Л. Н. Гумилев атындагы ЕҮУ, 2007. ~ 102 б

° W ,  V ь  д  /V  i -
Л.Н.ГУМИЛЕВ  атындағы БУРЛЗИЯ ҮЛТТЬІҚ УНИВЕРСИТЕТІ  A   \ і \
З.Т.Абдикаликова,  А.Ибатол
ФУНКЦИОНАЛДЫҚ АНАЛИЗ
пэнінен одістемелік қү.рал
АСТАНА 2007

ББК 22.  12 
А14
Пікір  берушілер:  физика-математика  ғылымдарының  докторы,  М.В.Ломоносов 
атындагы ММУ ҚФ профессоры Е.Д.Нүрсұлтанов.
Л.Н.Гүмилев атындағы Е ¥ У  Ғылыми-әдістемелік кеңесі бойынша 
баспасөзде шыгаруға рұксат етілген
А  14 З.Т.Абдикаликова, А.Ибатов.
ФУНКЦИОНАЛДЬІҚ  АНАЛИЗ  пәнінен  әдістемелік  кұрал.  -   Астана: 
Л.Н.Гумилев атындагы ЕҮУ, 2007. ~  102 б.
ISBN 9965-31-134-х
Бұл  әдістемелік  нұскау  жоғарғы  оку  орындарында  математика  және 
колданбалы 
математика  мамандыктары  бойынша  оқитын 
студентгерге, 
магистранттарға, жалпы кызыгушы қауымга арналған
физика-математика  ғылымдарының  докторы,  колданбалы 
және 
есентеу 
математика 
кафедрасының 
профессоры
Н.Ә.Бокаев
ББК 22.  12
ISBN 9965-31-134-х
© Абдикаликова З.Т., Ибатов А., 2008

§1.  С ы з ы қ т ы қ   к е ң іс т ік т е р
1.1.  С ы з ы қ т ы қ   к е ң іс т ік т ің   а н ы қ т а м а с ы
Ж и ы н   үғьш ы   -  ж огарғы   м атем атика  пәніндегі  ең  алғаш қы   үғы мдарды ң 
бірі.  Оган  аны қтам а  берілмейді.  Сонда д а   оны  келосі  түрде  аны қтауға бола-
ДЫ.
Ж и ы н  деп  қандай д а  бір  қасиет  арқы лы   топтасты ры лған  заттарды ң,  сан- 
дардыц.  объектілердің  тобын  айтады .  Ж и ы н д ы   A ,  В , С ,  D , ...  үлкен  латын 
әріптерімси,  ал  оның  элемснттерін  a, b, c , d , ...  кіші  латы н  эріитерімен  бел- 
гілейді.
Мысалы,  натурал  сандар  ж иы ны ,  ягш і  N   =   {1, 2 .3 ....}   -  оц бүтін  сандар- 
ды ң  тобы.  рационал  сандар  ж иы ііы ,  ягпи  Q  =   { -   :  k   €   Z , n   е   N }   -  бүтін, 
бөлшек  сандардың тобы.  т.с.с.
1 .1 .1   -  а н ы қ т а м а .  Қ ан д ай д а  бір  ам ал  (қаты нае)  оры ндалаты н  жиынды 
кецістік деп  атайды.
1 .1 .2   -  а н ы қ т а м а .  x , y , z , ...  элементтердеи  түраты н  Е   жиыііы  үшін:
I.  Е   ж иы ны нда  ж ататы н   кез  келген  х,  у  элсменттеріне  олардың  қо- 
еындысы  деп  аталаты н  х   +   у  6   Е   элемеиті  сәйксс  қойы лса  және  кез  келген 
Е   ж иы ны нда  ж ататы н  х, у, z  элемепттері  үшіп:
1.  х  +  у   =  у  + х   (орын  алм асты ру  зацы)
2.  х   +   (у +  z)  —  (х  + у)  -f  z  (терімділік  заііы)
3.  (ЗӨ  6   Е ) (\/х  G  Е )   :  х  +   Ө  =   х   (Ө  элементінің  бар  болуы)
II.  Е   ж иы ны нда  ж ататы н   кез  келген  х   элемеіггі  мен  кез  келген  А  санына 
олардың  көбейтіндісі  дсп  аталаты н  Хх  е   Е   элементі  сәйкес  қойылса.  жэне 
кез  келген  Е   ж и ы н ы н д а  ж ататы н   х .  у  элементтері  мен  кез  келген  А,  /і  сан- 
дары   үшін:
4.  A (fux)  =   (А/л)х  (терім ділік  зацы)
5.  А(.г’  + у)  =  Хх  4-  А у  (элементтсрдің  қосындысына  байланы сты   үлестірім- 
ділік  зацы)
6.  (А ■+• /і)х  =   Ах  +  ц х   (сандарды ң  қосындысына  байланы сты   үлестірімділік 
зацы )
7.  1  • х   =   х,  0  •  х   =   0  (0-сан  (скаляр))
аксиомалары   оры ндалса.  онда  Е   ж иы ны н  сызыцтыц  кеңістік деп  атайды.
С ы зы қты қ  кецістіктіц  аны қтам асы нда  А,  ц   сандары   нақты   немесе  ком­
плекс  сандар  болуы  мүмкін.  О сыған  байланы сты   егер  А.  д   сандары  нақты 
сандар  болса,  онда  сы зы қты қ  кеңістікті  иақты   сы зы қты қ  кеңістік,  ал  A,  [і 
сандары   комплекс  сандар  болса,  онда сы зы қты қ  кецістікті  комплекс сызық- 
т ы қ   кеңістік  ден  атайды.
С ы зы қты қ  кеңістікте  элементті  санға  кебейту  амалы   орындалатын
3

болғандықтан,  Е   сы зы қты қ  кеңістіктің  кез  келген  х   элементі  үшін  оған  қа- 
р ам а  -қарсы   ( —х)  элементін  ж әне  алу  амалын,  яғни  (у  —  х)-ті  аны қтауга 
болады.  О ларды   былай  амықтаймыз:  —х   —  ( - 1 )   • х,  у   -  х   —  у  +   { ~ х ) .
Сызьщтыц  к е щ с ті к т і ц   аныцтамасышн  шыгагпын  гпүжырымдар
1 .1 .1   -  л е м м а .  С ы зы қты қ  кеңістіктегі  Ө  -  нөлдік  элемент  ж алгы з.
Д ә л е л д е у і.  С ы зы қты қ кеңістіктің екі  бір-бірінс тец  емес  нөлдік  элемент- 
тері бар деп үйгарайы қ.  О ларды  Ө і  жоне Өг деп белгілейік.  О нда 3)-аксиома 
бойынш а
Ө[  +  Ө‘2  =  Ө\,  02  +  Ө\  —  Өо.
О сыдан  1)-аксиома  бойыніиа
+  @2  =   $2 +  $1  =>  Ө\  =  $2:
яғни  қайш ы лы қ.  А лы нгаи  қайш ы лы қ  1.1.1  -  лемманы ң  түж ы ры м ы   дүрыс 
екеиіп  дәлолдейді.
1 .1 .2   -  л е м м а .  Егер  Е   сы зы қты қ  кецістіктіц  кез  келген  нөлге  тең  емес  х 
элементі  үшін
Ах 
=   {IX
болса,  онда  A  =  /.і  болады.
Д ә л е л д е у і.  Л ем м аны ң  ш арты   бойынша
( Ү х  
ф  0  G  Е )   : 
Ах 
=   цх.
Бүдан
Ax +   (—fix)  =   Ax  — fj.x  =   (A — fi)x  —  Ө.
Егер  А  ф 
/1
  болса,  онда  соңгы  теқдіктен  4)-аксиома бойынш а
(А  -  
/J- Г 1
  [(А  -  
ц ) х ]   =  
х  
=   0
екендігін  алам ы з.  Б ү л   -  қайш ы лы қ.  Сондықтан
A  =
1 .1 .2   -  л е м м а .  Егер  сы зы қты қ кеңістіктің кез  келген  х,  у  элементтері  үшін
Ах  =   А у  (А  ф  0  — сан)
орындалса.  онда  х   =  у  болады.
Д ә л е л д е у і.  Л ем м аны ң  піарты  бойынша
{ І х ,  у  €   Е)(\/Х  ф  0)  :  Ах  =   А у.
4

Хх  +   (—\ у )   =   0 < v   Х(х  — у)  =   0. 
Егер  Л  -ф  0  болса,  онда  соцгы  теңдіктен
А-1  [А(х  —  у)\  =   0  4Ф-  х   — у   =   0 
х   —  у
Будан
шыгады.
1.2.  С ы з ы қ т ы қ   к е ң іс т ік т е р г е   м ы с а л д а р
(
сандары  х   баганыныц  коордииаталары   дсп  аталады .
1. 
Екі баганпың 
қ о с ы і і д ы с ы
 
деп осы багандарды ң сәйкес коо{)динаталарын 
қосқан-да  ш ыгатын  (^-  +  
баганын  айтамыз,  ягни
2. 
х  баганын  кез  келген  А саны на көбейту деп осы бағанныц коордіш атала- 
рының барлығын  А  саны на  көбейткенде  ш ығатын  (А&У£-Л  баганын  айтамыз, 
яғни
3. 
Осы  ж иы нда  нөл  элементінің ролін  коордннаталары   нөл  санынан  тура- 
тын  баган  атқарады .
Сонымен  бағандарга  қолданы латы н  ам алдар  оларды ң  коордннаталары на 
байланысты  ан ы қталаты н ды қтан ,  ал  координата лары   пакты  сандар болган- 
ды қтан,  бағандар  үшін  сы зы қты   кеңістіктің  б арлы қ  аксиомалары   орында- 
лады.  Сондықтан,  бағандардан  түраты н  ж иы ндар  сы зы қты   кеқістікті  аны- 
қтайды.  Оны  R " 1  деп  белгілейміз.
1.2 .2  
-  м ы с а л .  [a,b]  кесіндісіндс  аны қталган  үзіліссіз  ф ун кц и ялар  ж иы - 
нын  С[а, Ь\  ден  бслгілейік.  Осы  ж иы нны ң  сы зы қты қ  кеңістік  екенін  дәлел- 
дейік.
Д ә л е л д е у і.
1. 
Егср  x( t ) ,   y(t)  ф ун кц и ялары   үзіліссіз  ф ункц иялар  болса,  онда олардыц 
қосындысын  ( x + y ) ( t )   =   x( t )  + y(t)  түріндс аны қтауға болады ж әне олардың 
қосындысы  үзіліссіз  ф ункц ия  болады,  ягни
X +  у   =   ( 6  +  тц)™=1.
x( t )   -f y(t)  E  C[a, b\.

2. 
E rep  x ( t )  кез  келген  үзіліссіз  ф ункция,  А  -  кез  келген  сан  болса.  онда 
оларды ц  көбейтіндісін  (Xx)(t)  түрінде  аны қтауға  болады  ж ене  ол  үзіліссіз 
ф унцияны  аны қтайды .  ягни
Xx(t)  G  С  [а, Ь].
Үзіліссіз  ф ун кц и ял арды ц   касиеттсрінен  сы зы қты қ  кеністіктердіц  б арлы қ 
аксиома лары  орындалатыш>і  шьн'ады.  Сондықтан  үзіліссіз  ф ункциялардан 
түраты н  С\а,Ь]  коңістіп  -  сы зы қты қ  кеңістік.
1 .2 .3  -  м ы с а л .  Өлшемі т х п  болатын, элемеиттері  нақты самдардап түра-
м атрицалар  ж иы иы н  қарасты рам ы з.
М атрицалар  ж и ы ны нда  қосу  жонс  санга  көбейту  амалдары н  соикесінше
түрінде  анықтайық.
М атрпцаларга  қолданы латы н  ам алдар  оларды ц  эломенттеріие,  ягии  сан- 
д ар га  байланысты  аиы қталаты н ды қтан ,  сы зы қты қ  кеңістіктің  барл ы қ  ак- 
сиомалары  оры ндалады .  Сондыктан  crop  матрицаиы ц  элементтері  және  A 
саны  нақты   сандар  болса,  онда  нақты  сы зы қты   м атрицалар  ксиістігін  ала- 
мыз.  Ал  егер  м атри цанын,  элементтері  жәие  А  сапы  комплекс  сандар  болса, 
онда  комплекс  сы зы қты   м атрицалар  кецістігін  аламыз.
1 .2 .4  -  м ы с а л .  Н ақты   сандардан  түраты н  R   ж иы пы н  қарэсты рам ы з.
1. 
Екі  пакты  санпыц  қосындысы  нақты  сан  болатыны  белгілі.  Б үл  қосу 
амалы   нақты  сандарды ң  арасы ида операция  болатынып  корсе геді.  ягпи
Сонымеи  қатар
a)  (Vz. у  G-  R)  :  x  +  у   =   у  + x;
b)  (Vx, y. z   G  R )   :  x   +   (y  +   z)  —  (x +  y)  +  z;
c)  (Vx  6   R)   :  x  + 0  =   x   (0  саны  қосу операциясына қаты сты   нейтрал  элемент 
болатынын  көрсетеді)  аксиомалары   орындалады.
2. 
Н ақты   санный,  нақты   санга  көбейтіндісі  пакты   сан  болатыны  белгілі. 
Б үл  көбейту  амалы  нақты   сандарды ц  арасы ида операция  болатынын  корсе- 
теді.  ягни
(av )   +   (pij)  —  (aij  +  
A (ay )  =   (A aij)
(V;
x, у 
G 
R)  :  x  +  y 
G 
R.
(Y:r, A  G  R )   :  Xx  G  R.
6

Сонымен  қатар,
d)  (VA,/i  €   R ) (V.r 
6
  R )  :  А(/іж)  =   (A/i)z,
e)  A (re  -\-y)  =  Xx + Xy,
f)  (A +  fi)x  =   Xx  + fix,
g)  1  •  x   =  x,  0  •  x   =   0
аксиомалары  оры ндалады .  О лай  болса,  R   ж иы иы   сы зы қты   кеңістікті  аны- 
қтайды.
1 .2 .5  
-  м ы с а л .  Оң  бүтін  сандардан  түраты н,  яғни  Аг-  натурал  сандар 
жиыны сы зы қты қ кеңістік болмайды.  Өйткені  кез  кслгсн  натурал  санды кез 
келгсн санга көбсйтксн  кезде оларды ц көбейтіндісі  н атурал сандар жиынын­
д а  ж атиауы   мүмкін  ((—1)  •  п   =  —п   £   N ) .
1.3. 
С ы з ы қ т ы қ   к ө п б е й н е
Е \   ж иыны  Е   сы зы қты қ  кеңістігінің бөлігі  болсын  ( Еі   С  Е) .
1 .3.1  -  а н ы қ т а м а .  Е \   ж иы ны иы ң  кез  келген  х ,  у   элементтері  мсн  кез 
келген  А.  (.і  сандары  үілін  Хх  4-  и у   элементі  Е \   ж и ы н ы н д а  ж атса,  ягни
(Vx-, у  G  Е і )   :  Xx  +  ц у   G  E h
онда  E i  ЖИЫИЫИ  E   сызықтық  кеңістігіпіц  сы зы.цты   көпб елтссі деп  атайды.
Е і   ж иыны  Е   ж иы ны ны ң  ішкі  ж иы ны   болганды қтан,  1.3.1  -  анықтамадан 
Е і   ж иынының  сы зы қты қ  кецістік  болаты нды гы   ш ы гады .  Сондықтан.  Е\ 
сы зы қты қ көпбсйнесін  Е  сы зы қты қ кеңістіктің сызьщгпык іыкі   кецістігі ден 
атайды.
С ы зы қты қ  көибейнеге  м ы салдар  келтірейік.
1.3 .1   -  м ы с а л .  Е[а,Ь\  -  б арл ы қ  нақты  ф ункц иялардан  түраты н  сызы- 
қты қ  кеңістік  болсын.  О нда  С[а, 6]  кеңістігі  Е[а, 6]  сы зы қты қ  кеңістігініц 
сы зы қты қ  көпбейиесі  болады.
Ш ы ны нда да,
1.  С[а,Ь)  С  Е[а, 6]  бөлігі;
2
.  ( \ / x( t ) , y( t )   G  С[а, 6])(Vq:,/3  G  R )  :  а х   + {Зу  £   С[а,Ь\.
Олай  болса,  С[а, Ь)  -  сы зы қты қ  көпбсйне.
1 .3 .2   -  м ы с а л .  Q  -  рациона л  сандар  жиыыы  R   -  бір  өлшемді  сы зы қты қ 
кеңістіктің  сы зы қты қ  көпбейнесі  болмайды.  Өйткеиі
(Уж, у  €   Q){Va, /3  е   R )  :  а х  +  /Зу  £  Q
болуы  мүмкін.
1 .3 .3   -  м ы с а л .  Е   =   { x ( t)   Е  С[а, b]  :  х(а)  —  а , х ( Ь )  =   /3}  ж иы ны   сызы- 
қ ты қ   көпбейне  болуы  үшін  a   =  (3  =   0  болуы  қаж етті  ж әне  ж еткілікті.
7

Д ә л е л д е у і.  Жетпкілікті  шарт.  а   =   0,  3   =   0  бол сын,  ягни  Е   =   {x{t)  Е 
С М   :  х (а )  =   х(6)  =   0}.  (V * (t),y (t)  Е  £)(V A b  А2  Е  R)\
1.A ix(i)  +  A
2
y{t)  Е  С [а, 6],
2.Аі.т(а)  -I- А2у (а)  =   0, Аіх(6)  +  А2у(Ь)  =   0
1)  -  2)  пункттен A ix (t)+ A 2i!/(<)  Е  Е  ш ыгады.  Д емек,  Е  - сы зы қты қ көпбейне.
К а ж е т т і   гаарт.  Е   =   { x (t )  Е  С[а,Ъ)  :  х (а)  =   а , х (Ь )   =  /3}  - сы зы қты қ
көпбейне.  Долелдеу  керек:  а   =   в   =   0.
(V *(t),y(*)  €  Я)(ҮАЬ А2)  :  \ i x { t )   + A2y(t)  Е  Е   =*
1.  A ix(a)  4- A2?/(a)  =   a .
2.  Aix(fr)  4   А2у(6)  =   /3  =>■,  OfAi  -)- aA2  =   a .  /?Ai  4  {3\o  =  
,5.
Егер  a   ф  0,  /3  ф  0  болса,  онда  Ai  4   A2  =   1.  бүл  Ai, 
A2 кез келген  сандар
болаты ндьн’ына  қайшы.
1.4.  Э л е м е и т т е р д ің   с ы з ы қ т ы қ   т ә у е л д іл іг і  ж ә н е   т ә у е л с із д іг і
Е   -  сы зы қты қ  кеңістік  болсын  және  х і , х 2,  ...хп  Е  Е   ж атсы н.
1 .4 .1   -  а н ы қ т а м а .  а-і, а 2, ...ап  кез  келген  сандар  болсын.
71
ctyxi 
4  a 2x2 4   ...  4  
a nx n  =  ^
 ctkXk
k~i
өрнегін  E  кеңістігінің x*i, x 2, ...xn  элементтерінің сызьщтьщ гпгркесі деп атай­
ды.
1 .4 .2   -  а н ы қ т а м а .
a i x i   4   a 2x 2  4   ...  4  а пх п  =  0 
(1)
тендігі  кем  дегенде  біреуі  нөлге  тең  болмайтын  a i ,  а 2, ...ay,,  сандары   үшін
П
оры ндалса,  ягни 
lQ il  >   0;  онда  Е   кеңістігінің  х і , х 2, ...хп  элементтері
г=і
сызыцты  тәуелді, деп  аталады .
М ысалы,  а п  ф  0  болсын.  Оида  (1)  теқдіктен
«1 
С*2 
<*п-1 
Іп\
Х п 
= ------
Х і
------- х 2  -   . . . ----------
Х
ТІ_1
 
(2)
Q-n 
а п
теңдігіи  алам ы з.  —
і
  =   1, ...,n   —  I  дсп  алып.  (2)  тендікті
Хп
  =  
Ц
IX]  +   ... 4  
Н п - \ Х п- 1
түрінде  ж азуі'а  болады.  Бүл  ж ағдайда  х п  элементі  х \ : х 2, ...х„_і  элемент- 
терінің  сызыцтыц  тіркесі деп  аталады.
1 .4 .3   -  а н ы қ т а м а .
a ix i  4  a 2x2 4   ...  -I- 
а пх п 
=   0
8

теңдігі  тек  a i ,  о^,  ...an  сандары ны ң барлы ғы   нөлге  тең  болғанда  ғана орын-
71
далса, ягни  ^   |a'j|  =  
0
, онда Е  кеңістігінің х \ ,  Х
2
, ...х п элементтерін  сызыцты 
і—1
тәуелсгз деп  атайды.
Сызықты  тәуелділік  үгымы н  коллинеар  және  комплаыар  векторлар  үгы- 
мыныц  ж алпы лам асы   ретінде  түсіну  керек.
1.4 .1  
-  м ы с а л .  a i  =   (1 ,2 .3 ),  do  =   (1 ,1 ,0 )  жоне  a 3  =   (A, 1,1)  вектор- 
лары  А  параметрінің  қандай  мәндерінде  комгіланар,  яғни  сы зы қты   тәуелді 
болатындыгын  көрсетіңдер.
Ш е ш ім і:
1
)  а і , а
2
,а з   векторы ны ц  сы зы қты   тіркесін  қарасты рам ы з,  я и ш
a  id]  -I- aod2  4- 
0
:
303
;
(  Q'l  +   П'2  -f AcK]  =   О 
2J  О:] О]  “Ь  Cl
' 2 0 2
  "Ь  а ’зОз  —  Ө  -ФФ  ч 
2d']  -I-  сх2  ~Ь  оз  =   0 
(*))
\   За-]  +  Ott
' 2
  4- Q
' 3
  =   О
1 1 А
1 
1 
А
1
1
А
3)  д   =
2
1 1
=
0  - 1   1  —  2А
=
0 - 1
1  - 2 А
3 0
1
0  - 3   1  — ЗА
0
0
ЗА  -   2
Сонымен,
а.)  егер  2 —ЗА  =   04Ф А   =   2 /3   болса, онда  (*)  ж үйесінің анықтауыш ы нөлге 
тең болады.  Б үл ж ағд ай д а (*)  ж үйенің нөлге тец емес көп шешімдері болады. 
Сондықтан  кем  дегеиде  біреуі  нөлгс  тең  болмайтып  (**)  тевдігін  қанагат- 
танды раты н  с*і, 
0 1 2
,
0: 3
  сандары   табылады .  О лай  болса.  А  =   2 /3   болғаида
0 1
,
0 9 , 0 3  
векторлары   сы зы қты   тәуслді,  яғнн  комиланар  векторлар  болады.
б) 
егер  2  —  ЗА  ф  О  «ФФ-  А  Ф  2 /3   болса,  онда  (*)  жүйесінің  аиықтауыш ы 
нөлге  тең  болмайды.  Сонды қтан  (*)  жүйенің  тек  қ ан а  нөлге  тең  шешімдері 
болады,  ягни  (*)  теңдігі  тек  a i   =  
0 9
  =   a
3
  =  
0
  болганда  ғапа  орындалады. 
Демек  бүл  ж ағд ай д а 
0 1
,
0 2 , 0 3
  векторлары   сы зы қты   тәуелсіз  векторлар.
1.5.  А қ ы р л ы   ж ә н е   а қ ы р с ы з   ө л ш е м д і  с ы з ы қ т ы қ   к е ң іс т ік т е р
1.5 .1   -  а н ы қ т а м а .  Егер  сы зы қты қ  кецістіктің  элементтерінің  ішінен  кез 
келген  (m   -f 
1
)  элементтері  тәуелді  болатын  сы зы қты   тоуелсіз  гп  элемент 
табы латы н  болса,  опда  сы зы қты қ  кеңістікті  т   -  өлшемдг  немесе  ацырлы 
өлшемді  кецістгк деп  атайды.
1.5 .1   -  м ы с а л .  R m -сы зы қты қ кеңістігінің олшемі т - г е  тең болатындыгын 
көрсетіңдер.
Д ә л е л д е у і.
9

(   1  ^
(   °  ^
(   °   \
1)  еі  =
0
,  е->  =
1
.  ....  ст  —
0
V  0  }
V  0  )
1  1  /
6  R rn  ж ататы н ды ғы   бсл-
гілі.  Енді осы багандарды ң нсмесе векторлардың сы зы қты   тәуелсіз болатын­
дыгын  көрсетейік.  О л  үш ін  осы  векторларды ң  координаталарынап  түраты н 
аны қтауы ш ты   карасты  р ам ы з,  я гн и
Д   =
1 
0  ...  0
0 
1  ...  0
0 
0  ...  1
1 ^ 0 .
С ондықтан,  еі,ео, 
векторлары   -  сызықты  тәуелсіз  вокторлар.
Сі
Е  R m  болсын.  ёі.ё-
2
, . . . , ё т, х   элементтсрінің  сы зы қты
2)  Vx  =
тәуслді  болаты нды гы н  көрсетейік.  Ол  үшін
а і ё і   4- аоё-х  4-  ... 4- а тет  -
1
-  а т+гх   -   Ө
тендігіп  қарасты райы қ.  (3)  теңдікті
a i 1  -f а'20 4 -...  4- а 7г;0 4- а„н-і£і  =   0 
аіО +  а 21  4 -... 4- а т 0 4- а ш+і?2  =   0
(
3
)
(
4
)
а - ] 0   4- 
0
жүйесі түріндс ж азу га болады.  Ол  жүйеніц пөлге тец емес ш еш імдсрініц бар 
болуы  осы  ж үйс  м атрицасы ны ң
А
рангісіне  байланы сты.  r a ng  A   =   m   <   m  +  1  болгандықтан,  (4)  ж үйенің  нөл- 
ге  тең  емес  ш епіімдері  көп  болады.  Сондықтан  ё\, ё г ,..., ёт, х   элемеіггтері 
сызықты  тәуелді  болады.
Сонымен  R m  кеністігінің  элсмснттерініц  ішіиеіі  кез  келген  (m   4-  1)  эле- 
менттері  тәуелді  болатын  т   (ё\, ё г ,..., ёт)  сызықты  тоуелсіз  элемент  табы- 
латы нды гы н  көрсеттік.  Сондықтан,  1.5.1  -  аны қтам а  бойынш а  R m  ж иы ны  - 
т   өлшемді  сы зы қты қ  кеңістік.
10

1 .5 .2   -  а н ы қ т а м а .  m   өлшемді  Е   сы зы қты қ  кеңістігінің  кез  келген  т  
сы зы қты   тәуелсіз  элементтерінен  тұраты н  топты  Е   ксңістіггніц  базисы деп 
атайды.
Е  -  т   елшемді  сы зы қты   кецістік  болсын.  ё\  =  ( 1 ,0 ,..., 0).  ё2  ~   (0 ,1 ,.... 0).
. . ет  =   (0 ,0 ,..., 1)  деи  оның  қапдай  да  бір  базисын  белгілейік.
Егер  х   -  Е   кеңістігініц  кез  келген элементі  болса,  оида  ёі, ё г ,..., ёт.  х   эле- 
менттер сы зы қты  тәуелді болады,  өйткеиі  Е  - т  өлш емді сы зы қты қ кеңістік. 
Сондықтан
а геі  +  СХ'2^'2  +   ...  +   о:тет  +  & т+ іх   —  Ө
теқдігі 
оры идалаты н 
кем 
дегенде 
біреуі 
нөлге 
тсң 
болмайтын 
Qi, q-
2
, ..., а т, сищ-т-х  сандары   табы лады .  a i ,  а'
2
, ..., а т, а т +і  сандарының 
іш ікде  тек  қана  а т .ц 
0  болмауы  мүмкін  басқа  ж агд айда  ё і ,ё 2,...,ё т  
элементтері  сы зы қты   тәуелді  болады.  Сондықтан,
^ 
^2е2 "Ь •••  "Ь Ст^ті 
(5)
мүндағы  £/•  =   — 
k  —  1 ,2 ...., т.   т   өлшемді  Е   кеңістігінің  кез  келген  гс 
элеілентін  (5)  өрнек арқы лы   ж азуды  х  элементін 
базисы  арқылы  жік-
теу  деп  атайды.  £і, 
, Cm  сандарын  х   элементінің 
базисы  арқылы
аны қталган  коордииаталары   деп  атайды.
А қы рлы   өлшемді  сы зы қты   кеңістіктердіц  қасиеттері  сы зы қты қ  алгебра 
курсы нда толығымеи  қарасты ры латы п  болганды қтан,  ілгеріде  біз  ақырсыз 
өлше.мді  кеңістіктерді  қарасты раты н  боламыз.
1 .5 .3   -  а н ы қ т а м а .  Е гер  кез  келген  п  иатурал  сапы  үшін  Е   кеңістігіиен 
п  сы зықты  тәуелсіз элемснттер  табы латы н  болса,  онда  Е   кеңістігін  ацырсыз 
өлгиемді  кецістік деп  атайды.
'1.5.2  -  м ы с а л .  С  [а, 6]  кеңістігінің  ақы рсы з  өлш смді  кецістік  болатынды­
гын  дәлелдендер.
Д ә л е л д е у .
1)  1, t, t 2, ..., t n, ...  -  ф ункц ионалды қ  тізбегін  қарасты райы қ.  Функционал- 
д ы қ   тізбектің  әрбір  мүшесі  үзіліссіз  ф ункц иялар  болганды қтан,  олардың 
барлы гы   С[а,Ь]  кеңістігінің  элементі  болын  табы лады ,  ягни  t h  £   C[a,b\, 
k   =  0 ,1 ,2 ,...
2)  (Vai,or2, 
+   »
2
1  +   a t f 2  +  ...  +   ocnt n~l  —  0  дсн  қарастырай-
ы қ.  Б үл  тендік  [a, b]  кесіндісінде  ж атқан  б арлы қ і   мәндері  үшін  орындалуы 
керек.  Ол  мүмкін  болады,  егер  де  осы  теңдіктегі  ат , ct
2
, ..., а п  сандарының 
барлы гы   нөлге  тец  болса.  О лай  болса,  1.4.3-аны қтам а  бойьтнша  1 
іп_1 
элементтері  -  сы зы қты   тәуелсіз  элементтер.
Сонымен  кез  келген  натурал  п   номері үшін  С [а, b]  кеңістігінен п   сызықты
11

тәуелсіз ф ун кц и ял ар табы лады .  О лай болса.  1.5.3-анықтама бойынш а С\а, b] 
кеңістігі  -  ақы рсы з  өлшемді  кеңістік.
1.6.  С ы з ы қ т ы   к е ң іс т ік т е р д е г і  д ө ц е с   ж и ы н д а р
Е   -  сы зы қты   кеңістік  болсын.
1 .6 .1   -  а н ы қ т а м а .  Е   жмыныпың  коз  келген  х\   нуктссімсн  хо  нүктссін 
қосатын  кесінді деп
х   =   (1  -  t ) x і  +  t x 2,  Vt  G  [0,1] 
(6)
теңдігі  арқы лы   аны қталаты н  барлы қ х   пүктелер  ж иы ны н  айтады   және  оны 
келесі  түрде  белгілейді:
[хі, х 2\  =   { х   :  х   =   (1  -   t ) x і  +  t x
2
,  V®i, х
'2
  6   Е,   t  €   [0.1]}.
1 .6 .2   -  а н ы қ т а м а .  і?-сы зы қты   кеңістігінің  элемен'і’терінен  түраты н  W  
ж иы ны   дөцес  оісиын деп  аталады ,  crop
(V.Ti, хо  G  W )   :  (1  — t ) x  i  +  t x
2
  G  Ж
ягни 
W
 
ж иы ны нда  ж ататы н  x .i ,x ‘>
  элементтерімен  катар  осы  нүктелерді 
қосатын  кссінді  де  осы  W   ж иы ны нда  ж ататы н  болса.
1 .6 .1  
-  м ы с а л .  Е   сы зы қты   ксңістігінің  кез  келген  сы зы қты   көнбейнесі 
донес  жиын  болатындыгын  дэлелдендер.
Д э л е л д е у .
1.  W   ж иы ны   Е   сы зы қты   ксңістігініц  сы зы қты   кепбейнесі  болсын.  Онда 
( Vxu x 2  G  W){\ f a, ( 3  G  R)   :  a x ]  +   3 x 2  G  W
оры идалады .
О сыдан  a   =   (1  — t),  ft  —  t  болган  кезде
(1  — t ) x i   +  tx,o  £  W
ш ыгады. Д емек,  1.6.2-аны қтама бойынш а Е  сы зы қты   ксңістігінің кез келген 
W
 
сызықты  көибейнесі  деңес  ж иы н  болады.
Дөцес   функционал
Е   сызықты  кеңістігінде  осы  кеңістіктіц  кез  келген  х   элементіне  Р( х) -  
санын  сойкес  қоятын  Р   ф ункциясы   берілсін.  Р ( х )   функциясын  Е   кецісті- 
ггиде  берыгеп  фу нкционал деп  атайды.
12

Егер  ф ункционалды ц  б арлы қ  мәндері  нақты   сандар  болса.  онда  Р ( х )  
функционалы н  иацты  функционал деп  атайды.  М ысалы,  R  ж иы ны нда аны- 
қталган барлы қ қарапайым  ф унцияларды   нақты  ф ункционал  ретінде қарас- 
ты руға  болады.
1 .6.3 -  а н ы қ т а м а .  Егер  Е   кецістігініц кез  келген 
Х \ .  
х 2  элемепттері  үіпін
Р ((1   -   t ) x і  +  txo)  <   (1  -  t ) P ( x i )   +  tP(::r2),  Vt  £  [0,1]
тецсіздігі  оры ндалаты н  болса,  онда  кецістігінде  аны қталған  Р ( х )   функци­
оналын  доцес  функционал деп  атайды.
Доңес  функционалдарды   қолдаиып,  дөцес  ж и ы нд ар  қүруга  болады.
С   -  кез  келген  нақты   сан,  ал  жо  £   Е   бекітін  алы нгап  элемент  болсын. 
Q  =  {х   £  Е   :  Р ( х   —  .то)  <  С }   жиынын  карасты рам ы з.  Q  ж иыны  -  дөңес 
жиын.  Ш ынында да.  V x \ , x
2
  £  Q  үшін  Р ( х і   — 
x q
)  
<  С   ж әие  Р(хо  -   жи)  <   С  
болуы  керек.  О нда
{Vt  £  [0 ,1])  :  Р ( (  1  -   t ) x  
1
  -I- t x
2
  -   x 0)  =   P ( ( l   -   t ) ( x i  -   x’o)  -r t ( x 2  -   ж0))  <
<   (1 
-  t ) P ( x  
1
  -   x0)  +  
t P ( x 2 
-  
Xo)  <
 
(1 
-   t ) C  
+  
t C  
=  
C .
Сондықтан,  Q  ж иы ны нда  х \ ,   хч  элемент-терімен  қатар  оларды  қосатын 
кесінді  де  ж ататы н  болады.  О лай  болса,  Q  -  доцес  ж иы н.
1.7.  С ы з ы қ т ы   к е ң іс т ік т е р д ің   и з о м о р ф и з м і  ( т е ң т ү р п а т т ы ғ ы )
X ,   X   сызықты  кецістіктер  болсын.  X   кецістігінде  ж ататы н   кез  келген  х  
элемснтіне  X   ж иы ны ны ц  қаи дай д а  бір  х   £  X   элементі  сәйкес  қойылсын, 
я!’ни  мәндер  ж иы ны   X   кеңістігініц  элемснттерінен  түраты н   X   кецістігіиде 
аиы қталган  х   —  J ( x )   ф ункциясы   берілген.
1.7 .1   -  а н ы қ т а м а .  X   кеңістігін  X   кецістігіне  бейнелейтін  J   функциясы 
үшін
1.  (Vx, у  £  X )( VX ,  fi)  :  J ( X x  +  цу)  =   X J ( x )   +  
д 7 (у );
2.  егер  J ( x i )   =  J ( x 2),  онда  жі  =   x 2;
3.  X   кецістігінде  ж ататы н   кез  келген  х   элементі  үшін  X   ж иы ны иан  бір  х 
элемент  табылып.  х   =   J ( x )   болса;  онда  J ( x )   ф ункциясы н  озара  бір  мэнді 
сызьщты  бейнелеу дсп  атайды.
1 .7 .2   -  а н ы қ т а м а .  Егер  X   ксцістігін  X   кеңістігіне бейнелейтін  әзар а  бір 
мәнді  сы зы қты   бейнелеу  табы латы н  болса,  онда  X ,   X   кеңістіктер  те цтүр-  
п а тты   кецістіктер деп  аталады .
Тсңтүрііатты  сызықты  ксцістіктерге  мысалдар
1 .7 .1  
-  м ы с а л .  R rn+1  кеңістігімен  коэ(|)фициенттері  нақты  сандар- 
дан  түраты и  реті  m   -ней  аснайтын  копмүш еліктер  кецістігі  теңтүрпатты 
кецістіктер  болатындыгын  долелдецдер.
13

Д ә л е л д е у .
1
 
Rm+1
  _  
^
  . 
2
  -   (/xb /i
2
,...,/im+1), 
Hi
  €  Л, 
i
 =  
1
,
2
, ..., m + l}   =  X ;
2
.  £   —  {ж(£)  :  ®(£)  —  ®o +  ® ii+  — +  
2
cm*m»  ж,- 
6
  R y i  =  
0 , 1
 
f  е й }   =
X ;
3.  J ( x )   ф ункциясы н  былай  аны қтайы қ,  7   :  Е   —>  і?ш+1,  ж(і)  6  2?:
J(*) = J 
****J •
Енді  J(:c)  ф ункц ияны ц  E   кеңістігіи  i?m+1  кеңіс-тігінс  бейнелойтін  өзара 
бірмәнді  сы зы қты қ  бейнелеу  екендігін  көрсетойік:
а)  J ( x )   ф ункц иясы ны ң  сы зы қты лы ғы
(Vx ( t ) , y ( x )   6  Е ) ( \ / а , 3 )   :  J ( a x ( t )   +  ,3y(t))  =
та
=   , і ( У ] { а х к +   Byk) t k)  =  ( ax i   +   в у і , a x 2  +  /% 2, 
+   Ppm)  =
k- 0
=   a ( x u  ~.xm)  +  /3(yi, 
Ут)  =   a J ( x i )   +   3 J ( x 2).
б)  x(£)  =   Y^i~QXktk\ y ( t )   =  Ү л - ц У к ^   E   ж иы ны ны ц  элементі  болсын.  Егер
J ( x )   =  J ( y ) ,
m 
ni
J (x)  =   j ( ^ 2 x kt k)  =   (®
0
l -,® m ), J ( v )   =   J C Z * * )   =   (У
0
> 
Утп) 
jfc=0 
k=0
болса,  онда
(ж0, ..., x m)  =   (i/0) 
ym) 
x i  ~   Vi,  i  =  0 ,1 ,..., m .
Сонды қтан,
rn 
m
•т(*)= H®*** = H2 yktl: = y^-
к- 0 
Ar=0
в)  ж  =   (£ i,...,£ m )  элементі  Л ш+1  кеңістігінің  кез  келген  элемеиті  болсын.
тп
Онда  x( t )   =   Y2  £,ktk-  түрінде  анықталган  элемент  Е   ж иы ны ны ц  элементін 
к=о  '
анықтайды,  ягнп
m
(VS  е   R m+1){3x{t)  =   Y 2 S k t k  6   E ) :  J(a:)  =   x. 
k=0
Сөйтіп,  i?  ЖИЫНЫИ  i?m+1  кецістігіне  бейнелейтін  J(.x')  ф ункциясы   1.7.1- 
аны қтам аны ц  б ар л ы қ   ш арттары н  қанагаттанды рады .  Сондықтан,  J ( x )
14

ф ункциясы  - өзара бір 
м о і і д і
 
сы зы қты  бейнелеу.  О лай болса.  1.7.2 - аны қтам а 
бойынш а 
Е
 
ж әне  R m+1  кецістіктер  -  теңтүрпатты   сы зы қты   кеңістіктер.
1 .7 .2  -  м ы с а л .  К ез келген  m -өлшемді  нақты  сы зы қты  
Е
 
кеңістігі  мен  R ' n 
кеңістігі  теңтүрпатты   ксңістіктер  болатындыгын  дәлелдендер.
Д ә л е л д е у .
1. 
Е
 
кеңістігі  т   өлш емді  болганды қтаи,  {e^.}7
fcn=1  векторлары   осы  ксцістік- 
тегі  базисті  аны қтайды .  Сонды қтан 
Е
 
кеңістігінің  кез  кслген  элементін  осы
т
базис  арқы лы   ж азу га болады   ж әне  ол  ж алгы з.  ягни  (Vrc  Е 
Е) 
:  х  =■- 
^е^.,
£   Е  R,  і  =  1 ,.., т.
2. 
Е
 
ж иы ны н  R rn  ксцістігіне  бейнелейтін  J ( x )   ф ункц иясы н  былай  апы- 
қтайық:
т
J ( x )   =  , / ( ] Г е ;;& )  =   ( С ь - : 6 » ) -  
к-^1
О сылай  аны қталган  Л х )   ф ункциясы ны ц  өзара  бір  мәнді  сы зы кты   бейне­
леу болатын-дыгын  1.7.1 -  м ы салда көрсеткенбіз.  С онды қтан  1.7.2-анықтама 
боііынша  т   -(-)лшемді 
Е
 
кецістігі  мен  R ,n  кеңістігі  -  теңтүрпатты   сызықты 
кеңістіктер.
1 .7 .3   -  м ы с а л .  (0, оо)  -ж иы ны   берілсін.  Осы  ж и ы ны ң  скі  элементінің 
қосындысы  деп,  яғни
х  +  у   =   х   ■ у
осы  сандардын  көбейтіндісін,  ал  элементтің  сайга  көбсйтіндісі  деп,  ягни
Хх  =
осы  элементтің  А  дорежесіп  айтамыз.  Осылай  аны қталган  скі  операция 
арқы лы   (0, оо)  ж иы ны   сы зы қты   кеңістікке  айиалады .  Б ү л   ж иы пдағы   0  эле- 
менті  ретінде  1  санын  ал уга болады.
М етрикалы қ кеңістік үгымып  1906 ж ы лы  ф ранцуз  матем атигі  Морис Фре- 
ше  (1878-1973)  енгізген.