Жиын және оның элементтерінің ұғымы, белгілеуі. Жиынның берілу тәсілдері
жүктеу/скачать 24,96 Kb.
|
|
Жиын және оның элементтерінің ұғымы, белгілеуі. Жиынның берілу тәсілдері. Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Георг Кантор (1845- 1918) болды. Жиындар теориясы үш алғашқы түсінікке тіреледі: 1. жиын; 2. элемент; 3. тиістілік. І. «Жиын» ұғымы алғашқы және анықталмайтын болып табылады. Жиынды қандай да бір ортақ қасиеттің (қандай да бір жалпы белгілермен біріктірілген) қамтитын қандай да бір элементтер жиынтығы ретінде қарастыруға болады. Жиынды құрайтын кез келген табиғаттың объектілерін (сандар, адамдар, заттар және т.б.) оның элементтері деп атайды. Мысалы, Томирис деген студент IV курс студенттер жиынының, наурыз – жылдағы айлар жиынының элементі және т.т. болып табылады. Жиын латын алфавитінің бас әріптерімен, ал олардың элементтері кіші әріптермен белгіленеді. 𝑎 ∈ 𝑅 жазбасы 𝑎 элементінің 𝑅 жиынының элементі болып табылатынын, яғни 𝑎 элементі 𝑅 жиынына тиісті екенін білдіреді. Кері жағдайда, 𝑎 элементі 𝑅 жиынына тиісті емес болса, 𝑎 ∉ 𝑅 түрінде жазылады. ІІ. Қандай да бір элементтер жиынтығын жиын деп атау үшін келесі шарттардың орындалуы қажетті: -көрсетілген элемент берілген жиынтыққа тиісті болатынын анықтауға мүмкіндік беретін ереже болуы керек; - элементтерді бір бірінен ажыратуға мүмкіндік беретін (бұл жиында екі бірдей элемент болмайтынын білдіреді) ереже болуы керек. Мысалы, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 компоненттерінен тұратын 𝐴 жиыны 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} түрінде жазылады. Берілген тәсіл жиынға тиісті элементтердің жалпы қасиеті көрсетілген, элементтер саны өте көп емес ақырлы сандар жиынына ғана қолданылады. Бұл жағдайда фигуралық жақшалар жиынның еркін алынған элементінің белгілеуі жазылады, вертикал сызықша қойылады, содан кейін жиынның барлық элементтерін сипаттайтын қасиеті көрсетіледі. Мысалы, 5-тен кіші барлық натурал сандардың 𝐾 жиынын мына түрде жазуға болады: 𝐾 = {1, 2, 3, 4} немесе 𝐾 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 және 𝑥 < 5}. Жиындар ақырлы немесе ақырсыз болуы мүмкін. Мысалы, өндіріс қызметкерлерінің жиыны – ақырлы, түзудің нүктелер жиыны – ақырсыз болады. Бірде бір элементі жоқ жиын бос (құр) жиын деп аталады да, ∅ арқылы белгіленеді. Бос жиынды кез келген қарама қайшылыққа әкелетін қасиетпен анықтауға болады. Мысалы, ∅ = {𝑥|𝑥 ≠ 𝑥}, жиын облысында ол нөлдің рөлін атқарады. Берілген есепте қарастырылатын барлық элементтердің 𝑈 жиыны әмбебап жиын деп аталады. Егер 𝐴 жиынының әрбір элементі бір мезгілде 𝐵 жиынының элементі болса, 𝐴 жиыны 𝐵 жиынының ішкі жиыны (бұл жағдайда 𝐴 ⊂ 𝐵 түрінде жазылады) деп аталады. Жиындар арасындағы бұл тәуелділік ену деп аталады. Кез келген 𝐴 жиыны үшін ∅ ⊂ 𝐴 және 𝐴 ⊂ 𝐴 енуі орын алады, яғни бос жиыны кез келген 𝑀 жиынының ішкі жиыны болып табылады. Әрбір 𝐴 жиыны өзінің ішкі жиыны болып табылады: 𝐴 ⊆ 𝐴. Кез келген 𝐴 жиынының 𝐵 ішкі жиыны 𝐴 жиынынан өзге 𝐴 жиынының өзіндік ішкі жиыны деп аталады да ⊂ символы арқылы белгіленеді: 𝐴 ⊂ 𝐵. Ену қатынасы транзитивті, яғни, 𝐴 ⊆ 𝐵 және 𝐶 ⊆ 𝐴 қатынастарынан 𝐶 ⊆ 𝐵 алынады. Өзіндік ену қасиеті де транзитивті. Тиістілік ∈ қатынасы мен ⊆ ену қатынасын шатастырмау маңызды: егер {𝑎} ⊆ 𝑀 болса, онда 𝑎 ∈ 𝑀 және керісінше, бірақ {𝑎} ⊆ 𝑀 қатынасынан {𝑎} ∈ 𝑀 алынбайды. Мысалы, егер 𝑀 = {1, 2} болса, онда ол 1 ∈ 𝑀 және 2 ∈ 𝑀 қатынасын білдіреді,бірақ барлық басқа 𝑥 объектілері үшін 𝑥 ∉ 𝑀 ақиқат; ену үшін келесі тұжырымдамалар ақиқат: ∅ ⊆ 𝑀, 1 ⊆ 𝑀, 2 ⊆ 𝑀, {1, 2} ⊆ 𝑀. жүктеу/скачать 24,96 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|