

t

k

c

M

t

a

τ

d

X

τ

t

k

c

t

a

M

t

m

x

t

t

c

t

y

1

0

0

1

0

1

,

,

,































    (4) 

          

 

 

 

 

18  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

 

Корреляционная функция, если  с  и 

1

X  независимы, 

 

              

 

 

   

 



  

   

 

  

  

τ

d

τ

d

τ

t

K

τ

t

k

τ

t

k

c

M

t

a

t

a

τ

d

τ

X

τ

t

k

c

t

a

τ

d

τ

X

τ

t

k

c

t

a

M

t

t

K

x

t t

t

t

y









 































































,

,

,

,

,

,

1

0 0

2

0

1

1

1

1

0

1

          (5) 

        Рассмотрим производную от случайной функции 

 

 

t

X

dt

d

t

Y



. 

        Математическое ожидание 

 

t

Y

 

 

 

 

 

 





 

dt

t

dm

t

X

M

dt

d

dt

t

dX

M

t

m

t

Y

M

x

y

















. 

        Получим  соотношение,  связывающие  корреляционные  функции 

 

t

t

K

y



,

  и 

 

t

t

K

x



,

: 

                                 

 

 

 





 

 









































t

d

X

d

dt

X

d

M

t

m

t

Y

t

m

t

Y

M

t

t

K

y

y

y

0

0

,

         (6) 

Произведение  производных  под  знаком  математического  ожидания  можно 

представить в виде 

                                                    

 

 

   

t

t

t

X

t

X

t

X

t

d

d

t

X

dt

d

























0

0

2

0

0

                            (7) 

         Из соотношения (6) с учетом (7) получаем 

                

 

 

 

   

 

t

t

t

t

K

t

X

t

X

M

t

t

t

t

t

X

t

X

M

t

t

K

x

y































































































,

,

2

0

0

2

0

0

2

          (8) 

Если случайные функции 

 

t

X

  и 

 

t

Y

  связаны  соотношением   

 

 

2

2

dt

t

X

d

t

Y



,  то 

корреляционная функция 

                                                                

 

 

2

2

4

,

,

t

t

t

t

K

t

t

K

x

y















                                      (9)  

 

 

ЛИТЕРАТУРА 

1.

 

Е.С.Вентцель,  Л.А.Овчаров    Теория  случайных  процессов  и  ее  инженерные 

приложения. –М.: Наука, 1991.-384 с. 

2.

 

В.Е.Гмурман  Теория  вероятностей  и  математическая  статистика.  –М.:  «Высшая 

школа»,1972.-368 с. 

 

РЕЗЮМЕ 

На  практике  очень  важно  знания  неслучайных  вероятностных  характеристик 

случайной  функции.  В  связи  с  этим  в  данной  работе  рассматривается  нахождение 

математического ожидания и корреляционной функции случайной функция  

 

t

Y

, при 

известных математического ожидании и корреляционной функции 

 

t

m

x

, 

 

t

t

K

x



,

.  

 

19  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(6) 2011 

 

ТҮЙІНДЕМЕ 

Практикада 

кездейсоқ 

функцияның 

кездейсоқ 

емес 

ықтималдықты 

сипаттамаларын  білу  ӛте  маңызды.  Сондықтан  осы  мақалада 

 

t

m

x

  математикалық 

күтім  мен 

 

t

t

K

x



,

  корреляциялық  функция  белгілі  болғандағы 

 

t

Y

  кездейсоқ 

функциясының  математикалық  күтімі  мен  корреляциялық  функциясын  табу 

қарастырылады.  

 

 

 

 

жүктеу/скачать 2,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: