Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері мен графигі. Анықтама

жүктеу/скачать 2,75 Mb.

бет	1/2
Дата	06.01.2022
өлшемі	2,75 Mb.
	#16760

1 2

Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері мен графигі.

Анықтама. (1)

формуласы арқылы берілген функцияны көрсеткіштік функция деп атайды.

Мұнда а саны көрсеткіштік функцияның негізі, ал тәуелсіз айнымалы х-дәреженің көрсеткіші.

Көрсеткіштік функцияның негізгі қасиеттері:

1) анықталу облысы - барлық нақты сандар жиыны, яғни

2) мәндер жиыны - барлық оң нақты сандар жиыны, яғни

3) негізі болғанда, функция анықталу облысында - қатаң өспелі, ал болғанда, функция - қатаң кемімелі функция.

4) барлық нақты сандар жиынында, яғни -де () функция үзіліссіз.

Көрсеткіштік функция үшін х және у-тің кез келген нақты мәндерінде келесі теңдіктер орындалады:

Бұл формулалар дәрежелеудің негізгі қасиеттері деп аталады.

Функцияның жоғарыда аталған қасиеттерін дәлелдейік.

Дәлелдеу. 1) Негізі болғанда, х-тің кез келген мәні үшін дәрежесін есептеуге болады. Олай болса, функциясының анықталу облысы - барлық нақты сандар жиыны.

2) функциясының мәні кез келген х нақты саны үшін оң сан. Демек, функциясының мәндер жиыны барлық оң нақты сандар жиыны болады.

3) Ох осінің бойынан кез келген және нүктелерін (сандарын) алайық. Сонда осы екі нүктеге сәйкес келетін функция мына мәндерді қабылдайды: .

жағдайында кіші аргументке функцияның кіші мәні, үлкен аргументке функцияның үлкен мәні сәйкес болғандықтан, .

Осы заңдылық функцияның анықталу облысының жиыныдағы кез келген екі нүктесі үшін орындалады. Олай болса, функциясы болғанда, қатаң өспелі функция.

Көрсеткіштік функцияның негізі болғанда, жоғарыда айтылған заңдылық керісінше орындалады, кіші аргументке функцияның үлкен мәні, үлкен аргументке функцияның кіші мәні сәйкес болғандықтан, .

Демек, аралығында функциясы - қатаң кемімелі функция.

Мысал ретінде және функцияларының графиктерінің қарастырайық.

1. функциясының графигін салу үшін келесі кестені құрамыз:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
				1	3	9	27
нүктелерін координаталық жазықтыққа түсіргеннен кейін, оларды қоссақ, функциясының графигін аламыз (1-сурет). Графиктен берілген функцияның қатаң өспелі екені көрініп тұр. 2. функциясының графигін салу үшін келесі кестені құрамыз:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
	27	9	3	1

нүктелерін координаталық жазықтыққа түсіріп және оларды қоссақ, функциясының графигін аламыз. (2-сурет).

Графиктен берілген функцияның анықталу облысында қатаң кемімелі екенін көреміз.

Енді функциясының графигін жалпы түрде берейік.

болғанда функциясының графигі 3-суретте, ал болғандағы - 4-суретте көрсетілген.

және көрсеткіштік функцияларының графиктерін бір координаталық жазықтыққа салайық (5-сурет). Суреттен аталған функциялардың графиктері Оу осіне қарағанда симметриялы екені көрініп тұр. Осыдан келесі тұжырымды аламыз: егер екі көрсеткіштік функцияның негіздері өзара кері сандар болса, онда ол функциялардың графиктері Оу осіне қарағанда симметриялы.

4) Көрсеткіштік функцияның үзіліссіздігін дәлелдейік.

функциясы берілсін. Аргументке х-ке өсімше берейік, онда аргумент өсімшесіне сәйкес функция да өсімше қабылдайды:

Енді осы өсімшенің ұмтылғандағы шегін анықтайық:

Аргументтің шексіз аз өсімшесіне функцияның да шексіз аз өсімшесіне сәйкес келеді. Осы заңдылық функциясы үшін аргументтің анықталу облысының кез келген нүктесінде орындалады. Демек, функциясы өзінің анықталу облысының кез келген нүктесінде үзіліссіз.

1-м ы с а л. функциясының графигін салайық.

Ш е ш у і. Алдымен функциясының графигін салу керек. Ол үшін екенін ескеріп, 3-суреті бойынша барлық нақты сандар жиынында өспелі функцияның графигін жүргіземіз. Одан кейін салынған графикті Ох осі бойымен бір бірлікке оң бағытта параллель көшіреміз. Шыққан графикті Оу осі бойымен бір бірлікке жоғары параллель көшіреміз (6-сурет).

2-м ы с а л. және сандарын салыстырайық.

Ш е ш у і. Берілген сандардың негіздері бірдей және 0,27-ге тең. Осы

негізді бір санымен салыстырамыз: , бұл жағдайда көрсеткіштік функция кемімелі. Демек, кіші аргументке функцияның үлкен мәні сәйкес. Сондықтан

Жауабы: .

3-м ы с а л. және функцияларының графиктері неше нүктеде қиылысатынын анықтайық.

Ш е ш у і. Ол үшін бір координаталық жазықтыққа және функцияларының графигін саламыз. Бірінші функция көрсеткіштік функция және негізі 1-ден үлкен. Демек, функциясының графигі (0; 1) нүктесі арқылы өтетін және R-де өспелі қисық. Ал функциясының графигі төбесі (0; 0) нүктесі болатын, тармақтары жоғары бағытталған парабола. Графиктер А және В нүктелерінде қиылысады. (7-сурет).

Жауабы: екі нүктеде қиылысады.

жүктеу/скачать 2,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2