Физика математика факультеті


Тақырыбы: Бүтін сандардың бөлінгіштігі



жүктеу 0.96 Mb.
Pdf просмотр
бет3/9
Дата24.03.2017
өлшемі0.96 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Тақырыбы: Бүтін сандардың бөлінгіштігі. 

Дәріс  мазмұны.  Евклид  алгоритмі.  Рационал  сандарды  q-ші  бөлшек  түрінде 

көрсету. 

Евклид алгоритмі (бүтін сандар үшін). 

        Евклид  алгоритмі  де  жалпы  алгоритмі  ұғымы  тәрізді  шекті  және  үздіксіз 

процесс.Евклид  алгоритмі  шекті  болатын  себебі  әрбір  шығатын  қалдық  оң  және 

алдыңғысынан  кіші.Ал  оң  бүтін  сан  шексіз  азая  алмайды.Әйтеуір  бір             

n

 

қадамнан кейін қалдық нолге тең болады. 



    Теорема:  Берілген екі бүтін сан үшін  құрылған  Евклид алгоритмдегі ең соңғы 

нөлден өзге қалдық сол екі санның ЕҮОБ болады. 

    Дәлелдеуі:  1)  Берілген 

a

,

b

  сандары  үшін  жоғарыда  құрылған  Евклид 

алгоритмінің  ең  соңғы  теңдігінен 



n

n

r

r

1



,  ал 


n

n

r

r

  болғандықтан  бөлінгіштік 



қатынасының  қасиеттері  бойынша  алгоритмдегі  соңынан  2-ші  теңдіктен 

n

n

r

r

2



 

аламыз.  Осылайша  Евклид  алгоритмінің  соңғы  теңдігінен  жоғары  көтеріле 



отырып   

1

2



3

,

,



r

r

r

  қалдықтарының     



n

r

-ға    бөлінетінің  аламыз.Онда  бөлінгіштіктің 

қаситтерін  пайдаланып  алгоритмнің  жоғарыдағы  екі  теңдігінен 

n

n

r

b

r

a



&

 

болатыны шығады. 



     Бұдан  

n

r

-ОБ 


a

,

b

     2)  Айталық 



d

-ОБ


a

,

b

  яғни   



d



b

d

a

 &



  алгоритмнің  1-  ші  теңдігінен 

d

1

 



т.с.с.  алгоритмдегі  теңдіктер  бойынша  төмен  жылжи  отырып,   

n

n

r

r

r



,

,

1



3

  



қалдықтарының да 

d

- ға бөлінетіндігін аламыз.Бұл     



n

r

 - ЕҮОБ 


a



b

     Теорема дәлелденді: 



Мысал 1.      

     


6



42

,

36



 

      



      2.



?

119


,

529


 


.



1

119


,

529


 

Рационал сандарды q-ші бөлшек түрінде көрсету. 



     1)Ондық бөлшекті жай бөлшекке түрлендіру. 

Кез-келген ондық бөлшекті 

             a=A, 

n

n

b

b

b

b

b

1

3



2

1

...



A+ 



n

n

n

n

b

b

b

b

b

10

10



...

10

10



10

1

1



3

3

2



2

1







 

деп  жазуға  болады.  Бөлшекті  ортақ  бөлімге  келтірсек  және  бөлшекті  қосуды 

орындасақ мынау шығады: 

n

n

b

n

n

n

n

b

b

b

b

b

A

10

10



*

...


10

*

10



*

10

*



10

*

1



3

3

2



2

1

1









 

     Мысал. 



100000

806324


100000

4

10000



2

1000


3

100


6

8

06324



,

8





 



     Шыққан жай бөлшектің алымы 

n

n

b

b

b

b

Ab

1

3



2

1

...



 бүтін сан болып табылады да, ал 

оның  бөлімі,  берілген  ондық  бөлшектің  соңғы  ондық  таңбасы  қай  үлесті 

көрсетсе, бірліктің сол үлесін көрсетеді. 

Ендеше, берілген ондық бөлшекті жай бөлшек түрінде жазу үшін үтірді алып 

тастап,  шыққан  санды  жай  бөлшектің  алымы  етіп  алып,  ал  оның  бқліміне  10 

санының, берілген ондық бөлшектің соңғы ондық таңбасы қай үлесті  өрнектесе, 

бірліктің сондай үлесін өрнектейтін дәрежесі алынады. 

Мысал.

10000


235

10

235



0235

,

0



4



  

2)Периодты бөлшектер. 

Берілген қысқартылмайтын 

b

a

 бөлшегінің бөлімінде жай көбейткіштер 2 мен 5 

мүлдем  болмаса  немесе  бұл  жай  көбейткіштермен  қатар  басқа  да  жай 

көбейткіштер болған жағдайда  



n

10

*

  көбейтіндіні b-ге алымды бөлімге бөлуді 



шексіз  орындай  беруге  болады,  өйткені  егер  бөлу  аяқталатын  болса,  онда 

b

a

  

бөлшегі дәл  ондық бөлшекке айналған  болар еді, ал бұл қарастырылып отырған 



жағдайда бұлай болуы мүмкін емес. Олай болса, бөлуде b бөлгіштен кем болатын 

қандай да болса бір қалдық шығып отырады. Сонымен бұл қалдық 1,2,3,4,...,(b-



1) натурал сандардың қатары болу керек. Бұдан  кемінде b-қалдықта (мүмкін 

бұдан  да  бұрынғы  қалдықта)  натурал  қатардың  жоғарыда  көрсетілген 

сандарының  біреуі  шығуы  керек  деп  айтуымызға  болады.  Қалдықтың  біреуі 

қайталанатын  болса,  онда  бөліндінің  бұған  сәйкес  цифры  да  қайталанатын  болу 

керек.  Осыдан  кейін  қалдық  та,  бөліндінің  цифрлары  да  бұрынғы  ретімен 

қайталай бастайтындығы өзінен-өзі түсінікті. 



Бір  цифры  немесе  бірнеше  цифрларының  тобы  өзгермей  біркелкі  қайталап 

отыратын шектеусіз ондық бөлшек периодты бөлшек деп аталады. 

Бір  қалыпты  қайталап  отыратын  цифрлардың  тобы  осы  бөлшектің  периоды 

деп аталады. 

Периодты бөлшектер таза және аралас периодты болып екіге бөлінеді. 

Таза  периодты  бөлшек  деп  периоды  үтірден  кейін  тікелей  басталатын, 

периодты бөлшекті айтады. 



Аралас периодты бөлшек деп периоды үтірден кейін басталмайтын, үтір мен 

периодтың арасында одан соң қайталанбайтын бір  не бірнеше цифрлар болатын 

периодты бөлшекті айтады. 

1-мысал.  3,267  267  267…  таза  периодты  бөлшек;  5,73267  267…  аралас 

периодты бөлшек.  Периодты бөлшекті  жазғанда, әдетте периодты жақшалардың 

ішінде алып, тек бір рет қана жазады. 

2-мысал. 3,267 267 267…=3,(267); 

                5,73 267 267 267…=5,73(267) 

№5 дәріс. 

Тақырыбы:Алгебралық өрнектер. 

 Дәріс мазмұны.  

Алгебралық өрнектер. 

1.Алгебралық өрнектер. 

  Алгебралық  өрнек    деп  алгебралық  амалдардың  (қосу,  азайту,  көбейту,  бөлу, 

дәрежеге  шығару  және  түбір  табу)  көмегімен  сандардан  (әріп  немесе  цифрмен 

белгіленген) құралған өрнекті айтады. 

№6 дәріс 

Көпмүшелермен амалдар орындау.Безу теоремасы. 

  Теорема. 

 

0

1



1

1

a



x

a

x

a

x

a

x

М

n

n

n

n

n







  көпмүшесін,  мұндағы 

n

-бүтін  оң  сан, 



а



х 

-ға 


бөлгендегі қалдық көпмүшенің 

а

х 

 болғандағы мәніне тең. 

Дәлелдеу:  Айталық, 

 


x

М

n

-ты 




а



х 

-ға бөлгендегі бөлінді де 

 

x

Q

 алынды делік, 

қалдықта 

R

,  және 


R

-сан,  онда 

  

  


R

x

Q

a

x

x

M

n



.  Алынған  теңбе-теңдік, 

сондықтан 

х

-тың  орнында  кез  келген  сан  болуы  мүмкін 



а

-қойып,  мынаны 

аламыз: 

  


  

R

x

Q

a

а

x

M

n



, бұдан 


 

a

M

R

n

 



Көпмүшенің түбірлері туралы теоремалар. 

Терорема1. 

    Әрбір 

 

a

x

a

x

a

x

a

x

М

n

n

n

n

n





1



1

1



  көпмүшесінің  ең  болмағанда  бір  нақты 

немесе комплекс түбірі бар болады(алгебраның негізгі теоремасы). 

   Бұл теорема жоғарғы алгебра курсында дәлелденеді. 

   Бұнда да одан әрі 



n

-ді оң бүтін сан деп есептейтін боламыз. 



Теорема 2. 

Әрбір 

 

x

М

n

  көпмүшесі 



n

  нақты  және  комплекс  сызықтық  көбейткіштерге 

жіктеледі. 


Дәлелдеуі: Алгебраның негізгі теоремасы бойынша көпмүшесінің ең болмағанда 

бір түбірі бар болады, оны 

1

х

 арқылы белгілейміз, онда Безу теоремасы бойынша 

 

x

М

n

 

1



х

х 

-ге қалдықсыз бөлінеді, яғни 

  



 



x

М

x

x

x

M

n

n

1

1





 

 


x

М

1

-ң ең болмағанда бір - 



2

х

 түбірі бар, 

  



 



  

 



x

M

x

x

x

M

x

М

x

x

x

M

n

n

n

n

3

3



2

2

2



1







 және т.с.с. 

Нәтижесінде аламыз: 

  







 



n



n

n

a

x

x

x

x

x

x

x

x

x

M





3

2



1

 

№7,8 дәріс 



Тақырыбы:Бір айнымалылы көпмүшелер. 

1.Алгебралық бөлшектер. 

2.Иррационал өрнектер. 

3.Иррационал өрнектерді теңбе-тең түрлендіру. 

№9,10 дәріс 

Тақырыбы: Элементарлы функциялар. 

         Элементарлық  математикада  көбінесе  сандарға  (константа)  қолданылған 

рационал амалдардың (қосу, азайту, көбейту және бөлу) көмегімен аналитикалық 

берілген  функциялар  және  негізгі  элементарлық  функциялар  деп  аталатын 

төменде  келтірілген  функциялар,  сонымен  қатар  күрделі  функцияларды 

түрлендіру көмегімен алынған функциялар қарастырылады.  

Негізгі элементар функциялар деп келесі функцияларды атайды: 

1) Дәрежелік функция 

k

x



k

кез - келген нақты сан; 

2) Көрсеткіш функция  

x

a



a

бірден өзге кез - келген оң сан: 

1

,

0





a

3) Логарифмдік функция 



,

log x



y

a

 





a

бірден өзге кез - келген оң сан: 

1

,

0





a

4) Тригонометриялық функциялар 



ctgx

y

tgx

y

x

y

x

y



,



,

cos


,

sin


5) Кері тригонометриялық функциялар 



arcctgx

y

arctgx

y

x

y

x

y



,



,

arccos


,

arcsin


Жоғарыда 

аталған 

операцияларды 

қолданып, 

негізгі 


элементарлық 

функциялардан  (әсіресе  күрделі  функцияны  түрлендіру  операциясы  маңызды) 

алынатын функцияларды элементар функциялар деп атайтын боламыз. Мысалы, 

элементар функциялар болып  

,

sin


2

x

x

y



  



,

log


5

lg

7



3

x

x

y



      

&

8



1

2









x

ctg

x

arctg

y

т.с.с. 


Элементар функциялардың кейбір аса маңызды түрлерін көрсетейік. 

Аргументке  тек  қана  үш  бүтін  рационал  амалдар  қолдану  арқылы  түзілген 

функцияны  бүтін  рационал  функция  деп  атайды.  Оларды  көпмүшелер  немесе 

x

айнымалысынан  алынған  полиномдар  деп  атайды.  Кез-келген  бүтін  рационал 

функция 


 

n

n

n

n

a

x

a

x

a

x

P

y





1



1

0

  (1) түрінде жазылады. 



         Егер 

0

0





a

,болса,  онда  ол  бүтін  рационал  функция  немесе 



n

ші  дәрежелі 

полином  деп  аталады.  Сызықтық    бүтін  рационал  функция 

b

ax

y



  (2)-ні  тек 

сызықтық функция деп, квадраттық бүтін рационал функция  



c

bx

ax

y



2

 (3)-ті 



квадраттық үшмүше деп атайды. 

         Бүтін  -  рационал  функция  деп  өзінің  түзілуі  үшін  рационал  амалдарды 

(бөлуді  қоса  алғанда)  орындауды  қажет  ететін  функцияны  айтады.  Мысалы, 

,

6

1



2





x

x

y

    


1

1

2



2





x

x

x

x

y

, функциялары. 

       Жалпы,  бөлшек  -    рационал  функция  екі  бүтін  рационал  функцияны 

бөлгендегі бөлінді түрінде қарастырылады: 

 

 


m

m

m

n

n

n

m

n

b

x

b

x

b

a

x

a

x

a

x

Q

x

P

y









1

1



0

1

1



0

  (4) 


       Қарапайым  жағдайда,  алымы  мен  бөлімі  –сызықтық  болғанда,  функция 

d

cx

b

ax

y



 түрінде болады да және бөлшек-сызықтық функция деп аталады. 

       Егер  функцияның  түзілуі  үшін  рационал  амалдардан  басқа  бүтін  дәрежелі 

түбір  алу  (яғни  рационал  дәрежеге  шығару)  қолданылса,  онда  бұндай 

функцияларды алгебралық иррационал функциялар деп атаймыз.  

Алгебралық иррационал функцияларға мысал: 

1





x

x

y

;   


3

1

2



x

x

y





x



y

 1



.  Осыған  дейінгі  аталған  элементар  функциялардың  баралығы 

алгебралық функциялар деп аталады. 

         Көрсеткіштік  функция,  логарифмдік  функция,  ирроционал  көрсеткішті 

дәрежедегі  дәрежелік  функциялар  трансцендентті  функциялар  деп  аталады; 

сонымен  қатар  тригонометриялық  функцияларды  да  трансцендентті  деп 

есептейді. 

      «Трансцендентті»  терминнің  өзі  «асып  түсу,  артықшылық»  мағынасын 

білдіреді.  («превосходящий»)  (алгебралық  әдістер  күшінен  артықшылық 

мағынасында). 

        Біз  кейбір  алгебралық  және  трансцендентті  функцияларды  қарастырамыз; 

тригонометриялық функцияларды арнайы келесі семестрде қарастырамыз. 

        Сызықтық  функция.        Сызықтық  функция  деп  біз 

b

ax

y



  (1)  түріндегі 

функцияны айттық. 

0



b



 болғанда ол 

ax

 (2) түрінде болады. 

Бұл жағдайда айтады: 

y

  



x

ке тура пропорционал (пропорционал коэффициенті 



a

); (2) теңдік 



x

 және  


y

 арасындағы тура пропорционалдық тәуелділікті береді.  

        

ax

функцияның  қарапайым  қасиеттерін  келтірейік:  1)  Функция 



x

тің 


барлық мәндерінде анықталған; 

2) Функция графигі координат басы арқылы өтеді 



0



,

0





y

x

3)  Функция  –  тақ,  оның  графигі  координаталар  басына  қарағанда  симметриялы, 



 



ax

x

a





         

ax

функциясының  графигін  тұрғызу  үшін  координаттың  бас  нүктесі 

арқылы 

Ox

осіне 


  бұрышы  мен  түзу  сызық  жүргіземіз.  (бұрыш 



Ox

осінен  сағат 

тіліне қарсы есептеледі), 

a

tg



болатындай.  

          Осы түзудің функция графигі болып табылатынын дәлелдейік. Ол үшін екі 

жағдайды орнатуға тура келеді:  

1)  Бұл  түзудің  кез  келген  нүктесі  –  функция  графигінің  нүктесі  болып 

табылады. 

2)  Функция графигінің кез-келген нүктесі біздің тұрғызған түзуімізде жатады. 



 

 

Координаттың бас нүктесінен өзге 



түзу 

болғаннан кез-келген 



0



0

0

y



x

M

 

нүктесін ламыз. (1-сурет) Ол үшін 



,

0

0



a

tg

x

y



яғни 


0



0

ax

y

нүкте 


функция графигі жатады. 

       


Керісінше,  егер  кейбір 



0

0

0



y

x

M

 

нүктесі 



үшін 

0

0



ax

 

теңдігі 



орындалса,  яғни 

,

0



0



tg

x

y

  онда  бұл 



нүктені  координаттың  бас  нүктесімен  қосатын  түзу 

Ox

осіне 


  бұрышын 

жасай  көлбейді,  яғни  біз  тұрғызған  түзумен  беттеседі.  Осылайша, 

ax

функцияның графигі - 



Ox

осінен 


 бұрышын жасап, координаттың басы 

арқылы  өтетін  тузу  болады,  мұндағы 

.

a



tg



Осыған  байланысты  тура 

пропорционалдықтың 



a

коэффициентін  түзудің  бұрыштық  коэффициенті  деп 

атайды.  

0



a

  болғанда  түзу  I  &  III  квадранттарда  (ширектерде)  орналасады,  (



 

бұрышы-сүйір 1-сурет а) 



0



a

 болғанда түзу II & IV квадранттарда (ширектерде)  (

 бұрышы-доғал, 1-

сурет б)   

 

 



1-сурет

 а) 


 

 

 



 

                

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

1-сурет


 б) 

0



a

болғанда түзу 



Ox

осімен беттеседі. 

(1) функцияның графигін тұрғызу үшін оны (2) функциямен салыстырамыз & 



x

тің  кез-келген  мәнінде 

y

шамасы,  яғни 



b

ax

y



сызықтық  функцияның 

графигінің  ординатасы 



ax

функциясы  графигінің  ординатасына  бір 



b

қосылғышынқосқаннан  алынатындығын                  байқаймыз.  Бұдан  (1) 

функцияның  графигі  болып  (2)  функцияның  графигі  қызметін  атқаратын 

ax

сызығына  параллель  түзу  сызық  табылады.  Бұл  түзу 



ax

тзуін 


0



b

болғанда 

b

  бірлікке  жоғары  немесе 

0



b



болғанда 

b

  бірлікке  төмен 

жылжыту арқылы алынады. 

        


0



x

болғанда 

b



b

шамасы  графиктің  ординаты  осін  қандай  нүктеде 

қиып  өтетіндігін  көрсетеді.  (2-

сурет). 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

            



                                                                           

 

    2 сурет 



                       

Сызықтық функцияның графигі болып тангенсі 



Ox

осіне  




a

ға тең бұрышпен 

көлбей  және 

y

O

осін  ординатасы 



b

болатын  нүктеде  қиып  өтетін  түзу  сызық 

табылатындығы дәлелденді. 

           Кері  тұжырымдағанда  дұрыс:  Жазықтықтағы  әрбір  түзу  (



y

O

осіне 


параллель емес) (1) сызықтық функция графигі болып табылады.  

b

&

шамалары,  сәйкесінше,  бұрыштық  коэффициент  және  (1)  функция 

графигі болатын түзүдің бастапқы ординатасы деп аталады. 

0



a

  болса,  сызықтық  функция  өседі, 

0



a



  болғанда  кемиді. 

0



a

болса 


тұрақты болады. 

   

b

ax

y



-ның  графигін  шындығында  тұрғызуға  түзу  сызықтың  өзінің  кез-

келген екі нүктесімен анықталатындығын қолданамамыз. 

 Мысал  (1)  Келесі  сызықтық  функциялардың  графигін  тұрғызу  керек:  а) 

,

3



2 

 x



y

 

б) 



,

2x



y



 в) 

1





y

 

Шешуі:  а)  Графикті  тұрғызу  үшін  оның  координаттық  осьтерімен  қиылысу 



нүктесін  табамыз: 

,

0





x

3





y

0





y

2



3



x

      осы  екі  нүкте  арқылы  түзу 

жүргіземіз. 

в) Бұнда 

0



a

. Графигі - 



Ox

осіне параллель түзү болады & ол осы ось тек бір 

бірлікке  төмен  жылжылтылған  түрі  болады. 

y

O

осіне  параллель  емес  кез-

келген түзу қайсібір сызықтық функцияның графигі болып табылады. 

Егер  түзу 



y

O

осіне  параллель  және 



Ox

осін  абсцисасы 

0



x



нүктесінде  қиып 

өтетін  болса,  онда  түзудің  барлық  нүктеснің  абциссасы  сондай  болады;  түзу 



a

  (3)  теңдеуімен  анықталады.  (



y

гі  жоқ) 



x

пен 




y

ке  қатысты  бірінші 

дәрежелі  кез-келген  теңдеуді  қарастыруға  болады:  (сызықтық  теңдеу) 

0





C



By

Ax

 (4) 


Бұндай теңдеу жалпы сызықтық  теңдеу деп аталады. 

0



B

 

Функция.Функцияның берілу тәсілдері. 





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет