Гильберт кеңістігі. Толық ортонормаланған жүйелер. Ортогоналдылық. Фурье қатарлары

Гильберт кеңістігі. Толық ортонормаланған жүйелер. Ортогоналдылық. Фурье қатарлары.

Толық скаляр көбейтінді анықталған сызықты кеңістікті гильберт кеңістігі деп атайды және оны Н деп белгілейді.

n – өлшемді Евклид кеңістігі – толық кеңістік. Сондықтан, ол гильберт кеңістігі болады.

Гильберт кеңістігі

,яғни

Гильберт кеңістігі

Демек кез келген номері үшін болады және. Бұдан - сызықтық кеңістік. Сонымен жәнеДемек, - толық сызықтық кеңістік, яғни гильберт кеңістігі

Гильберт кеңістігі

1. (х, у) – нақты немесе комплексті сан;

2. (х, у)= (у, х) – симметриялы шарт;

3. (ах, у)=а (у, х);

4. (х, х)≥0, және (х, х)=0 тек сонда ғана, егер де х=0 болса;

5. (х, у+z)=(у, х)+(x,z);

Гильберт кеңістігі

Гильберт кеңістігінің х және у элементттері ортогональды деп аталады, егер ˂х,у˃=0 болса және ху деп белгілейді.

 

Теорема.

 

Салдар.

 

Лемма. көпбейнесіне ортогональ нөлден өзгеше элементтің болмауы қажетті және жеткілікті.

Гильберт кеңістігі

Фурье қатары

санын (x) функциясының нормасы деп атайды.

 

мысал

• З.Т. Абдикаликова, А.Ибатов «Функционалдық анализ пәнінен әдістемелік құрал» -Астана 2007.