Железнодорожный путь, изыскание и проектирование железных дорог


ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008



жүктеу 5.31 Mb.
Pdf просмотр
бет5/48
Дата27.03.2017
өлшемі5.31 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   48

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
27
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
xk
k
k
k
yk
k
k
k
k
N
y
u
x
v
vk
A
N
x
u
y
v
A
=


+



=


+


ν
                          (5) 
 
Статические  условия,  соответствующие  равенству  внутренних  изгибающих 
моментов в  k-ом слое вдоль контура х=const соответствующим внешним изгибающим 
моментам, можно записать в виде: 
 
xk
k
k
k
k
M
y
w
x
w
D
=


+


)
(
2
)
(
2
2
)
(
2
ν
                                 (6) 
Аналогично, вдоль контура у=const: 
 
yk
k
k
k
k
M
x
w
y
w
D
=


+


)
(
2
)
(
2
2
)
(
2
ν
                                  (7) 
 
Иногда  удобно  записывать  граничные  условия  в  обобщенном  виде,  используя 
обобщенную  поперечную  силу  в  жестком  слое  с  учетом  касательных  напряжений  в 
примыкающих мягких слоях. Эти граничные условия при х=const  для k-го слоя имеют 
вид: 
y
M
Q
x
w
c
x
w
c
u
u
c
B
x
w
c
x
w
c
u
u
c
B
y
x
w
x
w
D
xk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k


+
=


+
+


+





+
+


+









+











+
+
)
(
)
(
)
2
(
)
(
//
1
)
1
(
/
1
)
1
(
)
(
//
1
1
)
1
(
//
)
(
/
)
(
)
1
(
/
2
)
(
3
3
)
(
3
ν
(8) 
 
Аналогично  записываются  и  вдоль  края  у=const.  Первый  член  в  уравнении (8) 
представляет  собой  обобщенную  в  смысле  Кирхгофа  перерезывающую  силу  в k-ом 
жестком слое, вторые и третье члены представляют касательные напряжения τzx ,  τyz в 
k-ом  и k-1 слоях, которые действуют в мягких слоях, примыкающих к жесткому слою. 
Эти  напряжения  умножаются  на  соответствующие  коэффициенты  с/  и  с//, 
представляющие  расстояния  от  срединной  плоскости  мягкого  слоя  до  срединных 
плоскостей  примыкающих  жестких  слоев.  Кинематические  граничные  условия 
записываются  в  виде  равенству  нулю  соответствующих  перемещений  вдоль  контура 
пластины. 
Рассматривая цилиндрический изгиб трехслойной плиты, уравнения (1) сводятся к 
двум уравнениям относительно двух неизвестных функций прогибов
 
)
2
(
)
1
(
)
2
(
2
2
)
1
(
)
2
(
)
2
(
2
)
1
(
)
1
(
)
2
(
2
1
)
1
(
)
2
(
)
1
(
1
)
(
)
(
,
)
(
)
(
z
z
q
w
w
Bc
w
w
C
w
D
q
w
w
Bc
w
w
C
w
D
=
Δ
+
Δ



ΔΔ
=
Δ
+
Δ



ΔΔ
                     (9) 
Для случая свободных краяев плиты граничные условия записываются в виде равенства 
нулю изгибающих моментов и обобщенных перечных сил для каждого слоя плиты 
(k=1,2): 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
28
вдоль контура х=const 
0
)
(
2
)
(
2
2
)
(
2
=


+


y
w
x
w
D
k
k
k
k
ν
                                           (10) 
0
)
)
2
(
)
(
//
1
)
1
(
/
1
)
1
(
//
)
(
/
2
)
(
3
3
)
(
3
=


+


+


+
+


+







+








+
x
w
c
x
w
c
x
w
c
x
w
c
y
x
w
x
w
D
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
ν
 
 
aналогично, вдоль контура у=const: 
0
)
(
2
)
(
2
2
)
(
2
=


+


x
w
y
w
D
k
k
k
k
ν
 
0
)
)
2
(
)
(
//
1
)
1
(
/
1
)
1
(
//
)
(
/
2
)
(
3
3
)
(
3
=


+


+


+
+


+







+








+
y
w
c
y
w
c
y
w
c
y
w
c
x
y
w
y
w
D
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
ν
                              (11) 
 
Для  решения  уравнений (1, 10) можно  использовать  асимптотический  метод  с 
применением  тригонометрических  рядов  для  неизвестных  перемещений.  Используя 
приближенные методы, решения уравнений можно получить в интегральном смысле с 
помощью  метода  Бубнова-Галеркина  или  энергетическим  методом  с  применением 
принципа Лагранже-Дирихле. 
Выводы  
1.  Для  уточнения  расчета  жестких  дорожных  и  аэродромных  покрытий 
необходимо выбрать модель многослойного покрытия с учетом взаимодействия слоев и 
упругого основания. 
2.  Приведенные  разрешающие  уравнения  позволяют  определить  напряженно-
деформированное  состояние  жестких  аэродромных  и  дорожных  покрытий  как 
многослойных плит, лежащих на упругом основании.  
 
ЛИТЕРАТУРА 
 
1. Болотин  В.В.,  Новичков  Ю.Н.  Механика  многослойных  конструкций.  М.,  
Машиностроение, 1980, 376 с. 
2. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.,  Наука, 1985, 182 с. 
3. Исаханов  Е.А.,  Токпанова  К.Е.  Расчет  аэродромных  и  дорожных  покрытий  методом 
прямых вариаций. Алматы, 2007, 153 с. 
 
 
УДК 624.04 
 
Достанова Сауле Хажигумаровна - д.т.н., профессор (Алматы, КазАТК) 
Бондарь Иван Сергеевич – ассистент (Алматы, КазАТК) 
Бондарь Андрей Сергеевич - студент гр. САД-06-2 (Алматы, КазАТК) 
 
УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК ПОКРЫТИЙ  С УЧЕТОМ ИХ 
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ПОДКРЕПЛЯЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 
 
Широкое  использование  тонкостенных  пространственных  конструкций  требует 
совершенствование теории и методов расчета. Такие конструкции обладают достаточной 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
29
прочностью и надежностью, но в виду их малой толщины они часто подвержены потере 
устойчивости,  поэтому  вопрос  устойчивости  таких  систем,  как  оболочки  покрытий 
представляет  особый  интерес  для  многих  областей  техники,  в  которых  используются 
облегченные  конструкции,  такие,  как  надводные  и  подводные  корабли,  летательные 
аппараты,  тепловозы  и  вагоны,  трубопроводы,  резервуары,  купола  и  покрытия  в 
инженерных  сооружениях  и  т.д.  Поведение  оболочек  при  потере  устойчивости 
существенно  отличается  от  поведения  стержней  и  пластинок  и  требует  использование 
сложного математического аппарата /1-10/. 
Выпучивание  оболочек,  как  правило,  сопровождается  появлением  не  только 
напряжений изгиба, но и дополнительных напряжений в срединной поверхности (цепных 
напряжений), в то время, как для стержней и пластинок учитываются только напряжения 
изгиба. Некоторая часть потенциала внешней нагрузки расходуется в случае оболочки на 
увеличение  энергии  изгиба,  а  другая  часть – на  изменение  энергии  срединной 
поверхности.  Соотношение  между  этими  величинами  зависит  от  того,  какую 
конфигурацию принимает оболочка при выпучивании. 
В  дальнейшем  рассматривается  прямоугольная  в  плане  тонкостенная  оболочка 
покрытия,  имеющая  дискретно  расположенные  перекрестные  ребра  жесткости  и 
переломы  кривизны  поверхности  в  двух  направлениях.  Возможны 2 случая:  оболочка 
находится  на  поверхности  земли  и  при  использовании  как  станции  метрополитена, 
сооружаемой  открытым  способом  на  глубине  Н=3м.  По  контуру  оболочка  опирается  на 
несущие стены. Учитывается взаимодействие оболочки с подкрепляющими элементами в 
виде  передаче  реактивных  усилий  и  моментов.  Сопряжение  смежных  оболочек 
учитывается через условия совместности деформаций оболочек и контурного элемента и 
уравнений  равновесия  по  линиям  контакта.  Все  разрывные  параметры  системы 
учитываются  с  помощью  функции  Дирака  и  функции  Хевисайда /1-4/. Оболочка 
находится под действием внешней нормальной нагрузки интенсивности Р
3
      (Р
1
 = Р
2
 =0). 
Задача на устойчивость сводится к определению нижних критических нагрузок. 
При  определении  значений  критических  нагрузок  необходимо  рассматривать 
оболочку как гибкую систему, в которой при нагрузке возникают большие перемещения. 
В дальнейшем учитывается геометрическая нелинейность, т.е. связь между деформациями 
и перемещениями берется в виде: 
y
x
i
w
y
i
w
x
i
w
x
i
v
y
i
u
i
y
i
w
i
y
i
w
i
w
i
k
y
i
v
i
x
i
w
i
x
i
w
i
w
i
k
x
i
u
i




==




+


+


=



=


+



=



=


+



=
2
,
,
2
2
2
,
2
)
(
2
1
2
2
,
2
2
1
,
2
)
(
2
1
1
1
χ
γ
κ
ε
κ
ε
                          (1) 
 
где u
i, 
v
i
,w
i
-  перемещения i- го участка оболочки в направлении  осей Х,У,Z. Уравнения 
равновесия представляют собой систему двух нелинейных дифференциальных уравнений 
относительно  двух  неизвестных  функций:  функции  прогиба w(x,y,t) и  функции 
напряжений  φ (x,y,t). Решение  этих  уравнений  равновесия  (Власов, 1949) при 
рассмотрении  общей  потери  устойчивости  для  случая  шарнирного  опирания  по  всем 
краям ищется в виде следующих рядов: 
 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
30
(
)
)
(
)
(
1
1
,
,
y
n
Z
x
m
Z
N
n
mn
M
m
t
y
x

=

=
=
ϕ
ϕ
 
(
)
)
(
)
(
1
1
,
,
y
n
Z
x
m
Z
N
n
mn
M
m
t
y
x

=

=
=
ω
ω
,                         (2) 
где в правой части  (2):    
b
y
n
Sin
y
n
Z
y
n
Z
a
x
m
Sin
x
m
Z
x
m
Z
π
π
=
=
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
 
 
Решение (2) удовлетворяет следующим граничным условиям: 
 
0
,
0
2
2
,
0
,
0
,
0
,
0
2
2
,
0
,
0
=
=


=

=
=
=


=

=
y
N
y
w
w
b
у
x
N
x
w
w
a
x
 
 
Используя  метод  Бубнова-  Галеркина,  получаем  выражение  для  нормальной  внешней 
нагрузки, действующей на оболочку , в следующем виде: 
 
{
}
)
11
23
22
12
21
(
)
11
23
12
11
13
21
(
2
)
11
23
13
(
1
1
3
b
b
b
b
b
mn
w
b
b
b
b
b
b
mn
w
b
b
b
M
m
N
n
mn
w
P

+
+
+
+

=

=
=
                                
(3) 
 
где  w
mn
 – нормальное  перемещение  в  центре  срединной  поверхности  оболочки, 
соответствующие mn форме потери устойчивости, а величины b
ij
  зависят от интегралов 
А1-А10, которые представлены ниже. 
В ребрах жесткости учитываются следующие деформации: изгиб, растяжение, кручение. 
Для случая шарнирного опирания интегралы А1-А10 равны следующим выражениям:  
 
,
2
,
1
b
i
b
n
Sin
A
a
j
a
m
Sin
A
μ
μ
=
=
 
2
4
,
2
2
2
13
12
11
,
3
2
10
,
2
8
9
,
2
7
,
2
5
6
3
b
A
a
m
A
A
A
a
m
A
a
j
a
m
Sin
A
A
b
i
b
n
Sin
A
a
A
A
A
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
π
π
μ
μ
 
 
В выражении (3) величины b
ij
  можно записать в следующем виде: 
 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
31
),
10
4
2
9
4
2
(
2
2
)
2
2
(
2
2
)
2
2
(
2
1
)
2
2
2
1
(
4
21
),
10
4
2
9
4
2
(
2
2
)
2
2
2
1
(
4
12
,
2
)
2
2
(
4
11
F
a
b
m
F
b
a
n
m
n
n
F
n
m
m
F
m
k
n
k
ab
b
F
a
b
m
F
b
a
n
m
k
n
k
ab
b
n
m
Eh
ab
b
+
+

+
+

+
+

=
+
+
+
=
+
=
π
νλ
λ
λ
νλ
λ
λ
λ
λ
π
λ
λ
λ
λ
 
ab
n
m
b
mn
ab
mn
b
n
F
k
n
n
F
F
F
n
m
m
F
k
m
m
F
n
m
Dab
b
2
4
2
2
23
),
4
2
9
4
(
2
13
,
4
7
)
2
2
2
(
2
6
)
8
5
(
2
2
4
4
)
2
1
2
(
2
3
2
)
2
2
(
4
22
π
π
π
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ

=
+

=


+
+
+
+


+
+
+

=
 
 
где введены следующие обозначения сумм: 
 
,
2
1
)
(
2
1
4
,
2
1
)
(
2
3
,
2
1
2
2
2
,
2
1
2
1
1
b
i
b
m
Sin
i
c
i
i
EI
ak
F
b
i
b
m
Sin
c
i
i
EI
a
F
a
j
a
m
Sin
k
j
h
b
k
j
I
F
b
i
b
m
Sin
c
i
h
a
k
i
I
F
μ
η
μ
μ
μ

=
=

=
=

=
=

=
=
 


=
=


=
=

=
=

=
=

=
=

=
=
1
1
10
,
1
1
9
,
2
1
2
8
,
2
1
)
(
2
2
7
,
2
1
)
(
2
6
,
2
1
2
5
d
j
j
F
t
i
i
F
a
j
a
n
Sin
k
j
j
K
b
F
a
j
a
n
Sin
j
k
j
j
EI
b
k
F
a
j
a
n
Sin
k
j
j
EI
b
F
b
i
b
m
Sin
c
i
i
K
a
F
θ
θ
μ
μ
η
μ
μ
 
где k
1
, k
2
 – главные кривизны;   t,d – количество переломов соответственно в направлении 
осей У,Х; c,k –количество ребер соответственно в направлении осей Х,У; 
K
i
, K
j
  - жесткости на кручение ребер в i,j –м направлениях; 
I
i
, η
i
, k
i
 (I
j
, η
j
, k
j
 )- соответственно моменты инерции, эксцентриситеты, кривизны ребер в 
i,j –м направлениях. 
Зависимость  между  нагрузкой  и  перемещениями  в  центре  (прогибами) (3) дает 
возможность  определить  критические  нагрузки  из  условия  экстремума,  т.е.
0
=


w
P

Верхней  критической  нагрузке  соответствовало  условие 
2
2
w
P


<0,  нижней 
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   48


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет