Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16) теңсіздігі бойынша, егер
жүктеу/скачать 432,95 Kb.
|
|
Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген (2.16) теңсіздігі бойынша, егер болса, онда , және егер болса, онда . Егер біз осы жерде , десек және алынған теңсіздіктерді қоссақ, онда үшін дұрыс болатын теңсіздігін және үшін кері теңсіздікті аламыз. Теңдік тек қана мен пропорционал болғанда орындалады. Сонымен біз Гельдердің келесі классикалық теоремасын дәлелдедік: 2-теорема. Егер болса, онда келесі теңсіздік орындалады . Теңсіздік кері қарай өзгереді, егер болса. ( үшін деп ұйғарған дұрыс.) Осы жағдайлардың әрқайсысында теңдік тек қана мен пропорционал болғанда орындалады. Классикалық теңсіздіктерді келесі Минковский теңсіздігімен аяқтаймыз. 3-теорема. Егер болса, онда клесі теңсіздік орындалады . (3.1) Теңсіздік кері қарай өзгереді, егер болса. ( үшін деп ұйғарған дұрыс.) Осы жағдайлардың әрқайсысында теңдік тек қана мен пропорционал болғанда орындалады. Дәлелдеуі. Келесі орындалатыны айқын теңдігінің оң жағындағы әрбір қосындыға Гельдер теңсіздігін және көрсеткіштерімен қолдансақ, нәтижесінде клесі теңсіздікті аламыз . Бұл теңсіздік (3.1) теңсіздігімен пара-пар екенін көру қиын емес. Теңсіздік кері қарай өзгереді, егер егер болса. Теңдік тек қана мен -ге пропорционал болғанда орындалады, немесе бұл мен пропорционал болғанда дегенмен бірдей. Кейде (3.1) теңсіздігін «үшбұрыштар теңсіздігі» деп те атайды, себебі, болғанда геометриялық тұрғыдан ол үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы қалған екі қабырғасының ұзындықтарының қосындысынан аспайтынын білдіреді. Бұл жағдайда теңсіздік оң болуы міндетті емес барлық нақты сандары үшін орындалады, ал теңдік орындалуының шарты пен -тің оң пропорционалдығы, яғни кемінде біреуі нөлден өзгеше және сандары табылып, теңдігі орындалса. Жоғарыда қрастырылған теңсіздіктерді көптеген бағытта жалпылауға болады. Енді осылардың ішіндегі маңыздыларына тоқталайық. Гельдер және Минковский теңсіздіктерінің келесі жалпылауына математикалық индукцияны қолдануға болатынын айта кетейік. Гельдер теоремасының жалпыламасы. Егер және үшін және әрі болса, онда келесі теңсіздік орындалады ; (3.2) теңдік тек қана сандардың жүйесі пропорционал болса, яғни барлығы бірдей нөлге тең емес және шартын қанағаттандыратын сандары табылса. Минковский теоремасының жалпыламасы. Егер және үшін және болса, онда келесі теңсіздік орындалады . (3.3) Теңсіздіктің таңбасы кері өзгереді, егер болса. ( үшін деп ұйғарған дұрыс.) Осы жағдайлардың әрқайсысында теңдік тек қана сандардың жүйесі пропорционал болғанда орындалады (жоғарыда берілген анықтама мағнасында). Бұл теңсіздіктердің еселі және ақырсыз қосындылар жағдайларына да жалпыламалары бар. Алдыңғы теңсіздіктер «-ға қатысты біртекті болғандықтан» олардың орталар үшін аналогтары бар. (3.2) теңсіздігінің сондай бір аналогы келесі теңсіздік болады . (3.3) теңсіздігінде де сәйкес жерлерде және көбейткіштерін, немесе осылардың біреуін қоюға болады. -ға қатысты біртекті теңсіздіктердің интегралдық аналготары әр уақытта болады. Мысалға, Гельдер және Минковский теңсіздіктерін келсі түрге келтіруге болады (Коши теңсіздігі Гельдердің дискретті теңсіздігінң болғандағы дербес жағдайы; оның интегралдық аналогы Коши-Шварц теңсіздігі немесе жай Шварц теңсіздігі деп, немесе Буняковский-Шварц теңсіздігі деп аталады). 4-теорема. және қандай бір облысында анықталған функциялар және -осы облыстың көлемінің элементі болсын. Онда, егер төмендегі теңсіздіктердің оң жағындағы интегралдар бар болса, онда сәйкес теңсіздіктердің сол жағындағы интегралдар да бар болады және осы теңсіздіктер орындалады (Буняковский-Шварц) (3.4) (Гельдер) (3.5) (Минковский). (3.6) (3.4), (3.5) және (3.6) теңсіздіктерінде теңдік тек қана және функциялары оң пропорционал (өлшемі нөлге тең жиыннан басқа жерде) болғанда орындалады. Минковский теңсіздігін әрі қарай (3.6) теңсіздігіндегі қосындыны интегралға алмастыру арқылы тағы да жалпылауға болады: . (3.3) теңсіздігінде бойынша қосындыларды интегралдармен алмастыруға болады. Егер болса, онда әрбір жағдайда теңсіздік керісіне алмастырылады, бірақ болғанда функцияларды еш жерде нөл мәнін қабылдамайды деп ұйғарамыз. Мұндай интегралдарды дәлелдеудің бірнеше жолдары бар. Біз оларды дискретті теңсіздіктердің шектік жағдайы ретінде алуымызға болады, бірақ оларды дискретті аналогтарды дәлелдегендей идеялармен тікелей дәлелдеуге болады. Осы жолдардың біріншісін бейнелеу үшін келесі теңсіздікті көрсетеміз . (3.7) Алдымен және үзіліссіз деп ұйғарайық. Онда (3.7) келесі дискретті теңсіздіктен жағдайында шекке көшкенде шығады , ал бұл жай ғана Коши теңсіздігі.[23] Толықтай (3.7) теңсіздігін алу үшін Лебег мағнасында интегралданатын функциялар -мөлшерінде көпмүшеліктермен жуықталатыны туралы фактіні қолданамыз. Дәлелдеудің бұл жолы күрделі облыс бойынша еселі интегралдар үшін теңсіздікті қрастырған кезде тиімсіз екені түсінікті. Енді кез-келген үшін (3.7) теңсіздігінің тікелей дәлелдемесін көрсетейік. Кез-келген нақты және үшін келесі теңсіздікті аламыз . және -ны -дан тәуелді функция ретінде қарастырып, бойынша интегралдап келесіні аламыз . (3.8) Енді -ды , ал -ны -мен алмастырайық. Онда (3.8) теңсіздігінен келесі шығады , ал бұл кез-келген облысына жалпыланған (3.7) теңсіздігі болмақ. Біз бұған дейін Гельдер және Минковский теңсіздіктері -ға қатысты біртекті болғандықтан орталар үшін және интегралдық аналогтары болады деген едік. Сол себепті де олардың орталар үшін интегралдық аналогы бар болады. Бұл үшін барлық жерде интегралын интегралына алмастыру қажет. Біз осыған дейін қарастырған немесе болғандағы ақырлы қосындыға қатысты теңсіздігі -ға қатысты біртекті емес және интегралдық аналогы жоқ. Бірақ орталардың арасындағы кері теңсіздігі де -ға қатысты біртекті емес болса да интегралдық аналогқа ие: . Бұл жерде және ретінде сәйкесінше маңызды минимум және маңызды максимумды түсінуіміз керек (яғни өлшемі нөлге тең жиынды есептемегенде дәл жоғарғы және дәл төменгі шекара), ал -геометриялық орта . Теңсіздіктерді квазилинеаризация әдісімен дәлелдеу Квазилинеаризация әдісін қарастырмас бұрын жағдайында Гельдер теңсіздігінің дискретті нұсқасы келесі түрде тұжырымдалуы мүмкін екенін айта кеткен жөн 5-теорема. үшін келесі теңдікті аламыз , (4.1) жүктеу/скачать 432,95 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|